Metode Galerkin: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
k melakukan perapian bagian; mengubah "simetrik" menjadi simetris" |
||
| (34 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{rapikan}}
Dalam [[matematika]], khususnya bidang [[analisis numerik]],
Metode Galerkin▼
▲Dalam [[matematika]], khususnya bidang [[analisis numerik]], '''metode galerkin''' merupakan metode untuk mengubah masalah operasi kontinu (seperti [[persamaan differensial]]) ke masalah diskret. Dalam prinsipnya, metode ini penerapannya mirip dengan ''[[metode variasi]]'' ke ruang fungsi dengan merubah parsamaannya ke [[formulasi lemah]]. Tipe yang pertama menggunakan beberapa batasan pada ruang fungsi untuk menggolongkan ruang dengan suatu himpunan terbatas dari basis fungsi. Seringkali ketika penggunaannya, metode Galerkin yang pertama menyajikan juga metode approksimasi yang biasa digunakan, seperti metode Petrov-Galerkin atau metode Ritz-Galerkin.
Sejak keindahan metode Galerikin terungkap dalam cara yang sangat abstrak dari studi mereka, maka pertama kali kita akan memberikan abstrak turunannya. Pada akhirnya, kita akan memberikan contoh untuk penggunaannya.▼
▲Pendekatan yang berharga untuk matematikawan Rusia Boris Galerkin.
▲Sejak keindahan metode Galerikin terungkap dalam cara yang sangat abstrak dari studi mereka, pertama kali kita akan memberikan abstrak turunannya. Pada akhirnya, kita akan memberikan contoh untuk penggunaannya.
Contoh-contoh metode Galerkin adalah:
== Pengenalan
Misalkan kita memperkenalkan metode Galerkin dengan sebuah masalah abstrak yang merupakan suatu formulasi lemah pada ruang Hilbert yaitu ''V'', jika diketahui ''u''\in''V''dan untuk setiap''v''\in''V'' maka▼
adalah benar. a(. . . , . . . )Sekarang adalah bentuk bilinear (penjelasan yang eksak atas a(. . . , . . . ) akan ditentukan selanjutnya) dan ''f'' adalah operator linear terbatasi pada ''V''.▼
▲Misalkan kita
<center><math> a(u,v) = f(v) </math>.</center>
Dipilih subruangdengan dimensi yang lebih kecil (sebenarnya, kita akan mengasumsikan bahwa indeks n menujukkan dimensinya) dan memecahkan masalah yang perhitungkan.▼
▲adalah benar. Sekarang <math>a(
Jika diketahui dan untuk setiap maka▼
Kita akan menyebut persamaan ini sebagai persamaan Galerkin. Dengan catatan bahwa persamaan ini tidak dapat dirubah dan hanya ruangnya yang dapat dirubah.▼
Hal ini adalah sifat mendasar yang membuat analisis matematika dari metode Galerkin sangat jelas. Karena , kita dapat menggunakan sebagai vector dalam persamaan awal. Substitusi persamaan yang kedua, kita dapati ortogonalitas Galerkin untuk galat▼
▲
▲Jika diketahui <math> u_n \in V_n </math> dan untuk setiap <math> v_n \in V_n </math> maka
Sekarang adalah galat antara solusi masalah awal dan persamaan Galerkin secara berturut-turut.▼
<center><math> a(u_n,v_n) = f(v_n) </math>.</center>
▲Kita akan menyebut persamaan ini sebagai persamaan Galerkin. Dengan catatan bahwa persamaan ini tidak dapat
=== Ortogonalitas Galerkin ===
▲Hal ini
<center><math> a(e_n, v_n) = a(u,v_n) - a(u_n, v_n) = f(v_n) - f(v_n) = 0 </math>.</center>
▲Sekarang, <math>e_n</math> = ''u'' – <math>u_n</math> adalah galat antara solusi masalah awal
▲d. Bentuk Matriks
Karena tujuan dari metode Galerkin adalah membentuk sistem persamaan linear, maka kita membangun bentuk matriksnya, sehingga dapat digunakan untuk menghitung solusi dengan program computer.
