Lihat sumber Deret Fourier

{{Transformasi Fourier}}
'''Deret Fourier''' ({{IPAc-en|ˈ|f|ʊr|i|eɪ|,_|-|i|ər}}<ref>{{Dictionary.com|Fourier}}</ref>) merupakan bentuk penguraian [[fungsi periodik]] berupa [[deret (matematika)|penjumlahan]] nilai gelombang [[sin]] dan [[cos]]. [[Frekuensi]] dari setiap gelombang dalam operasi penjumlahan (atau yang dikenal sebagai [[harmonisa]]) merupakan [[kelipatan (matematika)|kelipatan]] interger terhadap [[frekuensi fundamental]] dari fungsi periodik. Setiap [[fase (gelombang)|fase]] harmonisa dapat ditentukan dengan [[analisis harmonisa]]. Deret Fourier memiliki kemungkinan untuk memuat harmonisa dengan jumlah [[penjumlahan tak terhingga|tak terhingga]]. Hasil penjumlahan bagian harmonisa dari deretan tersebut tidak selalu menghasilkan nilai pendekatan terhadap fungsi tersebut. Sebagai contoh, menggunakan beberapa harmonisa awal dari deret Fourier terhadap [[gelombang persegi]] akan menghasilkan nilai pendekatan dari gelombang persegi.

<gallery widths="256" heights="256">
File:SquareWaveFourierArrows,rotated,nocaption 20fps.gif|Nilai yang dihasilkan oleh penjumlahan enam titik (dilambangkan oleh titik merah) yang berbeda (dilambangkan oleh anak panah) dari deret Fourier akan menghasilkan sebuah nilai yang mendekati nilai dari gelombang persegi (dilambangkan oleh titik biru). Poros dari setiap anak panah terdapat pada jumlah dari seluruh nilai anak panah di kirinya.
File:Fourier Series.svg|Empat penjumlahan parsial pertama dari deret Fourier terhadap [[gelombang persegi]]. Semakin banyak harmonisa ditambahkan, penjumlahan parsial akan mendekati (semakin terlihat seperti) bentuk gelombang persegi.

File:Fourier series and transform.gif|Fungsi <math>s_6(x)</math> (ditandai dengan warna merah) merupakan jumlah deret Fourier dari 6 harmonisa gelombang sin (warna biru). Fungsi tersebut bertranformasi menjadi domain representasi frekuensi <math>S(f)</math> dengan nilai sebagai jumlah dari enam gelombang sin.
</gallery>

Hampir semua{{efn-ua|kecuali untuk fungsi [[Patologis (matematika)|patologikal]] yang tidak termasuk kedalam [[kondisi Dirichlet]]}} fungsi periodik dapat diuraikan menjadi deret Fourier yang dapat [[Konvergensi deret Fourier|berkonvergensi]].{{efn-ua|Konvergensi hanya dapat dilakukan ketika fungsi tersebut [[fungsi berkelanjutan|berkelanjutan]]. [[Klasifikasi tidak berkelanjutan#Lompatan tidak berkelanjutan|Lompatan tak berkelanjutan]] akan menghasilkan sebuah [[fenomena Gibbs]]. Deret tak terhingga akan terjadi [[Konvergensi titik tertentu|dikonvergensi hampir di semua titik]] kecuali titik-titik yang tidak memiliki keberlanjutan fungsi.}} Proses [[konvergensi deret Fourier]] berarti bahwa makin banyak harmonisa dari deret tersebut dijumlahkan, maka hasil dari operasi penjumlahan akan menghasilkan [[aproksiman (matematika)|nilai pendekatan]] dari fungsi tersebut, dan akan memiliki nilai yang setara dengan fungsi tersebut ketika banyak dari harmonisanya [[tak terhingga potensial|tak terhingga]]. 

Deret Fourier hanya dapat menguraikan fungsi periodikal. Akan tetapi, fungsi non periodik dapat juga diuraikan menggunakan ekstensi dari deret Fourier yang dikenal sebagai [[transformasi Fourier]], operasi tersebut akan menguraikan fungsi non-periodik dengan periode tak terhingga. Kemudian, [[transformasi integral|transformasi]] tersebut akan menghasilkan uraian [[domain frekuensi]] dari fungsi non-periodik dan fungsi periodik, hal tersebut akan memungkinkan bentuk gelombang untuk dikonversi diantara representasi [[domain waktu]] dan representasi domain frekuensinya. 

Sejak zaman [[Joseph Fourier|Fourier]], banyak operasi nilai pendekatan berbeda untuk mendefinisikan dan memahami konsep deret Fourier telah ditemukan, semua dari operasi tersebut memiliki konsistensi terhadap operasi lainnua, tetapi masing-masing menekankan aspek topik yang berbeda. Beberapa pendekatan yang lebih kuat dan elegan didasarkan pada ide-ide dan alat-alat matematika yang tidak tersedia pada masa Fourier. Fourier pada awalnya mendefinisikan deret Fourier untuk fungsi bernilai [[Bilangan rill|rill]] dari argumen rill, dan menggunakan [[Sinus dan kosinus|fungsi sinus dan kosinus]] sebagai sebuah [[basis (aljabar linier)|kumpulan basis]] untuk operasi dekomposisi. Banyak [[Daftar transformasi deret Fourier|metode transformasi Fourier]] telah didefinisikan, memperluas gagasan awal ke banyak pengaplikasian dan melahirkan sebuah cabang [[cangkupan matematika|matematika]] baru yang dikenal sebagai [[analisis Fourier]] .

