Lihat sumber Integral Lebesgue

Dalam matematika modern, '''Integral Lebesgue''' suatu konsep integral.

== Konstruksi ==

=== Ruang ukuran ===
Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu [[Ukuran_(matematika)|ruang ukuran]] <math> ( X , \Sigma , \mu ) </math>.

=== Integral dari fungsi sederhana ===
'''Fungsi karakteristik''' <math> \chi _A  : X \rightarrow \{ 0 , 1 \} </math> untuk himpunan <math> A \subseteq X </math> adalah
:<math> \chi _A (x) = \begin{cases} 1 & \mathrm{jika} \; x \in A \\ 0 & \mathrm{jika} \; x \not \in A \end{cases} . </math>

Suatu fungsi <math> \phi : X \rightarrow \mathbb{R} </math> tersebut '''fungsi sederhana''', jika
:<math> \phi  = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math>
untuk <math> \alpha _1 , \ldots , \alpha _n \in \mathbb{R} </math>, <math> A _1 , \ldots , A _n \in \Sigma </math> dan <math> n \in \mathbb{N} </math>.

Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana <math> \phi  = \sum _{i=1} ^n \alpha _i \chi _{A _i} </math> sebagai
:<math> \int _X \phi\, d \mu  = \sum _{i=1} ^n \, \alpha _i \mu ( A _i ) . </math>

=== Integral dari fungsi tak negatif ===
Misalnya <math> f : ( X , \Sigma ) \rightarrow ( \mathbb{R} , \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) ) </math> suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana <math> \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) </math> aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai
:<math> \int  _X f \, d \mu = \sup \left\{ \int _X \phi \, d \mu : \phi \text{ sederhana, } 0 \leq \phi \leq f \right\} . </math>
Perhatikan bahwa <math> \int  _X f \, d \mu  \in [ 0 , \infty ] </math>.

=== Integral dari fungsi terukur sembarang ===
Misalnya <math> f : ( X , \Sigma ) \rightarrow ( \mathbb{R} , \mathcal{B} ( \mathbb{R} ) ) </math> suatu fungsi terukur.
Selanjutnya fungsi tak negatif <math> f ^+ </math> dan <math> f^- </math> adalah didefinisikan tik demi tik sebagai <math> f ^+ = \max \{ f , 0 \} </math> dan <math> f ^- = \max \{ - f , 0 \} </math>.
Perhatikan bahwa <math> f = f ^+ - f ^- </math> dan <math> | f | = f ^+ + f ^- </math>.

Jika <math> \int _X f ^+ \, d \mu < \infty </math> dan <math> \int _X f ^- \, d \mu < \infty </math>, maka <math> f </math> dikatakan '''terintegralkan''' dan kita mendefinisikan
:<math> \int _X f \, d \mu = \int _X f ^+ \, d \mu - \int _X f ^- \, d \mu .</math>

Jelas, <math> f </math> terintegralkan jika dan hanya jika <math> \int | f | \, d \mu < \infty </math>.

== Sifat-sifat dasar ==
* Integral itu linear, yaitu jika <math> \alpha , \beta \in \mathbb{R} </math> dan <math> f, g </math> fungsi terintegralkan, maka <math> \alpha f + \beta g </math> juga terintegralkan dengan
:<math> \int _X  \alpha f + \beta g  \, d \mu = \alpha \int _X f \, d \mu + \beta \int _X g \, d \mu . </math>

* Integral itu monoton, yaitu jika <math> f ,g </math> fungsi terintegralkan dan <math> f \leq g </math>, maka
:<math> \int _X f \, d \mu \leq \int _X g \, d \mu . </math>


[[Kategori:Matematika]]