Misal <math>e_1, e_2, \cdots,e_n </math> basis untuk <math> v_n </math>. Maka hal ini cukup untuk menguji coba persamaan Galerkin, sebagai contoh:
Diketahui <math> u_n \in V_n </math> sehingga
<center><math> a(u_n, e_i) = f(e_i) </math>.</center>
Kita akan mengembangkan <math> u_n </math> menjadi basis seperti ini, <math> u_n = \sum_{j=1}^n u_j e_j</math> dan
<center><math> a(\sum_{j=1}^n u_j e_j, e_i) = \sum_{j=1}^n u_j a(e_j,e_i) = f(e_i) </math> untuk <math>i = 1, \cdots, n</math>.</center>
Dalam persamaan sebelumnya, sebenarnya merupakan sistem persamaan linear <math> A_u = f </math>, dimana
<math> a_ij = a(e_j, e_i) </math> dengan <math> f_i = f(e_i) </math>
Dalam kaitannya dengan definisi dari matriks entry, matriks dari persamaan Galerkin adalah
▲== Analisis dari Metode Galerkin ==
<center><math> a(u,v) = a(u,v) </math>.</center>
Analisis dari
▲Sekarang, kita akan membatasi diri kita pada bentuk bilinear simetrik, yaitu:
▲Bilamana ini tidak benar-benar sebuah pembatas dari metode Galerkin, aplikasi dari teori standar menjadi sangat mudah. Selanjutnya, metode Petrov-Galerkin dibutuhkan dalam kasus non-simetrik.
▲Analisis dari hasil metode ini dalam dua langkah. Yang pertama, kita akan menunjukkan bahwa persamaan Galerkin adalah well-posed problem dalam pengertian Hadamard dan oleh karena itu kita mengakui persamaan ini sebagai solusi tunggal. Dalam langkah kedua, kita mempelajari pendekatan kualitas dari solusi Galerkin .
Analisi ini kebanyakan akan mengacu pada dua sifat dari bentuk bilinear, yakni:
<center><math> a(u,v) \le C \lVert u \rVert \lVert v \rVert </math> untuk konstanta C > 0.</center>
<center><math> a(u,v) \ge c\lVert u\rVert ^2 </math> untuk konstanta c > 0 .</center>
Menurut teorema Lax-Milgram, ada dua kondisi implikatif well-posedness dari masalah awal dalam
Karena <math>
Galat <math>e_n</math> = ''u'' – <math>u_n</math> antara solusi awal dan solusi Galerkin mengenal estimasi sbb:▼
<center><math>\lVert e_n \rVert</math> <math>\le</math> <math>\frac{C}{c}</math> <math>\overset {inf} {v_n \in V_n}</math> <math>\lVert u - v_n \rVert </math>.</center>
Ini artinya, bahwa sesuai dengan konstanta
=== Bukti ===
▲Menurut teorema Lax-Milgram, ada dua kondisi implikatif well-posedness dari masalah awal dalam weak formulation (formulasi lemah). Semua kaidah dalam bagian berikut ini akan dinormalisasikan untuk pertidaksamaan benar di atas (kaidah ini sering disebut juga kaidah energy).
Karena buktinya sangat sederhana dan prinsip dasar dibalik semua metode Galerkin yaitu eliptisitas dan pembatasan pada bentuk [[bilinear]](pertidaksamaan) dan ortogonalitas Galerkin, kita punya <math> v_n \in V_n</math> sehingga:▼
▲g. Well-posedness dari metode Galerkin
▲Karena , pembatasan dan eliptisitas dari bentuk bilinear berlaku bagi . Oleh karena itu, Well-posedness dari metode Galerkin sebenarnya diturunkan dari Well-posedness dari masalah awal.
<center><math> c\lVert u\rVert ^2 \le a(e_n, e_n) = a(e_n, u-v_n) \le C\lVert e_n \rVert \lVert u-v_n \rVert </math>.</center>
▲h. Pendekatan Quasi-Best (Lemma Cèa)
▲Galat antara solusi awal dan solusi Galerkin mengenal estimasi sbb:
▲Ini artinya, bahwa sesuai dengan konstanta , solusi Galerkin adalah mendekati solusi awal u sebagai vector lainnya dalam . Faktanya, hal ini cukup untuk mempelajari pendekatan dengan ruang , dengan sepenuhnya melupakan tentang persamaan yang ssedang diselesaikan.
Bagi dengan <math> c\lVert e_n \rVert</math> dan ambil semua kemungkinan hasil akhir infimum lemma
▲Karena buktinya sangat sederhana dan prinsip dasar dibalik semua metode Galerkin yaitu eliptisitas dan pembatasan pada bentuk bilinear(pertidaksamaan) dan ortogonalitas Galerkin, kita punya sehingga:
▲Bagi dengan dan ambil semua kemungkinan hasil akhir infimum lemma .
| |||