==Definisi==
=== Bagian pertama ===
Pertimbangkan fungsi bernilai nyata, <math>s(x)</math>, yang [[integral Riemann|integrable]] dalam interval dengan panjang <math>P</math>, yang akan menjadi periode deret Fourier. Contoh umum interval analisis adalah:
:<math>x \in [0,1],</math> dan <math>P=1.</math>
:<math>x \in [-\pi,\pi],</math> dan <math>P=2\pi.</math>

'''Analisis''' proses menentukan bobot, diindeks dengan integer <math>n</math>, yang merupakan jumlah siklus nilai <math>n^\text{th}</math> harmonik dalam interval analisis. Oleh karena itu, panjang suatu siklus, dalam satuan <math>x</math>, ialah <math>P/n</math>. Dan frekuensi harmonik yang sesuai adalah <math>n/P</math>. <math>n^{th}</math> harmonik nilai <math>\sin\left(2\pi x \tfrac{n}{P}\right)</math> dan <math>\cos\left(2\pi x \tfrac{n}{P}\right)</math>, dan amplitudo (bobot) mereka ditemukan dengan integrasi selama interval panjang <math>P</math>:<ref>{{cite book | last1 = Dorf| first1 = Richard C. | first2 = Ronald J. | last2 = Tallarida | title =Buku Saku Rumus Teknik Elektro | url = https://archive.org/details/pocketbookofelec0000dorf| publisher =CRC Press | edition =1 | date =1993-07-15 | location =Boca Raton,FL | pages =[https://archive.org/details/pocketbookofelec0000dorf/page/171 171]–174 | isbn =0849344735 }}</ref>

{{Equation box 1
|indent =:
|title='''Koefisien Fourier'''
|equation = {{NumBlk||<math>
\begin{align}
a_n &= \frac{2}{P}\int_{P} s(x)\cdot  \cos\left(2\pi x \tfrac{n}{P}\right)\, dx\\
b_n &= \frac{2}{P}\int_{P} s(x)\cdot  \sin\left(2\pi x \tfrac{n}{P}\right)\, dx.
\end{align}
</math>|{{EquationRef|Eq.1}}}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

:*Jika nilai <math>s(x)</math> ialah nilai <math>P</math> dari nilai periodik, maka setiap interval dengan panjang tersebut sudah cukup.
:*Nilai <math>a_0</math> dan <math>b_0</math> dapat direduksi menjadi nilai <math>a_0 = \frac{2}{P} \int_P s(x) \, dx</math> dan <math>b_0 = 0</math>.
:*Banyaknya teks memilih nilai <math>P=2\pi</math> untuk menyederhanakan argumen dari fungsi sinusoid.

=== Bagian kedua ===
Proses '''sintesis''' (Deret Fourier sebenarnya) adalah:

{{Equation box 1
|indent =:
|title='''Deret Fourier, bentuk sinus-kosinus'''
|equation = {{NumBlk||<math>
\begin{align}
s_N(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N \left(a_n \cos\left(\tfrac{2\pi nx}{P}\right) + b_n \sin\left(\tfrac{2\pi nx}{P} \right) \right).
\end{align}
</math>|{{EquationRef|Eq.2}}}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

Secara umum, integer pada nilai <math>N</math> secara teoritis tidak terbatas. Meski begitu, deretan tersebut mungkin tidak konvergen atau persis sama <math>s(x)</math> di semua nilai <math>x</math> (seperti diskontinuitas satu titik) dalam interval analisis. Untuk fungsi "berperilaku baik" yang khas dari proses fisik, kesetaraan biasanya diasumsikan.

[[Berkas:Fourier transform, Fourier series, DTFT, DFT.svg|thumb|400px|Jika <math>s(t)</math> adalah fungsi yang terdapat dalam interval panjang <math>P</math> (dan nol di tempat lain), kuadran kanan atas adalah contoh dari koefisien deret Fourier Pada nilak (<math>A_n</math>) mungkin terlihat seperti ketika diplot terhadap frekuensi harmonik yang sesuai. Kuadran kiri atas adalah transformasi Fourier yang sesuai dari <math>s(t).</math>  Penjumlahan deret Fourier (tidak diperlihatkan) mensintesis penjumlahan periodik <math>s(t),</math> sedangkan invers Fourier transform (tidak ditampilkan) hanya mensintesis <math>s(t).</math>]]
Menggunakan identitas [[trigonometri]]:

:<math>A_n\cdot \cos\left(\tfrac{2\pi nx}{P}-\varphi_n\right) \ \equiv \ \underbrace{A_n \cos(\varphi_n)}_{a_n}\cdot \cos\left(\tfrac{2\pi nx}{P}\right) + \underbrace{A_n \sin(\varphi_n)}_{b_n}\cdot \sin\left(\tfrac{2\pi nx}{P}\right),</math>

dan definisi nilai <math>A_n \triangleq \sqrt{a_n^2+b_n^2}</math> dan <math>\varphi_n \triangleq \operatorname{arctan2}(b_n,a_n)</math>,
pasangan sinus dan kosinus dapat dinyatakan sebagai sinusoid tunggal dengan offset fase, analog dengan konversi antara koordinat ortogonal (Kartesius) dan polar:

