Monad (teori kategori): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
k clean up |
||
Baris 1:
{{distinguish|Monad (aljabar linear)}}{{for|penggunaan monad dalam perangkat lunak komputer|monads dalam pemrograman fungsional}}
Dalam [[teori kategori]], cabang dari [[matematika]], '''monad''' (juga disebut '''tripel''', '''triad''', '''konstruksi standar''' dan '''konstruksi dasar''')<ref>{{citation|url=http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/12/tr12.pdf | title=Toposes, Triples and Theories | year=1985 | first1=Michael | last1=Barr | first2=Charles | last2= Wells | publisher=Springer-Verlag | isbn=0-387-96115-1 | volume=278 | work= Grundlehren der mathematischen Wissenschaften |pages=82 and 120 |postscript=.}}</ref> adalah [[endofunktor]] ([[funktor]] memetakan [[Kategori (matematika)
== Pendahuluan dan definisi ==
Monad adalah jenis [[endofunktor]] tertentu. Misalnya, jika <math> F </math> dan <math> G </math> adalah sepasang [[funktor adjoin]], dengan <math> F </math> di sebelah kiri adjoint ke <math> G </math>, maka komposisi <math> G \circ F </math> adalah monad. Jika <math> F </math> dan <math> G </math> adalah fungsi invers, monad terkait adalah [[identitas funktor]]. Secara umum, tambahan bukanlah [[kesetaraan kategori
=== Definisi formal ===
Sepanjang artikel ini <math> C </math> menunjukkan sebuah [[teori kategori
* <math>\mu \circ T\mu = \mu \circ \mu T</math> (sebagai transformasi <math>T^{3} \to T</math>);
Baris 20:
</center>
Lihat artikel tentang [[transformasi natural#Operasi dengan transformasi natural
<center>
Baris 30:
</center>
Aksioma pertama mirip dengan [[asosiativitas]] dalam [[monoid (teori kategori)
=== Himpunan daya monad ===
'' Himpunan daya monad '' adalah monad <math>\mathcal{P}</math> pada kategori <math>\mathbf{Himpunan}</math>: Untuk himpunan <math> A </math> biarkan <math> T(A) </math> menjadi [[himpunan daya]] dari <math> A </math> dan untuk sebuah fungsi <math>f \colon A \to B</math> biarkan <math> T (f) </math> menjadi fungsi antara set daya yang diinduksi dengan [[Geleri (matematika)
:<math>\mu_{A} \colon T(T(A)) \to T(A)</math>
mengambil satu set himpunan ke [[Satuan (teori himpunan)
=== Keterangan ===
Baris 50:
=== Monad arising dari tambahan ===
Semua [[adjunsi (theory category)
:<math>F: C \rightleftarrows D : G</math>
Baris 63:
==== Dualisasi ganda ====
'' Dualisasi monad '', untuk [[bidang (matematika)
:<math>(-)^* : \mathbf{Vekt}_k \rightleftarrows \mathbf{Vekt}_k^{op} : (-)^*</math>
di mana kedua fungsi diberikan dengan mengirimkan [[ruang vektor]] '' V '' ke [[ruang vektor ganda]] <math>V^* := \operatorname{Hom}(V, k)</math>. Monad terkait mengirimkan ruang vektor '' V '' ke [[dual ganda]] <math>V^{**}</math>. Monad ini dibahas secara umum oleh {{harvtxt|Kock|1970}}.
==== Operator penutupan himpunan urutan sebagian ====
Untuk kategori yang timbul dari [[himpunan terurut parsial]] <math>(P, \le)</math> (dengan morfisme tunggal dari <math>x</math> to <math>y</math> [[iff]] <math>x \le y</math>), maka formalismenya menjadi lebih sederhana: bagian adjoin adalah [[koneksi Galois]] dan monad adalah [[operator penutupan#Operator penutupan pada himpunan terurut sebagian
==== Adjunsi foget bebas ====
Misalnya, karena <math> G </math> menjadi [[funktor fogetful]] dari [[kategori grup
Peta satuan monad ini diberikan oleh peta
:<math>X \rightarrow T(X) </math>
Baris 113:
Monad digunakan dalam [[pemrograman fungsional]] untuk mengekspresikan jenis komputasi sekuensial (terkadang dengan efek samping). Lihat [[monad dalam pemrograman fungsional]], dan modul Wikibuku yang lebih berorientasi matematis [[b:Haskell/Category theory|Teori Haskell/Kategori]].
Dalam logika kategoris, sebuah analogi telah ditarik antara teori monad-komonad, dan [[logika modal]] melalui [[operator penutupan]], [[aljabar interior]], dan hubungannya dengan [[Model matematika
== Generalisasi ==
Baris 142:
*John Baez's [http://math.ucr.edu/home/baez/week89.html This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 89)] mencakup monad dalam 2 kategori.
[[Kategori:
[[Kategori:
|