Monad (teori kategori): Perbedaan antara revisi

Dalam [[teori kategori]], cabang dari [[matematika]], '''monad''' (juga disebut '''tripel''', '''triad''', '''konstruksi standar''' dan '''konstruksi dasar''')<ref>{{citation|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12.pdf | title=Toposes, Triples and Theories | year=1985 | first1=Michael | last1=Barr | first2=Charles | last2= Wells | publisher=Springer-Verlag | isbn=0-387-96115-1 | volume=278 | work= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |pages=82 and 120 |postscript=.}}</ref> adalah [[endofunktor]] ([[funktor]] memetakan [[Kategori (matematika) | kategori]]), Bersama-sama dengan dua [[transformasi alam]] yang dibutuhkan untuk memenuhi [[kondisi koherensi]]. Monad digunakan dalam teori [[funktor adjoin]], dan mereka menggeneralisasi [[operator penutupan]] pada [[himpunan terurut parsial]] ke kategori arbitrer.

Monad adalah jenis [[endofunktor]] tertentu. Misalnya, jika <math> F </math> dan <math> G </math> adalah sepasang [[funktor adjoin]], dengan <math> F </math> di sebelah kiri adjoint ke <math> G </math>, maka komposisi <math> G \circ F </math> adalah monad. Jika <math> F </math> dan <math> G </math> adalah fungsi invers, monad terkait adalah [[identitas funktor]]. Secara umum, tambahan bukanlah [[kesetaraan kategori | kesetaraan]], mereka menghubungkan kategori dengan sifat yang berbeda. Teori monad penting sebagai bagian dari upaya untuk 'mencari' tambahan. Separuh teori lainnya, dari dipelajari juga dari pertimbangan <math>F \circ G</math>, dibahas di bawah teori ganda '' komonad ''.

Sepanjang artikel ini <math> C </math> menunjukkan sebuah [[teori kategori | kategori]]. Sebuah '' monad '' di <math> C </math> terdiri dari endofunktor <math>T \colon C \to C</math> bersama dengan dua [[transformasi alami]]: <math>\eta \colon 1_{C} \to T</math> (dimana <math>1_{C}</math> menunjukkan fungsi identitas pada <math> C </math>) dan <math>\mu \colon T^{2} \to T</math> (dimana <math>T^{2}</math> adalah funktor <math>T \circ T</math> dari <math> C </math> ke <math> C </math>). Ini diperlukan untuk memenuhi ketentuan berikut (terkadang disebut [[kondisi koherensi]]):

Lihat artikel tentang [[transformasi natural#Operasi dengan transformasi natural | transformasi natural]] untuk penjelasan tentang notasi <math>T\mu</math> dan <math>\mu T</math>, atau lihat di bawah diagram komutatif yang tidak menggunakan pengertian ini:

Aksioma pertama mirip dengan [[asosiativitas]] dalam [[monoid (teori kategori) | monoid]] jika <math>\mu</math> sebagai operasi biner monoid, dan aksioma kedua mirip dengan keberadaan [[elemen identitas]] (diberikan <math>\eta</math>). Monad pada <math> C </math> dapat didefinisikan sebagai alternatif sebagai [[monoid (teori kategori) | monoid]] dalam kategori <math>\mathbf{End}_{C}</math> yang objeknya merupakan endofunktor dari <math> C </math> dan yang morfismenya merupakan transformasi, dengan [[kategori monoid | struktur monoid]] yang disebabkan oleh komposisi endofungtor.

'' Himpunan daya monad '' adalah monad <math>\mathcal{P}</math> pada kategori <math>\mathbf{Himpunan}</math>: Untuk himpunan <math> A </math> biarkan <math> T(A) </math> menjadi [[himpunan daya]] dari <math> A </math> dan untuk sebuah fungsi <math>f \colon A \to B</math> biarkan <math> T (f) </math> menjadi fungsi antara set daya yang diinduksi dengan [[Geleri (matematika) | galeri langsung]] di bawah <math> f </math>. Untuk setiap set <math> A </math>, peta <math>\eta_{A} \colon A \to T(A)</math>, pada <math>a\in A</math> [[tunggal (matematika) | tunggal]] <math>\{a\}</math>. The function

mengambil satu set himpunan ke [[Satuan (teori himpunan) | satuan]]. Data ini menggambarkan sebuah monad.

Semua [[adjunsi (theory category) | adjunsi]]

'' Dualisasi monad '', untuk [[bidang (matematika) | bidang]] '' k '' tetap muncul dari adjunsi

di mana kedua fungsi diberikan dengan mengirimkan [[ruang vektor]] '' V '' ke [[ruang vektor ganda]] <math>V^* := \operatorname{Hom}(V, k)</math>. Monad terkait mengirimkan ruang vektor '' V '' ke [[dual ganda]] <math>V^{**}</math>. Monad ini dibahas secara umum oleh {{harvtxt|Kock|1970}}.

Untuk kategori yang timbul dari [[himpunan terurut parsial]] <math>(P, \le)</math> (dengan morfisme tunggal dari <math>x</math> to <math>y</math> [[iff]] <math>x \le y</math>), maka formalismenya menjadi lebih sederhana: bagian adjoin adalah [[koneksi Galois]] dan monad adalah [[operator penutupan#Operator penutupan pada himpunan terurut sebagian | operator penutupan]].

Misalnya, karena <math> G </math> menjadi [[funktor fogetful]] dari [[kategori grup | kategori '''Grp''']] dari [[grup (matematika) | grup]] ke [[kategori himpunan | kategori '''Himpunan''']], dan maka <math> F </math> menjadi fungsi [[grup bebas]] dari kategori himpunan ke kategori grup. Kemudian <math> F </math> adalah ujung kiri dari <math> G </math>. Dalam hal ini, monad terkait <math>T = G \circ F</math> maka himpunan <math> X </math> dan himpunan yang mendasari dari grup bebas <math>\mathrm{Bebas}(X)</math>.

Dalam logika kategoris, sebuah analogi telah ditarik antara teori monad-komonad, dan [[logika modal]] melalui [[operator penutupan]], [[aljabar interior]], dan hubungannya dengan [[Model matematika | model]] dari [[aljabar S4 | S4]] dan [[logika intuisi]].

[[Kategori: Fungsi adjoin]]

[[Kategori: Teori kategori]]