{{Equation box 1
|indent =:
|title='''Deret Fourier, bentuk fase amplitudo'''
|equation = {{NumBlk||<math>s_N(x) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^N A_n\cdot \cos\left(\tfrac{2\pi nx}{P} - \varphi_n \right).</math>|{{EquationRef|Eq.3}}}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

Bentuk kebiasaan untuk menggeneralisasi menjadi bernilai kompleks <math>s(x)</math> (bagian selanjutnya) diperoleh dengan menggunakan [[rumus Euler]] untuk membagi fungsi kosinus menjadi eksponensial kompleks.  Di sini, [[konjugasi kompleks]] dilambangkan dengan tanda bintang:

:<math>
\begin{array}{lll}
\cos\left(  \tfrac{2\pi nx}{P} - \varphi_n  \right) &{}\equiv \tfrac{1}{2}e^{ i \left(\tfrac{2\pi nx}{P} - \varphi_n \right)} & {} + \tfrac{1}{2}e^{-i \left(\tfrac{2\pi nx}{P} - \varphi_n \right)}\\
&=\left(\tfrac{1}{2} e^{-i \varphi_n}\right) \cdot e^{i \tfrac{2\pi (+n)x}{P}} &{}+\left(\tfrac{1}{2} e^{-i \varphi_n}\right)^* \cdot e^{i \tfrac{2\pi (-n)x}{P}}.
\end{array}
</math>

Oleh karena itu, dengan definisi:
:<math>c_n \triangleq \left\{
\begin{array}{lll}
A_0/2 &= a_0/2, \quad & n = 0\\
\tfrac{A_n}{2} e^{-i \varphi_n} &= \tfrac{1}{2}(a_n -i b_n), \quad & n > 0\\
c_{|n|}^*, \quad && n < 0
\end{array}\right\}\quad =\quad \frac{1}{P}\int_P s(x)\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx,
</math>

hasil akhirnya adalah:

{{Equation box 1
|indent =:
|title='''Deret Fourier, bentuk eksponensial'''
|equation = {{NumBlk||<math>
s_N(x) = \sum_{n=-N}^N c_n\cdot e^{i \tfrac{2\pi nx}{P}}.
</math>|{{EquationRef|Eq.4}}}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

==Konvergensi==
{{main|Konvergensi Deret Fourier}}
Dalam aplikasi [[rekayasa]], deret Fourier umumnya dianggap berkumpul hampir di semua tempat (pengecualian berada pada diskontinuitas diskrit) karena fungsi yang ditemui dalam teknik berperilaku lebih baik daripada fungsi yang dapat diberikan oleh ahli matematika sebagai contoh tandingan untuk pres ini. Secara khusus, jika <math>s</math> kontinu dan turunan dari <math>s(x)</math> (yang mungkin tidak ada di semua tempat) adalah integratif persegi, kemudian deret Fourier <math>s</math> menyatu secara mutlak dan seragam ke nilai <math>s(x)</math>.<ref>{{cite book |title=Deret Fourier |first=Georgi P. |last=Tolstov |publisher=Courier-Dover |year=1976 |isbn=0-486-63317-9 |url=https://books.google.com/?id=XqqNDQeLfAkC&pg=PA82&dq=fourier-series+converges+continuous-function}}</ref> Jika suatu fungsi adalah [[Fungsi terintegrasi persegi|integral-persegi]] pada interval <math>[x_0,x_0+P]</math>, kemudian deret Fourier [[Teorema Carleson|menyatu dengan fungsi di hampir setiap titik]]. Konvergensi deret Fourier juga bergantung pada jumlah hingga maksimal dan minimal dalam suatu fungsi yang dikenal sebagai salah satu [[Kondisi dirichlet|Kondisi dirichlet untuk deret Fourier]]. Lihat [[Konvergensi seri Fourier]].  Koefisien Fourier dapat didefinisikan untuk fungsi atau distribusi yang lebih umum, dalam kasus seperti itu konvergensi dalam norma atau [[Konvergensi lemah (ruang Hilbert)|konvergensi lemah]] biasanya berupa inte.

<gallery widths="256" heights="256">
Fourier_series_square_wave_circles_animation.gif|link=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/Fourier_series_square_wave_circles_animation.svg|Empat jumlah parsial (deret Fourier) dengan panjang 1, 2, 3, dan 4, menunjukkan bagaimana pendekatan terhadap gelombang persegi meningkat seiring dengan bertambahnya jumlah suku [{{filepath:Fourier_series_square_wave_circle_animation.svg}} (animasi)]
Fourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.gif|link=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1e/Fourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.svg|Empat jumlah parsial (deret Fourier) dengan panjang 1, 2, 3, dan 4, menunjukkan bagaimana pendekatan terhadap gelombang gigi gergaji meningkat seiring dengan bertambahnya jumlah suku [{{filepath:Fourier_series_sawtooth_wave_circles_animation.svg}} (animasi)]
Example_of_Fourier_Convergence.gif |Contoh konvergensi ke fungsi yang agak sewenang-wenang. Perhatikan perkembangan "dering" (fenomena Gibbs) pada transisi ke / dari bagian vertikal.
</gallery>
Animasi interaktif dapat dilihat [http://bl.ocks.org/jinroh/7524988 lihat.]

