Metode Galerkin: Perbedaan antara revisi

{{rapikan}}

 

Dalam [[matematika]], khususnya bidang [[analisis numerik]], metode galerkin merupakan metode yang digunakan untuk mengubah masalah operator kontinu (seperti [[persamaan differensial]]) ke masalah diskret. Dalam prinsipnya, metode ini mirip penerapannya dengan [[metode variasi]] ke ruang fungsi dengan mengubah parsamaannya ke [[formulasi lemah]]. Yang secara khusus menerapkan beberapa batasan pada ruang fungsi untuk menggolongkan ruang pada suatu himpunan terbatas dari basis fungsi. Seringkali pada penggunaannya, metode Galerkin menyajikan juga metode approksimasi yang biasa digunakan pada umumnya, seperti metode [[Petrov-Galerkin]] atau [[metode Ritz-Galerkin]].

# [[Metode subruang Kyrlov]]

 

 

 

<center><math> a(u,v) = f(v) </math>.</center>

adalah benar. Sekarang <math>a( \cdots, \cdots )</math> adalah bentuk [[bilinear]] (penjelasan yang eksak atas <math>a( \cdots, \cdots )</math> akan ditentukan selanjutnya) dan ''f'' adalah operator linear pembatas pada ''V''.

 

 

Pilih subruang <math> v_n \subset V</math> dengan dimensi yang lebih kecil (sebenarnya, kita akan mengasumsikan bahwa indeks ''n'' menujukkan dimensinya) dan memecahkan masalah yang perhitungkan.

Jika diketahui <math> u_n \in V_n </math> dan untuk setiap <math> v_n \in V_n </math> maka

Kita akan menyebut persamaan ini sebagai persamaan Galerkin. Dengan catatan bahwa persamaan ini tidak dapat diubah dan hanya ruangnya yang dapat diubah.

 

 

Sekarang, <math>e_n</math> = ''u'' – <math>u_n</math> adalah galat antara solusi masalah awal ''u'' dan persamaan Galerkin <math>u_n</math> secara berturut-turut.

 

 

Karena tujuan dari metode Galerkin adalah membentuk sistem persamaan linear, maka kita membangun bentuk matriksnya, sehingga dapat digunakan untuk menghitung solusi dengan program computer.

Diketahui <math> u_n \in V_n </math> sehingga

Kita akan mengembangkan <math> u_n </math> menjadi basis seperti ini, <math> u_n = \sum_{j=1}^n u_j e_j</math> dan memasukkannya kedalam persamaan di atas, sehingga diperoleh

Dalam persamaan sebelumnya, sebenarnya merupakan sistem persamaan linear <math> A_u = f </math>, dimana

 

 

 

 

<center><math> a(u,v) = a(u,v) </math>.</center>

Analisis dari metode ini dihasilkan dalam dua langkah. Yang pertama, kita akan menunjukkan bahwa persamaan Galerkin adalah [[well-posed problem]] menurut [[Hadamard]] dan oleh karena itu kita mengakui persamaan ini sebagai solusi yang tunggal. Pada langkah kedua, kita mempelajari pendekatan sifat dari solusi Galerkin <math>u_n</math> .

 

Analisi ini kebanyakan akan mengacu pada dua sifat dari bentuk bilinear, yakni:

<center><math> a(u,v) \le C \lVert u \rVert \lVert v \rVert </math> untuk konstanta C > 0.</center>

* Eliptisitas: untuk setiap setiap <math> u \in V</math> adalah benar bahwa

Menurut teorema Lax-Milgram, ada dua kondisi implikatif well-posedness dari masalah awal dalam [[formulasi lemah]]. Semua kaidah dalam bagian berikut ini akan dinormalisasikan untuk pertidaksamaan benar di atas (kaidah ini sering disebut juga kaidah energy).

 

 

Karena <math> V_n \subset V </math> pembatasan dan eliptisitas dari bentuk bilinear berlaku bagi <math> V_n </math>. Oleh karena itu, Well-posedness dari metode Galerkin sebenarnya diturunkan dari Well-posedness dari masalah awal.

 

 

Galat <math>e_n</math> = ''u'' – <math>u_n</math> antara solusi awal dan solusi Galerkin mengenal estimasi sbb:

Ini artinya, bahwa sesuai dengan konstanta <math>\frac{C}{c}</math>, solusi Galerkin <math> u_n </math> adalah mendekati solusi awal ''u'' sebagai vector lainnya dalam <math> V_n </math> . Faktanya, hal ini cukup untuk mempelajari pendekatan dengan ruang <math> V_n </math>, dengan sepenuhnya melupakan tentang persamaan yang ssedang diselesaikan.

 

 

Karena buktinya sangat sederhana dan prinsip dasar dibalik semua metode Galerkin yaitu eliptisitas dan pembatasan pada bentuk [[bilinear]](pertidaksamaan) dan ortogonalitas Galerkin, kita punya <math> v_n \in V_n</math> sehingga:

 

 

Bagi dengan <math> c\lVert e_n \rVert</math> dan ambil semua kemungkinan hasil akhir infimum lemma <math>v_h</math>.