Lihat sumber Bilangan asli

[[Berkas:Three Baskets with Apples.svg|ka|jmpl|Bilangan asli dapat digunakan untuk menghitung (satu apel, dua apel, tiga apel, ...).]]

Dalam [[matematika]], terdapat dua kesepakatan mengenai himpunan '''bilangan asli'''. Yang pertama definisi menurut matematikawan tradisional, yaitu himpunan '''bilangan bulat positif''' yang bukan nol {1, 2, 3, 4, ...}. Sedangkan yang kedua definisi oleh logikawan dan ilmuwan komputer, adalah himpunan [[nol]] dan bilangan bulat positif {0, 1, 2, 3, ...}. Bilangan asli merupakan salah satu konsep matematika yg paling sederhana dan termasuk konsep pertama yang bisa dipelajari dan dimengerti oleh manusia, bahkan beberapa penelitian menunjukkan beberapa jenis kera juga bisa menangkapnya.

Wajar apabila bilangan asli adalah jenis pertama dari bilangan yang digunakan untuk membilang, menghitung, dsb. Sifat yang lebih dalam tentang bilangan asli, termasuk kaitannya dengan [[bilangan prima]], dipelajari dalam [[teori bilangan]]. Untuk matematika lanjut, bilangan asli dapat dipakai untuk mengurutkan dan mendefinisikan sifat [[hitung]]an suatu himpunan.

Setiap bilangan, misalnya bilangan 1, adalah konsep abstrak yg tak bisa tertangkap oleh indra manusia, tetapi bersifat [[universal]]. Salah satu cara memperkenalkan konsep himpunan semua bilangan asli sebagai sebuah struktur abstrak adalah melalui [[aksioma Peano]] (sebagai ilustrasi, lihat [http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html aritmetika Peano] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070819031025/http://planetmath.org/encyclopedia/PeanoArithmetic.html |date=2007-08-19 }}).

Konsep bilangan-bilangan yg lebih umum dan lebih luas memerlukan pembahasan lebih jauh, bahkan kadang-kadang memerlukan kedalaman logika untuk bisa memahami dan mendefinisikannya. Misalnya dalam teori matematika, himpunan semua [[bilangan rasional]] bisa dibangun secara bertahap, diawali dari himpunan bilangan-bilangan asli.

== Sejarah bilangan asli ==

Bilangan asli memiliki asal dari kata-kata yang digunakan untuk menghitung benda-benda, dimulai dari bilangan satu.

Kemajuan besar pertama dalam abstraksi adalah penggunaan [[sistem bilangan]] untuk melambangkan angka-angka. Ini memungkinkan pencatatan bilangan besar. Sebagai contoh, orang-orang [[Babylonia]] mengembangkan sistem berbasis posisi untuk angka 1 dan 10. Orang [[Mesir]] kuno memiliki sistem bilangan dengan [[hieroglif]] berbeda untuk 1, 10, dan semua pangkat 10 sampai pada satu juta. Sebuah ukuran batu dari [[Karnak]], tertanggal sekitar [[1500]] SM dan sekarang berada di Louvre, Paris, melambangkan 276 sebagai 2 ratusan, 7 puluhan dan 6 satuan; hal yang sama dilakukan untuk angka 4622.

Kemajuan besar lainnya adalah pengembangan gagasan angka nol sebagai bilangan dengan lambangnya tersendiri. Nol telah digunakan dalam [[notasi]] posisi sedini 700 SM oleh orang-orang Babylon, namun mereka melepaskan bila menjadi lambang terakhir pada bilangan tersebut.{{efn|A tablet found at Kish ... thought to date from around 700&nbsp;BC, uses three hooks to denote an empty place in the positional notation. Other tablets dated from around the same time use a single hook for an empty place.<ref>{{cite web |title=A history of Zero |website=MacTutor History of Mathematics |url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html |url-status=live |access-date=23 January 2013 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130119083234/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/HistTopics/Zero.html |archive-date=19 January 2013}}</ref>}} Konsep nol pada masa modern berasal dari matematikawan [[India]], [[Brahmagupta]].