=== Contoh ===
==== Contoh 1: Deret Fourier sederhana ====
[[Berkas:sawtooth pi.svg|thumb|right|400px|Plot dari [[gelombang gigi gergaji]], kelanjutan periodik dari fungsi linier <math>s(x)=x/\pi</math> on the interval <math>(-\pi,\pi]</math>]]
[[Berkas:Periodic identity function.gif|thumb|right|400px|Plot animasi dari lima seri Fourier parsial pertama yang berurutan]]
Kami sekarang menggunakan rumus di atas untuk memberikan perluasan deret Fourier dari fungsi yang sangat sederhana. Pertimbangkan gelombang gigi gergaji
:<math>s(x) = \frac{x}{\pi}, \quad \mathrm{for } -\pi < x < \pi,</math>
:<math>s(x + 2\pi k) = s(x), \quad \mathrm{for } -\pi < x < \pi \text{ and } k \in \mathbb{Z} .</math>
Dalam hal ini, koefisien Fourier diberikan oleh
:<math>\begin{align}
a_n & = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}s(x) \cos(nx)\,dx = 0, \quad n \ge 0. \\[4pt]
b_n & = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}s(x) \sin(nx)\, dx\\[4pt]
&= -\frac{2}{\pi n}\cos(n\pi) + \frac{2}{\pi^2 n^2}\sin(n\pi)\\[4pt]
&= \frac{2\,(-1)^{n+1}}{\pi n}, \quad n \ge 1.\end{align}</math>
Terbukti bahwa seri Fourier konvergen <math>s(x)</math> di setiap titik <math>x</math> dari mana <math>s</math> dapat dibedakan, dan karenanya:
{{NumBlk|:
|<math>\begin{align}
s(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos\left(nx\right)+b_n\sin\left(nx\right)\right] \\[4pt]
&=\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad \mathrm{for} \quad x - \pi \notin 2 \pi \mathbb{Z}.
\end{align}</math>
|{{EquationRef|Eq.7}}}}
Kapan nilai <math>x=\pi</math>, deret Fourier bertemu dengan 0, yang merupakan penjumlahan separuh dari batas kiri dan kanan ''s'' pada nilai <math>x=\pi</math>.  Ini adalah contoh khusus dari [[Konvergensi deret Fourier#Konvergensi pada titik tertentu|Teorema Dirichlet]] untuk deret Fourier.
[[Berkas:Fourier heat in a plate.png|thumb|right|Distribusi panas dalam pelat logam, menggunakan metode Fourier]]

Contoh ini mengarahkan kita ke solusi untuk [[Masalah Basel]].

==== Contoh 2: Motivasi Fourier ====
Perluasan deret Fourier dari fungsi kita pada Contoh 1 terlihat lebih rumit daripada rumus sederhana pada nilai <math>s(x)=x/ \pi</math>, jadi tidak segera jelas mengapa seseorang membutuhkan seri Fourier. Meskipun ada banyak penerapan, motivasi Fourier adalah dalam memecahkan [[persamaan panas]]. Misalnya, perhatikan pelat logam berbentuk persegi yang sisinya berukuran <math>\pi</math> meter, dengan koordinat <math>(x,y) \in [0,\pi] \times [0,\pi]</math>. Jika tidak ada sumber panas di dalam pelat, dan jika tiga dari empat sisi ditahan pada 0 derajat Celcius, sedangkan sisi keempat, diberikan oleh nilai <math>y=\pi</math>, dipertahankan pada gradien suhu <math>T(x,\pi)=x</math> derajat Celsius, untuk <math>x</math> pada nilai <math>(0,\pi)</math>, maka seseorang dapat menunjukkan bahwa distribusi panas stasioner (atau distribusi panas setelah periode waktu yang lama telah berlalu) diberikan oleh
: <math>T(x,y) = 2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx) {\sinh(ny) \over \sinh(n\pi)}.</math>
Di sini, <math>\sinh</math> adalah sebuah [[fungsi hiperbolik]]. Solusi persamaan panas tersebut diperoleh dengan cara mengalikan &nbsp;{{EquationNote|Eq.7}} menurut nilai <math>\sinh(ny)/\sinh(n\pi)</math>.<!--While our example function <math>s(x)</math> seems to have a needlessly complicated Fourier series, the heat distribution <math>T(x,y)</math> is nontrivial. The function <math>T</math> cannot be written as a [[closed-form expression]]. This method of solving the heat problem was made possible by Fourier's work.-->

== Konvergen ==

=== Teorema<ref>Hendra Gunawan, ''Catatan Kuliah Analisis Fourier dan Wavelet'', 2014</ref> ===
Misalkan <math>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}</math> adalah fungsi yang periodik dengan periode <math>2\pi</math>, kontinu dan mulus bagian demi bagian.
Maka, deret Fourier dari <math>f</math> konvergen mutlak dan secara seragam pada <math>\mathbb{R}</math>.

