Lihat sumber Integral Lebesgue

{{Underlinked|date=Januari 2023}}
{{gabung|Integrasi Lebesgue-Stieltjes}}

[[Berkas:Integral-area-under-curve.svg|thumb|The integral of a positive function can be interpreted as the area under a curve.|alt=|261x261px]]
{{Kalkulus|Integral}}
Dalam matematika modern, '''Integral Lebesgue''' suatu konsep integral.

== Konstruksi ==

=== Ruang ukuran ===
Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu [[Ukuran (matematika)|ruang ukuran]] <math> (X, \Sigma, \mu) </math>.

=== Integral dari fungsi sederhana ===
'''Fungsi karakteristik''' <math> \chi _A: X \rightarrow \{ 0, 1 \} </math> untuk himpunan <math> A \subseteq X </math> adalah
:<math> \chi _A (x) = \begin{cases} 1 & \mathrm{jika} \; x \in A \\ 0 & \mathrm{jika} \; x \not \in A \end{cases} .</math>

Suatu fungsi <math> \phi: X \rightarrow \mathbb{R} </math> tersebut '''fungsi sederhana''', jika
:<math> \phi  = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math>
untuk <math> \alpha _1, \ldots, \alpha _n \in \mathbb{R} </math>, <math> A _1, \ldots, A _n \in \Sigma </math> dan <math> n \in \mathbb{N} </math>.

Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana <math> \phi  = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math> sebagai
:<math> \int _X \phi\, d \mu  = \sum _{i=1} ^n \, \alpha _i \mu (A _i) .</math>

=== Integral dari fungsi tak negatif ===
Misalnya <math> f: (X, \Sigma) \rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B} (\mathbb{R})) </math> suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana <math> \mathcal{B} (\mathbb{R}) </math> aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai
:<math> \int  _X f \, d \mu = \sup \left\{ \int _X \phi \, d \mu: \phi \text{ sederhana, } 0 \leq \phi \leq f \right\} .</math>
Perhatikan bahwa <math> \int  _X f \, d \mu  \in [ 0, \infty ] </math>.

=== Integral dari fungsi terukur sembarang ===
Misalnya <math> f: (X, \Sigma) \rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B} (\mathbb{R})) </math> suatu fungsi terukur.
Selanjutnya fungsi tak negatif <math> f ^+ </math> dan <math> f^- </math> adalah didefinisikan tik demi tik sebagai <math> f ^+ = \max \{ f, 0 \} </math> dan <math> f ^- = \max \{ - f, 0 \} </math>.
Perhatikan bahwa <math> f = f ^+ - f ^- </math> dan <math> | f | = f ^+ + f ^- </math>.

Jika <math> \int _X f ^+ \, d \mu < \infty </math> dan <math> \int _X f ^- \, d \mu < \infty </math>, maka <math> f </math> dikatakan '''terintegralkan''' dan kita mendefinisikan
:<math> \int _X f \, d \mu = \int _X f ^+ \, d \mu - \int _X f ^- \, d \mu .</math>

Jelas, <math> f </math> terintegralkan jika dan hanya jika <math> \int | f | \, d \mu < \infty </math>.

== Sifat-sifat dasar ==
* Integral itu linear, yaitu jika <math> \alpha, \beta \in \mathbb{R} </math> dan <math> f, g </math> fungsi terintegralkan, maka <math> \alpha f + \beta g </math> juga terintegralkan dengan
:<math> \int _X  \alpha f + \beta g  \, d \mu = \alpha \int _X f \, d \mu + \beta \int _X g \, d \mu .</math>

* Integral itu monoton, yaitu jika <math> f,g </math> fungsi terintegralkan dan <math> f \leq g </math>, maka
:<math> \int _X f \, d \mu \leq \int _X g \, d \mu .</math>

{{Authority control}}

[[Kategori:Matematika]]