Pada abad ke-[[19]] dikembangkan definisi bilangan asli menggunakan [[teori himpunan]]. Dengan definisi ini, dirasakan lebih mudah memasukkan nol (berkorespondensi dengan [[himpunan kosong]]) sebagai bilangan asli, dan sekarang menjadi konvensi dalam bidang teori himpunan, [[logika]] dan [[ilmu komputer]].<ref>{{cite web |author=Michael L. Gorodetsky |url=http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |title=Cyclus Decemnovennalis Dionysii - Nineteen year cycle of Dionysius |publisher=Hbar.phys.msu.ru |date=2003-08-25 |accessdate=2012-02-13 |archive-date=2019-01-15 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190115083618/http://hbar.phys.msu.ru/gorm/chrono/paschata.htm |dead-url=yes }}</ref> Matematikawan lain, seperti dalam bidang [[teori bilangan]], bertahan pada tradisi lama dan tetap menjadikan 1 sebagai bilangan asli pertama.<ref>Ini umum di dalam buku ajar mengenai [[analisis real]]. Sebagai contoh, lihat {{harvp|Carothers|2000}}, hlm. 3; atau {{harvp|Thomson|Bruckner|Bruckner|2008}}, hlm. 2.</ref>

== Penulisan ==
Himpunan bilangan asli umumnya dilambangkan <math> \mathbf{N} </math> atau <math>\mathbb{N}</math>. Ada sumber yang terkadang melambangkan himpunan bilangan asli sebagai <math> J </math>.<ref>{{cite book
  |url = https://archive.org/details/1979RudinW
  |title = Principles of Mathematical Analysis
  |last = Rudin |first=W.
  |publisher=McGraw-Hill
  |year=1976
  |isbn=978-0-07-054235-8
  |location = New York
  |page=25}}</ref>

Karena bilangan asli dapat mengandung {{math|0}} atau tidak, adakala pentingnya untuk mengetahui versi manakah yang dimaksud. Ini sering kali dinyatakan berdasarkan konteks, tetapi juga dapat dinyatakan melalui penggunaan subskrip atau superskrip di notasinya, seperti:<ref>{{cite book |title=ISO 80000-2:2019 |chapter-url=https://cdn.standards.iteh.ai/samples/64973/329519100abd447ea0d49747258d1094/ISO-80000-2-2019.pdf#page=10 |publisher=[[International Organization for Standardization]]| chapter = Standard number sets and intervals | date=19 May 2020 |page=4|url=https://www.iso.org/standard/64973.html|ref={{harvid|International Organization for Standardization|2020}}}}
</ref><ref>{{cite book |last1=Grimaldi |first1=Ralph P. |title=Discrete and Combinatorial Mathematics: An applied introduction |publisher=Pearson Addison Wesley |isbn=978-0-201-72634-3 |edition=5 |year=2004}}</ref>
* Bilangan asli tanpa adanya nol: <math>\{1,2,...\}=\mathbb{N}^*= \mathbb N^+=\mathbb{N}_0\smallsetminus\{0\} = \mathbb{N}_1</math>
* Bilangan asli dengan nol: <math>\;\{0,1,2,...\}=\mathbb{N}_0=\mathbb N^0=\mathbb{N}^*\cup\{0\}</math>

Karena bilangan asli membentuk [[subhimpunan]] dari [[bilangan bulat]] (sering kali {{nowrap|dilambangkan <math>\mathbb Z</math>),}} bilangan asli dapat disebut sebagai bilangan bulat positif atau bilangan bulat non-negatif. Untuk menghindari kerancuan apakah nol termasuk ke dalam himpunan bilangan atau tidak, sering kali dalam penulisan ditambahkan indeks (superskrip). Indeks "0" digunakan untuk memasukkan angka 0 kedalam himpunan, dan indeks "<math>*</math>" atau "<math>1</math>" ditambahkan untuk tidak memasukkan angka 0 kedalam himpunan.
:<math display>
\begin{align}
 \mathbb{N}^0 &= \mathbb{N}_0 = \{ 0, 1, 2, \ldots \} \\
 \mathbb{N}^* &= \mathbb{N}^+ = \mathbb{N}_1 = \mathbb{N}_{>0}= \{ 1, 2, \ldots \}.
\end{align}
</math>

== Sifat ==
=== Penambahan ===
Diberikan suatu himpunan bilangan asli <math> \mathbb{N} </math> dan [[fungsi penerus]] <math> S \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N} </math> yang mengirim bilangan asli kepada bilangan selanjutnya, penambahan dari himpunan bilangan asli dapat didefinisikan secara rekursif dengan menetaplan <math> a + 0 = a </math> dan <math> a + S(b) = S(a + b) </math> untuk semua <math> a </math> dan <math> b </math>. Maka, <math> (\N, +) </math> adalah [[monoid]] [[komutatif]] dengan [[elemen identitas]] 0, yang disebut [[monoid bebas]] dengan satu generator. Monoid komutatif ini memenuhi [[sifat pembatalan]], dan dapat dimasukkan ke dalam suatu [[Grup (matematika)|grup]]. Grup terkecil yang berisi bilangan asli adalah bilangan bulat.