=== Aplikasi lain ===
Aplikasi lain dari deret Fourier yaitu untuk menyelesaikan [[Masalah Basel]] dengan menggunakan [[Teorema Parseval]]. Contoh tersebut menggeneralisasi dan seseorang dapat menghitung [[Fungsi Riemann zeta|ζ]](2''n''), untuk [[Bilangan asli|bilangan bulat positif]] apa pun nilai&nbsp;''n''.

== Properti ==
=== Tabel properti dasar ===
Tabel ini menunjukkan beberapa operasi matematika dalam domain waktu dan efek yang sesuai dalam koefisien deret Fourier. Notasi:
* <math>z^{*}</math> adalah [[konjugasi kompleks]] dari fungsi <math>z</math>.
* <math>f(x),g(x)</math> menunjuk <math> P </math> -fungsi periodik yang ditentukan dari fungsi <math>0 < x \le P </math>.
* <math>F[n], G[n]</math> tentukan koefisien deret Fourier (bentuk eksponensial) dari fungsi <math>f</math> dan <math>g</math> seperti yang didefinisikan dalam persamaan {{EquationNote|Eq.5}}.

{| class="wikitable"
|-
! Properti
! Domain waktu
! Domain frekuensi (bentuk eksponensial)
! Catatan
! Referensi
|-
| Linearitas
| <math>a\cdot f(x) + b\cdot g(x)</math>
| <math>a\cdot F[n] + b\cdot G[n]</math>
| bilangan kompleks <math>a,b</math>
|
|-
| Pembalikan waktu / Pembalikan frekuensi
| <math>f(-x)</math>
| <math>F[-n]</math>
| 
| <ref name=Shmaliy/>{{rp|p. 610}}
|-
| Konjugasi waktu
| <math>f(x)^*</math>
| <math>F[-n]^*</math>
| 
| <ref name=Shmaliy/>{{rp|p. 610}}
|-
| Pembalikan waktu & konjugasi
| <math>f(-x)^*</math>
| <math>F[n]^*</math>
|
|
|-
| Bagian nyata dalam waktu
| <math>\operatorname{Re}{(f(x))}</math>
| <math>\frac{1}{2}(F[n] + F[-n]^*)</math>
|
|
|-
| Bagian waktu imajiner
| <math>\operatorname{Im}{(f(x))}</math>
| <math>\frac{1}{2i}(F[n] - F[-n]^*)</math>
|
|
|-
| Bagian nyata dalam frekuensi
| <math>\frac{1}{2}(f(x)+f(-x)^*)</math>
| <math>\operatorname{Re}{(F[n])}</math>
|
|
|-
| Bagian imajiner dalam frekuensi
| <math>\frac{1}{2i}(f(x)-f(-x)^*)</math>
| <math>\operatorname{Im}{(F[n])}</math>
|
|
|-
| Pergeseran waktu / modulasi frekuensi
| <math>f(x-x_0)</math>
| <math>F[n] \cdot e^{-i\frac{2\pi x_0}{T}n}</math>
| real number <math>x_0</math>
| <ref name=Shmaliy>{{cite book | author=Shmaliy, Y.S.| title=Continuous-Time Signals| publisher=Springer | year=2007 | isbn=1402062710}}</ref>{{rp|p. 610}}
|-
| Pergeseran frekuensi / Modulasi dalam waktu
| <math>f(x) \cdot e^{i\frac{2\pi n_0}{T}x}</math>
| <math>F[n-n_0] \!</math>
| integer <math>n_0</math>
| <ref name=Shmaliy/>{{rp|p. 610}}
|}

=== Properti simetri ===
Ketika bagian nyata dan imajiner dari fungsi kompleks didekomposisi menjadi [[Fungsi genap dan ganjil#Genap–ganjil|bagian genap dan ganjil]], ada empat komponen, di bawah ini dilambangkan dengan [[subskrip]] RE, RO, IE, dan IO.  Dan ada pemetaan satu-ke-satu antara empat komponen fungsi waktu kompleks dan empat komponen transformasi frekuensi kompleksnya:<ref name="ProakisManolakis1996">{{cite book|last1=Proakis|first1=John G. |last2=Manolakis|first2=Dimitris G.|author2-link= Dimitris Manolakis |title=Pemrosesan Sinyal Digital: Prinsip, Algoritma, dan Aplikasi|url=https://archive.org/details/digitalsignalpro00proa|url-access=registration|year=1996|publisher=Prentice Hall|isbn=978-0-13-373762-2|edition=3rd|p=[https://archive.org/details/digitalsignalpro00proa/page/291 291]}}</ref>

:<math>
\begin{array}{rccccccccc}
\text{Domain waktu} & f & = & f_{_{\text{RE}}} & + & f_{_{\text{RO}}} & + & i f_{_{\text{IE}}} & + &\underbrace{i\ f_{_{\text{IO}}}} \\
&\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F}\\
\text{Domain frekuensi} & F & = & F_{RE} & +  & \overbrace{i\ F_{IO}} & + &i\ F_{IE} & + & F_{RO}
\end{array}
</math>

