Wikipedia

Metode Galerkin: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Boulevard (bicara | kontrib)
32 suntingan
Tidak ada ringkasan suntingan
k melakukan perapian bagian; mengubah "simetrik" menjadi simetris"
 
(22 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{rapikan}}
 
Dalam [[matematika]], khususnya bidang [[analisis numerik]], metode galerkin merupakan metode yang digunakan untuk mengubah masalah operator kontinu (seperti [[persamaan differensial]]) ke masalah diskret. Dalam prinsipnya, metode ini mirip penerapannya dengan [[metode variasi]] ke ruang fungsi dengan merubahmengubah parsamaannya ke [[formulasi lemah]]. Yang secara khusus menerapkan beberapa batasan pada ruang fungsi untuk menggolongkan ruang pada suatu himpunan terbatas dari basis fungsi. Seringkali pada penggunaannya, metode Galerkin menyajikan juga metode approksimasi yang biasa digunakan pada umumnya, seperti metode [[Petrov-Galerkin]] atau [[metode Ritz-Galerkin]].▼
Metode Galerkin▼
 
▲Dalam [[matematika]], khususnya bidang [[analisis numerik]], metode galerkin merupakan metode yang digunakan untuk mengubah masalah operator kontinu (seperti [[persamaan differensial]]) ke masalah diskret. Dalam prinsipnya, metode ini mirip penerapannya dengan [[metode variasi]] ke ruang fungsi dengan merubah parsamaannya ke [[formulasi lemah]]. Yang secara khusus menerapkan beberapa batasan pada ruang fungsi untuk menggolongkan ruang pada suatu himpunan terbatas dari basis fungsi. Seringkali pada penggunaannya, metode Galerkin menyajikan juga metode approksimasi yang biasa digunakan pada umumnya, seperti metode [[Petrov-Galerkin]] atau [[metode Ritz-Galerkin]].
 
Pendekatan berharga oleh matematikawan Rusia [[Boris Galerkin]].
Baris 10 ⟶ 8:
 
Contoh-contoh metode Galerkin adalah:
# [[Metode elemen berhingga]]
# [[Metode elemen pembatas]] untuk menyelesaikan persamaan integral
# [[Metode subruang Kyrlov]]
 
'''== Pengenalan Masalahmasalah abstrak Abstrak'''==
 
'''a. === Masalah dalam formulasi lemah''' ===
 
Misalkan kita memasukkan metode Galerkin pada sebuah masalah abstrak yang merupakan suatu [[formulasi lemah]] pada [[ruang [[Hilbert]] yaitu ''V'', jika diketahui <math> u\in V </math> sehingga untuk setiap <math> v\in V </math> maka
<center><math> a(u,v) = f(v) </math>.</center>
adalah benar. Sekarang <math>a( \cdots, \cdots )</math> adalah bentuk [[bilinear]] (penjelasan yang eksak atas <math>a( \cdots, \cdots )</math> akan ditentukan selanjutnya) dan ''f'' adalah operator linear pembatas pada ''V''.
 
'''b. === Diskretisasi Galerkin''' ===
 
Pilih subruang <math> v_n \subset V</math> dengan dimensi yang lebih kecil (sebenarnya, kita akan mengasumsikan bahwa indeks ''n'' menujukkan dimensinya) dan memecahkan masalah yang perhitungkan.
Jika diketahui <math> u_n \in V_n </math> dan untuk setiap <math> v_n \in V_n </math> maka
<center><math> a(u_n ,v_n) = f(v_n) </math>.</center>
Kita akan menyebut persamaan ini sebagai persamaan Galerkin. Dengan catatan bahwa persamaan ini tidak dapat dirubahdiubah dan hanya ruangnya yang dapat dirubahdiubah.
 