Bila 1 didefinisikan sebagai <math> S(0) </math>, maka <math> b + 1 = b + S(0) = S(b+0) = S(b) </math>. Itu berarti, <math> b + 1 </math> adalah penerus dari <math> b </math>.

=== Perkalian ===
Secara analogi, diberikan bahwa penambahan himpunan bilangan asli didefinisikan di atas (lihat {{slink||Penambahan}}), operator [[perkalian]] <math>\times</math> dapat didefinisikan melalui <math> a \times 0 = 0 </math> dan <math> a \times  S(b) =  (a \times b) + a </math>. Ini mengubah <math> (\N^\star, \times) </math> menjadi monoid komutatif bebas dengan elemen identitas 1; generator set untuk monoid ini adalah himpunan [[bilangan prima]].

=== Hubungan antara penjumlahan dan perkalian ===
Penambahan dan perkalian adalah kompatibel, yang dinyatakan dalam [[hukum distribusi|distribusi]]: {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}. Sifat penjumlahan dan perkalian ini membuat bilangan asli sebagai turunan dari [[komutatif]] [[semiring]]. Semiring adalah generalisasi aljabar dari bilangan asli dengan perkalian tidak seharusnya komutatif. Kurangnya [[Invers aditif|aditif invers]], yang ekuivalen dengan fakta bahwa <math> \N </math> tidak [[Ketertutupan (matematika)|tertutup]] di bawah pengurangan (yaitu, mengurangkan satu bilangan asli dari bilangan asli yang lain tidak selalu menghasilkan bilangan asli), berarti bahwa <math> \N </math> ''bukanlah'' [[gelanggang (matematika)|gelanggang]]; melainkan [[semiring]].

Bila bilangan asli diambil sebagai "tidak termasuk 0", dan "mulai dari 1", definisi dari + dan × dinyatakan seperti di atas, kecuali diawali dengan {{math|''a'' + 1 {{=}} ''S''(''a'')}} and {{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.

=== Sifat aljabar yang dipenuhi bilangan asli===
Operasi penambahan (+) dan perkalian (×) pada bilangan asl, seperti yang didefinisikan sebelumnya, memiliki beberapa sifat-sifat aljabar:
* [[Ketertutupan (matematika)|Ketertutupan]] di bawah penambahan dan perkalian: untuk semua bilangan asli {{math|''a''}} dan {{math|''b''}}, maka {{math|''a'' + ''b''}} dan {{math|''a'' × ''b''}} adalah bilangan asli.<ref>{{cite book
 | last1 = Fletcher | first1 = Harold
 | last2 = Howell | first2 = Arnold A.
 | date = 2014-05-09
 | title = Mathematics with Understanding
 | publisher = Elsevier
 | page = 116
 | isbn = 978-1-4832-8079-0
 | lang = en
 | url = https://books.google.com/books?id=7cPSBQAAQBAJ&pg=PA116
 | quote = ...the set of natural numbers is closed under addition... set of natural numbers is closed under multiplication" [...himpunan bilangan asli tertutup di bawah penambahan... himpunan bilangan asli tertutup di bawah perkalian}}</ref>
* [[Sifat asosiatif|Pengelompokan]]: untuk semua bilangan asli {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, dan {{math|''c''}}, maka {{math|''a'' + (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' + ''b'') + ''c''}} dan {{math|''a'' × (''b'' × ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') × ''c''}}.<ref>{{cite book
  | last = Davisson | first = Schuyler Colfax
  | title = College Algebra
  | date = 1910
  | page = 2
  | publisher = Macmillian Company
  | lang = en
  | url = https://books.google.com/books?id=E7oZAAAAYAAJ&pg=PA2
  | quote = Addition of natural numbers is associative. [Penambahan dari bilangan asli adalah asosiatif (pengelompokan).]}}</ref>
* [[Sifat komutatif|Pertukaran]]: untuk semu bilangan asli {{math|''a''}} dan {{math|''b''}}, maka {{math|''a'' + ''b'' {{=}} ''b'' + ''a''}} dan {{math|''a'' × ''b'' {{=}} ''b'' × ''a''}}.<ref>{{cite book
  | last1 = Brandon | first1 = Bertha (M.)
  | last2 = Brown | first2 = Kenneth E.
  | last3 = Gundlach | first3 = Bernard H.
  | last4 = Cooke | first4 = Ralph J.
  | date = 1962
  | page = 25
  | title = Laidlaw mathematics series
  | publisher = Laidlaw Bros.
  | volume = 8
  | lang = en
  | url = https://books.google.com/books?id=xERMAQAAIAAJ&newbks=0&printsec=frontcover&dq=Natural+numbers+commutative&q=Natural+numbers+commutative&hl=en}}</ref>
* Keberadaan [[elemen identitas]]: untuk setiap bilangan asli {{math|''a''}}, {{math|''a'' + 0 {{=}} ''a''}} dan {{math|''a'' × 1 {{=}} ''a''}}.
* [[Sifat distributif|Distribusi]] dari perkalian atas penambahan untuk semua bilangan asli {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, dan {{math|''c''}}, {{math|''a'' × (''b'' + ''c'') {{=}} (''a'' × ''b'') + (''a'' × ''c'')}}.
* Tidak ada [[pembagi nol]] tak-nol: bila {{math|''a''}} dan {{math|''b''}} adalah bilangan asli sehingga {{math|''a'' × ''b'' {{=}} 0}}, maka {{math|''a'' {{=}} 0}} atau {{math|''b'' {{=}} 0}} (atau kedua-duanya).