<!--Dari sini, berbagai hubungan terlihat, misalnya:
*The transform of a real-valued function ({{math|''f''{{sub|{{sub|RE}}}}+ ''f''{{sub|{{sub|RO}}}}}}) is the [[Even and odd functions#Complex-valued functions|even symmetric]] function {{math|F{{sub|{{sub|RE}}}}+ ''i'' F{{sub|{{sub|IO}}}}}}.  Conversely, an even-symmetric transform implies a real-valued time-domain.
*The transform of an imaginary-valued function ({{math|''i'' ''f''{{sub|{{sub|IE}}}}+ ''i'' ''f''{{sub|{{sub|IO}}}}}}) is the [[Even and odd functions#Complex-valued functions|odd symmetric]] function {{math|F{{sub|{{sub|RO}}}}+ ''i'' F{{sub|{{sub|IE}}}}}}, and the converse is true.
*The transform of an even-symmetric function ({{math|''f''{{sub|{{sub|RE}}}}+ ''i'' ''f''{{sub|{{sub|IO}}}}}}) is the real-valued function {{math|F{{sub|{{sub|RE}}}}+ F{{sub|{{sub|RO}}}}}}, and the converse is true.
*The transform of an odd-symmetric function ({{math|''f''{{sub|{{sub|RO}}}}+ ''i'' ''f''{{sub|{{sub|IE}}}}}}) is the imaginary-valued function {{math|''i'' F{{sub|{{sub|IE}}}}+ ''i'' F{{sub|{{sub|IO}}}}}}, and the converse is true.-->

== Lemma Riemann–Lebesgue ==
Kalau <math>f</math> adalah [[integrable]] dari nilai <math>\lim_{|n|\rightarrow \infty}\hat{f}(n)=0</math>, <math>\lim_{n\rightarrow +\infty}a_n=0</math> and <math>\lim_{n\rightarrow +\infty}b_n=0.</math>  Hasil ini dikenal sebagai [[Riemann–Lebesgue lemma]].

== Properti turunan ==
<!-- [Dalam pengembangan] We say that <math>f</math> belongs to 
<math>C^k(\mathbb{T})</math> if <math>f</math> is a 2{{pi}}-periodic function on <math>\mathbb{R}</math> which is <math>k</math> times differentiable, and its ''k''th derivative is continuous.
* If <math>f \in C^1(\mathbb{T})</math>, then the Fourier coefficients <math>\widehat{f'}(n)</math> of the derivative <math>f'</math> can be expressed in terms of the Fourier coefficients <math>\widehat{f}(n)</math> of the function <math>f</math>, via the formula <math>\widehat{f'}(n) = in \widehat{f}(n)</math>.
* If <math>f \in C^k(\mathbb{T})</math>, then <math>\widehat{f^{(k)}}(n) = (in)^k \widehat{f}(n)</math>. In particular, since for a fixed <math>k\geq 1</math> we have <math>\widehat{f^{(k)}}(n)\to 0</math> as <math>n\to\infty</math>, it follows that <math>|n|^k\widehat{f}(n)</math> tends to zero, which means that the Fourier coefficients converge to zero faster than the ''k''th power of ''n'' for any <math>k\geq 1</math>.-->

== [[Teorema Parseval]] ==
Jika <math>f</math> Milik <math>L^2([-\pi,\pi])</math>, setelah itu <math>\sum_{n=-\infty}^\infty |\hat{f}(n)|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 \, dx</math>.

== [[Teorema Plancherel]] ==
Jika nilai <math>c_0,\, c_{\pm 1},\, c_{\pm 2},\ldots</math> adalah koefisien dan <math>\sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 < \infty</math> lalu ada fungsi unik <math>f\in L^2([-\pi,\pi])</math> seperti yang <math>\hat{f}(n) = c_n</math> untuk setiap nilai <math>n</math>.

== Teorema konvolusi ==
<!-- [Dalam pengembangan] * The first convolution theorem states that if <math>f</math> and <math>g</math> are in <math>L^1([-\pi,\pi])</math>, the Fourier series coefficients of the 2{{pi}}-periodic [[convolution]] of <math>f</math> and <math>g</math> are given by:

::<math>[\widehat{f*_{2\pi}g}](n) = 2\pi\cdot \hat{f}(n)\cdot\hat{g}(n),</math>{{efn-ua|
The scale factor is always equal to the period, 2{{pi}} in this case. You can easily verify that the factor is necessary here, by choosing f and g to be constant 1. 

:where:

:: <math>\begin{align}
\left[f*_{2\pi}g\right](x) \ &\triangleq \int_{-\pi}^\pi f(u)\cdot g[\operatorname{pv}(x-u)] \, du, && 
\big(\text{and }\underbrace{\operatorname{pv}(x)  \ \triangleq \operatorname{Arg}(e^{ix})}_{\text{principal value}}\,\big)\\
&= \int_{-\pi}^\pi f(u)\cdot g(x-u)\, du, && \text{when } g(x) \text{ is }2\pi\text{-periodic.}\\
&= \int_{2\pi} f(u)\cdot g(x-u)\, du, && \text{when both functions are }2\pi\text{-periodic, and the integral is over any } 2\pi\text{ interval.}
\end{align}
</math>

