Geometri diferensial: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Add 2 books for Wikipedia:Pemastian (20240109)) #IABot (v2.0.9.5) (GreenC bot |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Tugas pengguna baru Disarankan: tambahkan pranala |
||
Baris 12:
Selain itu, artikel Wikipedia tentang [[Carl Friedrich Gauss#Writings|Gauss's works]] pada tahun 1827 dapat dilihat di.</ref>
Awalnya diterapkan ke ruang Euclidean, eksplorasi lebih lanjut mengarah ke ruang non-Euclidean, dan [[ruang metrik]] dan topologi..
== Cabang-cabang geometri diferensial ==
Baris 34:
[[Geometri simplektis]] adalah kajian tentang [[lipatan simplektis]]. '''Lipatan yang hampir simplektis''' adalah lipatan terdiferensialkan yang diperlengkapi dengan [[bentuk bilinear]] [[matriks asimetris]] [[bentuk degenerat|non-degenerat]] [[fungsi mulus|bervariasi mulus]] pada tiap-tiap ruang tangen, yaitu [[bentuk diferensial|bentuk]]-2 ''ω'' non-degenerat, yang disebut ''bentuk simplektis''. Lipatan simplektis adalah lipatan yang hampir simplektis di mana bentuk simplektis ''ω'' adalah tertutup: d''ω'' = 0.
[[Difeomorfisma]] antara dua lipatan simplektis yang mengawetkan bentuk symplektis disebut [[simplektomorfisma]]. Bentuk bilinear asimetris non-degenerat hanya dapat ujud pada [[ruang vektor]] berdimensi genap, sehingga lipatan simplektis haruslah berdimensi genap. Dalam dimensi 2, lipatan simplektis hanyalah [[permukaan]] yang disertai dengan sebentuk luasan, dan simplektomorfisma adalah difeomorfisma yang mengawetkan luas. [[Ruang fasa]] suatu sistem mekanik adalah lipatan simplektis dan mereka hadir secara tersirat dalam karya [[Joseph Louis Lagrange]] tentang [[mekanika analitik]] dan kemudian dalam [[mekanika Hamiltonian]] karya [[Carl Gustav Jacobi]] dan [[William Rowan Hamilton]].
Berbeda dengan geometri Riemannian, di mana [[kurvatur]] menyediakan invarian lokal dari lipatan Riemannian, [[teorema Darboux]] menyatakan bahwa semua lipatan simplektis adalah isomorfik secara lokal. Invarian-invarian suatu lipatan simplektis adalah global pada sifatnya dan aspek-aspek topologi menainkan peran yang penting dalam geometri simplektis. Hasil pertama dalam topologi simplektis adalah (barangkali) [[teorema Poincaré-Birkhoff]], yang diperdugakan oleh [[Henri Poincaré]] dan kemudian dibuktikan oleh [[G.D. Birkhoff]] pada tahun 1912. Teorema ini mendaku bahwa jika suatu luasan yang mengawetkan peta dari suatu [[anulus (matematika)|anulus]] melilit tiap-tiap komponen perbatasan dalam arah yang bertentangan, maka peta tersebut memiliki paling sedikit dua titik tetap.<ref>Adalah mudah untuk membuktikan bahwa luasan itu mengawetkan syarat (atau syarat lilit) tidak dapat dihilangkan. Dengan catatan bahwa jika seseorang berupaya memperluas teorema ini ke dimensi yang lebih besar, maka orang tersebut mungkin akan menduga bahwa suatu volume yang mengawetkan peta suatu jenis tertentu mestilah memiliki titik tetap. Ini gagal untuk dimensi yang lebih besar daripada 3.</ref>
Baris 41:
{{utama|Geometri kontak}}
[[Geometri kontak]] berurusan dengan lipatan tertentu yang berdimensi ganjil. Geometri kontak ini dekat dengan geometri simplektis dan seperti yang belakangan, geometri kontak mulai dipertanyakan dalam [[mekanika klasik]]. Suatu ''struktur kontak'' pada lipatan ''M'' berdimensi (2n+1) diberikan oleh sebuah lapangan bidang-hiper mulus ''H'' dalam [[bundel tangen]], yakni sejauh mungkin berasosiasi dengan himpunan level fungsi terdiferensialkan pada ''M'' (istilah teknisnya adalah "distribusi bidang-hiper tak-terintegralkan lengkap "). Di dekat titik ''p'', distribusi bidang-hiper ditentukan oleh [[bentuk diferensial|bentuk-1]] yang tidak menghilang di manapun <math>\alpha</math>, yang unik terhadap perkalian oleh sebuah fungsi yang tidak menghilang di manapun:
: <math> H_p = \ker\alpha_p\subset T_{p}M.</math>
| |||