=== Ketakhinggaan ===
Himpunan bilangan asli adalah [[himpunan tak hingga]]. Menurut definisi, jenis [[tak hingga]] ini disebut ''countably infinite''. Semua himpunan yang dapat dimasukkan ke dalam relasi [[Bijeksi|bijektif]] dengan bilangan asli dikatakan memiliki jenis ketakhinggaan ini. Hal ini juga diungkapkan dengan mengatakan bahwa [[bilangan kardinal]] dari himpunan tersebut adalah [[Bilangan alef#Alef-nol|alef-nol]] ({{math|ℵ<sub>0</sub>}}).<ref>{{MathWorld|mode=cs1|urlname=CardinalNumber|title=Cardinal Number}}</ref>

== Lihat pula ==
{{Portal|Matematika}}
* [[Bilangan#Klasifikasi]] untuk sistem bilangan lain (seperti bilangan rasional, bilangan real, [[bilangan kompleks]], dan lain sebagainya.)
* [[Himpunan terhitung]]
* [[Masalah identifikasi Benacerraf]]
* [[Representasi kanonik bilangan bulat positif]]

== Catatan ==
{{notelist}}

== Referensi ==
{{reflist}}

== Bibliografi ==
{{refbegin|2}}
* {{cite book
 |last=Carothers |first=N.L.
 |year=2000
 |title=Real Analysis
 |publisher=Cambridge University Press
 |isbn=978-0-521-49756-5
 |via=Google Books
 |url=https://books.google.com/books?id=4VFDVy1NFiAC&q=natural+numbers#v=onepage&q=%22natural%20numbers%22&f=false
 |ref = {{harvid|Carothers|2000}}
}}

* {{cite book
 |last1=Thomson   |first1=Brian S.
 |last2=Bruckner  |first2=Judith B.
 |last3=Bruckner  |first3=Andrew M.
 |year=2008  |edition=2
 |title=Elementary Real Analysis
 |publisher=ClassicalRealAnalysis.com 
 |isbn=978-1-4348-4367-8
 |via=Google Books
 |url=https://books.google.com/books?id=vA9d57GxCKgC
 |ref = {{harvid|Thomson|Bruckner|Bruckner|2008}}
}}
{{refend}}

== Pranala luar ==
{{commons category|Natural numbers}}
* {{springer|title=Natural number|id=p/n066090}}
* {{cite web
 |title=Axioms and construction of natural numbers
 |website=apronus.com
 |url=http://www.apronus.com/provenmath/naturalaxioms.htm
}}

{{Sistem Bilangan}}
{{Kelas bilangan asli}}

[[Kategori:Nomor Kardinal]]
[[Kategori:Matematika dasar]]
[[Kategori:Bilangan asli| ]]
[[Kategori:Bilangan bulat]]
[[Kategori:Teori bilangan]]