'''c. === Ortogonalitas Galerkin''' ===
 
Hal ini merupakan sifat mendasar yang membuat analisis matematika dari metode Galerkin sangat jelas. Karena <math>v_n \subset V</math> , kita dapat menggunakan <math> v_n </math> sebagai vector dalam persamaan awal. Substitusi persamaan yang kedua, kita dapati ortogonalitas Galerkin untuk galat
<center><math> a(e_n , v_n) = a(u ,v_n) - a(u_n , v_n) = f(v_n) - f(v_n) = 0 </math>.</center>
Sekarang, <math> e_n</math> = ''u'' – <math>u_n </math> adalah galat antara solusi masalah awal ''u'' dan persamaan Galerkin <math>u_n</math> secara berturut-turut.
 
'''d. === Bentuk Matriks''' ===
 
Karena tujuan dari metode Galerkin adalah membentuk sistem persamaan linear, maka kita membangun bentuk matriksnya, sehingga dapat digunakan untuk menghitung solusi dengan program computer.
Misal <math>e_1 , e_2 , \cdots ,e_n </math> basis untuk <math> v_n </math>. Maka hal ini cukup untuk menguji coba persamaan Galerkin, sebagai contoh:
Diketahui <math> u_n \in V_n </math> sehingga
<center><math> a(u_n , e_i) = f(e_i) </math>.</center>
Kita akan mengembangkan <math> u_n </math> menjadi basis seperti ini, <math> u_n = \sum_{j=1}^n u_j e_j</math> dan memasukkannya kedalam persamaan di atas, sehingga diperoleh
<center><math> a(\sum_{j=1}^n u_j*e_j e_j, e_i) = \sum_{j=1}^n u_j* a(e_j,e_i) = f(e_i) </math>. untuk </centermath>i = 1 , \cdots, n</math>.</center>
Dalam persamaan sebelumnya, sebenarnya merupakan sistem persamaan linear <math> A_u = f </math>, dimana
<math> a_ij = a(e_j , e_i) </math> dengan <math> f_i = f(e_i) </math>
 
=== Matriks Simetris ===
 
Dalam kaitannya dengan definisi dari matriks entry, matriks dari persamaan Galerkin adalah simetriksimetris jika dan hanya jika bentuk [[bilinear]] <math>a( \cdots, \cdots )</math> adalah simetriksimetris.▼
'''e. Matriks Simetrik'''
 
▲== Analisis dari Metode Galerkin ==
▲Dalam kaitannya dengan definisi dari matriks entry, matriks dari persamaan Galerkin adalah simetrik jika dan hanya jika bentuk [[bilinear]] <math>a( \cdots, \cdots )</math> adalah simetrik.
 
Sekarang, kita akan membatasi diri kita pada bentuk bilinear simetriksimetris, yaitu:▼
'''f. Analisis dari Metode Galerkin'''
 
▲Sekarang, kita akan membatasi diri kita pada bentuk bilinear simetrik, yaitu:
<center><math> a(u,v) = a(u,v) </math>.</center>
Karena ini bukan benar-benar sebuah batas dari metode Galerkin, aplikasi dari teori standar ini menjadi sangat mudah. Selanjutnya, metode [[Petrov-Galerkin]] dibutuhkan dalam kasus non-simetriksimetris.
Analisis dari metode ini dihasilkan dalam dua langkah. Yang pertama, kita akan menunjukkan bahwa persamaan Galerkin adalah [[well-posed problem]] menurut [[Hadamard]] dan oleh karena itu kita mengakui persamaan ini sebagai solusi yang tunggal. Pada langkah kedua, kita mempelajari pendekatan sifat dari solusi Galerkin <math>u_n</math> .
 
Analisi ini kebanyakan akan mengacu pada dua sifat dari bentuk bilinear, yakni:
* Pembatasan: untuk setiap <math> u , v \in V</math> adalah benar bahwa
<center><math> a(u,v) \le C \iVertlVert u \rVert \iVertlVert v \rVert </math>.</center> untuk konstanta C > 0 .</center>
* Eliptisitas: untuk setiap setiap <math> u \in V</math> adalah benar bahwa
<center><math> a(u,v) \ge c\iVertlVert u\rVert ^2 </math>.</center> untuk konstanta c > 0 .</center>
 
Menurut teorema Lax-Milgram, ada dua kondisi implikatif well-posedness dari masalah awal dalam [[formulasi lemah]]. Semua kaidah dalam bagian berikut ini akan dinormalisasikan untuk pertidaksamaan benar di atas (kaidah ini sering disebut juga kaidah energy).
 