* The second convolution theorem states that the Fourier series coefficients of the product of <math>f</math> and <math>g</math> are given by the [[Convolution#Discrete convolution|discrete convolution]] of the <math>\hat f</math> and <math>\hat g</math> sequences:
::<math>[\widehat{f\cdot g}](n) = [\hat{f}*\hat{g}](n).</math>
* A [[doubly infinite]] sequence <math>\left \{c_n \right \}_{n \in Z}</math> in <math>c_0(\mathbb{Z})</math> is the sequence of Fourier coefficients of a function in <math>L^1([0,2\pi])</math> if and only if it is a convolution of two sequences in <math>\ell^2(\mathbb{Z})</math>. See <ref>{{cite web|url=https://mathoverflow.net/q/46626 |title= Characterizations of a linear subspace associated with Fourier series |publisher=MathOverflow |date=2010-11-19 |accessdate=2014-08-08}}</ref>-->

== Grup kompak ==
{{main|Kelompok kompak|Kelompok kebohongan|Teorema Peter–Weyl}}

<!-- [Dalam pengembangan] One of the interesting properties of the Fourier transform which we have mentioned, is that it carries convolutions to pointwise products. If that is the property which we seek to preserve, one can produce Fourier series on any [[compact group]]. Typical examples include those [[classical group]]s that are compact. This generalizes the Fourier transform to all spaces of the form ''L''<sup>2</sup>(''G''), where ''G'' is a compact group, in such a way that the Fourier transform carries [[convolution]]s to pointwise products. The Fourier series exists and converges in similar ways to the [−{{pi}},{{pi}}] case.

An alternative extension to compact groups is the [[Peter–Weyl theorem]], which proves results about representations of compact groups analogous to those about finite groups.

=== Riemannian manifolds ===
[[File:F orbital.png|thumb|right|The [[atomic orbital]]s of [[chemistry]] are partially described by [[spherical harmonic]]s, which can be used to produce Fourier series on the [[sphere]].]]

{{main|Laplace operator|Riemannian manifold}}

If the domain is not a group, then there is no intrinsically defined convolution. However, if <math>X</math> is a [[Compact space|compact]] [[Riemannian manifold]], it has a [[Laplace–Beltrami operator]]. The Laplace–Beltrami operator is the differential operator that corresponds to [[Laplace operator]] for the Riemannian manifold <math>X</math>. Then, by analogy, one can consider heat equations on <math>X</math>. Since Fourier arrived at his basis by attempting to solve the heat equation, the natural generalization is to use the eigensolutions of the Laplace–Beltrami operator as a basis. This generalizes Fourier series to spaces of the type <math>L^2(X)</math>, where <math>X</math> is a Riemannian manifold. The Fourier series converges in ways similar to the <math>[-\pi,\pi]</math> case. A typical example is to take <math>X</math> to be the sphere with the usual metric, in which case the Fourier basis consists of [[spherical harmonics]].

=== Locally compact Abelian groups ===
{{main|Pontryagin duality}}

The generalization to compact groups discussed above does not generalize to noncompact, [[Non-abelian group|nonabelian group]]s. However, there is a straightforward generalization to Locally Compact Abelian (LCA) groups.

This generalizes the Fourier transform to <math>L^1(G)</math> or <math>L^2(G)</math>, where <math>G</math> is an LCA group. If <math>G</math> is compact, one also obtains a Fourier series, which converges similarly to the <math>[-\pi,\pi]</math> case, but if <math>G</math> is noncompact, one obtains instead a [[Fourier integral]]. This generalization yields the usual [[Fourier transform]] when the underlying locally compact Abelian group is <math>\mathbb{R}</math>.-->

==Fungsi bernilai kompleks==
Jika nilai <math>s(x)</math> adalah fungsi bernilai kompleks dari variabel nyata <math>x,</math> kedua komponen (bagian nyata dan imajiner) adalah fungsi bernilai nyata yang dapat direpresentasikan oleh deret Fourier. Kedua kumpulan koefisien dan jumlah parsial diberikan oleh:

:<math>c_{_{Rn}} = \frac{1}{P}\int_P \operatorname{Re}\{s(x)\}\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx</math> &nbsp; &nbsp; and &nbsp; &nbsp; <math>c_{_{In}} = \frac{1}{P}\int_P \operatorname{Im}\{s(x)\}\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx</math>

:<math>
s_N(x) = \sum_{n=-N}^N c_{_{Rn}}\cdot e^{i \tfrac{2\pi nx}{P}} + i\cdot \sum_{n=-N}^N c_{_{In}}\cdot e^{i \tfrac{2\pi nx}{P}} =\sum_{n=-N}^N \left(c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}\right) \cdot e^{ i \tfrac{2\pi nx}{P}}.
</math>

Mendefinisikan nilai <math>c_n \triangleq c_{_{Rn}}+i\cdot c_{_{In}}</math> menghasilkan:

{{Equation box 1
|indent =:
|title=
|equation = {{NumBlk||<math>
s_N(x) = \sum_{n=-N}^N c_n \cdot e^{ i \tfrac{2\pi nx}{P}}.
</math>|{{EquationRef|Eq.5}}}}
|cellpadding= 6
|border
|border colour = #0073CF
|background colour=#F5FFFA}}

Hal tersebut identik dengan {{EquationNote|Eq.4}} selain nilai <math>c_n</math> dan <math>c_{-n}</math> bukan lagi konjugasi kompleks. Rumus untuk nilai <math>c_n</math> juga tidak berubah:

:<math>
\begin{align}
c_n &= \frac{1}{P}\int_{P} \operatorname{Re}\{s(x)\}\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx + i\cdot \frac{1}{P} \int_{P} \operatorname{Im}\{s(x)\}\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx\\[4pt]
&= \frac{1}{P} \int_{P} \left(\operatorname{Re}\{s(x)\} +i\cdot \operatorname{Im}\{s(x)\}\right)\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx \ = \ \frac{1}{P}\int_{P} s(x)\cdot e^{-i \tfrac{2\pi nx}{P}}\ dx.
\end{align}
</math>

== Notasi umum lainnya ==
Notasi pada nilai <math>c_n</math> tidak memadai untuk membahas koefisien Fourier dari beberapa fungsi yang berbeda.  Oleh karena itu, biasanya diganti dengan bentuk fungsi yang dimodifikasi (<math>s</math>, dalam kasus ini), seperti <math>\hat{s}(n)</math> atau <math>S[n]</math>, dan notasi fungsional sering menggantikan langganan:

:<math>\begin{align}
s_\infty(x) &= \sum_{n=-\infty}^\infty \hat{s}(n)\cdot e^{i\,2\pi nx/P} \\[6pt]
&= \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot e^{j\,2\pi nx/P} && \scriptstyle \mathsf{common\ engineering\ notation}
\end{align}</math>

<!--In engineering, particularly when the variable <math>x</math> represents time, the coefficient sequence is called a [[frequency domain]] representation. Square brackets are often used to emphasize that the domain of this function is a discrete set of frequencies.-->

Representasi domain frekuensi lain yang umum digunakan menggunakan koefisien deret Fourier untuk memodulasi [[sisir Dirac]]:
:<math>S(f) \ \triangleq \ \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{P}\right),</math>

dari mana <math>f</math> mewakili domain frekuensi kontinu. Ketika variabel <math>x</math> memiliki satuan detik, <math>f</math> memiliki satuan [[hertz]]. "Gigi" sisir diberi jarak pada kelipatan (yaitu [[harmonik]]) dari nilai <math>1/P</math>, yang disebut [[frekuensi dasar]]. &nbsp;<math>s_{\infty}(x)</math>&nbsp; dapat dipulihkan dari representasi ini dengan [[Teorema inversi Fourier|transformasi Fourier terbalik]]:

:<math>\begin{align}
\mathcal{F}^{-1}\{S(f)\} &= \int_{-\infty}^\infty \left( \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{P}\right)\right) e^{i 2 \pi f x}\,df,  \\[6pt]
&= \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot \int_{-\infty}^\infty \delta\left(f-\frac{n}{P}\right) e^{i 2 \pi f x}\,df,  \\[6pt]
&= \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot e^{i\,2\pi nx/P} \ \ \triangleq \ s_\infty(x).
\end{align}</math>

Fungsi yang dibangun pada nilai <math>S(f)</math> oleh karena itu biasanya disebut sebagai '''Transformasi Fourier''', meskipun integral Fourier dari fungsi periodik tidak konvergen pada frekuensi harmonisa.{{efn-ua|
Karena integral yang mendefinisikan transformasi Fourier dari fungsi periodik tidak konvergen, penting untuk melihat fungsi periodik dan transformasinya sebagai [[Distribusi (matematika) | distribusi]]. Dalam arti ini <math>\mathcal{F} \{ e^{i \frac{2\pi nx}{P} } \}</math> adalah [[Fungsi delta Dirac]], yang merupakan contoh distribusi.
}}

== Referensi ==
{{reflist|30em}}

== Pranala luar ==
* [http://www.fourier-series.com/fourierseries2/fourier_series_tutorial.html Tutorial flash interaktif untuk deret Fourier] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140715225944/http://www.fourier-series.com/fourierseries2/fourier_series_tutorial.html |date=2014-07-15 }}
* [http://www.jhu.edu/~signals/phasorapplet2/phasorappletindex.htm Phasor Phactory] Allows custom control of the harmonic amplitudes for arbitrary terms
* [http://www.falstad.com/fourier/ Java applet] Ekspansi deret Fourier untuk fungsi sembarang
* [http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Fourier_Series Example problems] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080410180641/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Fourier_Series |date=2008-04-10 }} - Contoh perhitungan deret Fourier
* [http://www.e-dsp.com/8/ Fourier series explanation] - pendekatan nonmatematis sederhana
* {{MathWorld | urlname= FourierSeries | title= Fourier Series}}
* [http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/FourierSeriesComplexMod.html Modul deret Fourier oleh John H. Mathews]
* [http://www.shsu.edu/~icc_cmf/bio/fourier.html Joseph Fourier] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20011205152434/http://www.shsu.edu/~icc_cmf/bio/fourier.html |date=2001-12-05 }} - Situs web tentang riwayat Fourier historical section of this article
* [http://www.sfu.ca/sonic-studio/handbook/Fourier_Theorem.html SFU.ca] - 'Teorema Fourier'
* In the bottom of this [http://www.boutichesaid.cv.dz/FourierSeries/F_Series.htm interactive lecture] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081206033014/http://www.boutichesaid.cv.dz/FourierSeries/F_Series.htm |date=2008-12-06 }}, animasi Java yang menunjukkan bagaimana pengaruh terhadap deret Fourier bila suku orde ke-n+1 ditambahkan ke suku ke-n

{{Deret (matematika)}}
{{matematika-stub}}

[[Kategori:Kalkulus]]