'''g. === Well-posedness dari metode Galerkin''' ===
 
Karena <math> V_n \subset V </math> pembatasan dan eliptisitas dari bentuk bilinear berlaku bagi <math> V_n </math>. Oleh karena itu, Well-posedness dari metode Galerkin sebenarnya diturunkan dari Well-posedness dari masalah awal. ▼
 
'''h. === Pendekatan Quasi-Best (Lemma Cèa)''' ===▼
 
Galat <math> e_n</math> = ''u'' – <math>u_n </math> antara solusi awal dan solusi Galerkin mengenal estimasi sbb:▼
 
<center><math>\lVert e_n \rVert</math> <math>\le</math> <math>\frac{C}{c}</math> <math>\overset {inf} {v_n \in V_n}</math> <math>\lVert u - v_n \rVert </math>.</center>
 
Ini artinya, bahwa sesuai dengan konstanta <math>\frac {C} {c}</math>, solusi Galerkin “u”_n<math> u_n </math> adalah mendekati solusi awal “u”''u'' sebagai vector lainnya dalam “V”_n<math> V_n </math> . Faktanya, hal ini cukup untuk mempelajari pendekatan dengan ruang “V”_n<math> V_n </math>, dengan sepenuhnya melupakan tentang persamaan yang ssedang diselesaikan.▼
 
=== Bukti ===
▲Karena <math> V_n \subset V </math> pembatasan dan eliptisitas dari bentuk bilinear berlaku bagi <math> V_n </math>. Oleh karena itu, Well-posedness dari metode Galerkin sebenarnya diturunkan dari Well-posedness dari masalah awal.
 
Karena buktinya sangat sederhana dan prinsip dasar dibalik semua metode Galerkin yaitu eliptisitas dan pembatasan pada bentuk [[bilinear]](pertidaksamaan) dan ortogonalitas Galerkin, kita punya “v”_n<math> v_n \in “V”_nV_n</math> sehingga:▼
▲'''h. Pendekatan Quasi-Best (Lemma Cèa)'''
 
<center><math> c\iVertlVert u\rVert ^2 \le a(e_n , e_n) = a(e_n , u-v_n) \le C\iVertlVert e_n \rVert \iVertlVert u-v_n \rVert </math> .</center>▼
▲Galat <math> e_n = u – u_n </math> antara solusi awal dan solusi Galerkin mengenal estimasi sbb:
<math> \iVert e_n\rVert\ = \frac {C} {c} \overset {inf} {“v”_n \in “V”_n} \iVert u-“v”_n \rVert\</math>
▲Ini artinya, bahwa sesuai dengan konstanta \frac {C} {c}, solusi Galerkin “u”_n adalah mendekati solusi awal “u” sebagai vector lainnya dalam “V”_n. Faktanya, hal ini cukup untuk mempelajari pendekatan dengan ruang “V”_n, dengan sepenuhnya melupakan tentang persamaan yang ssedang diselesaikan.
 
Bagi dengan “c”<math> c\iVertlVert e_n \rVert</math> dan ambil semua kemungkinan hasil akhir infimum lemma “v”_h<math>v_h</math>.▼
i. Bukti
▲Karena buktinya sangat sederhana dan prinsip dasar dibalik semua metode Galerkin yaitu eliptisitas dan pembatasan pada bentuk bilinear(pertidaksamaan) dan ortogonalitas Galerkin, kita punya “v”_n \in “V”_n sehingga:
▲<math> c\iVert u\rVert ^2 \le a(e_n , e_n) = a(e_n , u-v_n) \le C\iVert e_n \rVert \iVert u-v_n \rVert </math>
▲Bagi dengan “c”\iVert e_n \rVert dan ambil semua kemungkinan hasil akhir infimum lemma “v”_h.
<math><math>Masukkan rumus di sini</math>€</math>
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Metode_Galerkin"