Matriks simetrik: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 6 Maret 2021 05.24 sunting Kekavigi (bicara \| kontrib) Peninjau otomatis, Pengecualian blokir IP 1.815 suntingan membuat artikel rintisan; akan dikembangkan secepatnya. konten dalam suntingan ini adalah hasil alih bahasa dari en:Symmetric_matrix; lihat sejarahnya untuk atribusi. Tag: VisualEditor		Revisi terkini sejak 27 April 2021 14.24 sunting balikkan Dedhert.Jr (bicara \| kontrib) 16.376 suntingan →Dekomposisi menjadi matriks simetrik dan simetrik-miring: Kata "dekomposisi" diubah menjadi "penguraian" dan "commute" diterjemahkan menjadi "komutatif" (Commute sama saja dengan komutatif, lihat en:Commute). Tag: VisualEditor
(4 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1: {{Short description\|matriks yang sama dengan matriks transposnya}} {{for\|matriks dengan simetri atas lapangan [[bilangan kompleks]]\|Matriks ~~Hermitian~~Hermite}} [[Berkas:Matrix_symmetry_qtl1.svg\|jmpl\|Simetri pada matriks ~~simetris~~simetrik berukuran 5×5.]] Dalam [[aljabar linear]], '''matriks ~~simetris~~simetrik''' adalah jenis [[matriks persegi]] yang sama dengan matriks hasil [[Transpos\|transposnya]]. Secara formal, matriks <math>A</math>didefinisikan matriks ~~simetris~~simetrik jika <math>A=A^\text{T}</math>. Karena sifat kesamaan pada matriks memerlukan kedua matriks memiliki ukuran yang sama, hanya matriks persegi yang dapat ~~simetris~~simetrik. Elemen-elemen pada matriks ~~simetris~~simetrik saling simetrik sepanjang [[Diagonal utama\|diagonal utamanya]]. Secara lebih formal, misal <math>a_{ij}</math> menyatakan elemen matriks <math>A</math> pada baris ke-<math>i</math> dan kolom ke-<math>j</math>. Matriks <math>A</math> ~~simetris~~simetrik [[jika dan hanya jika]] untuk setiap <math>i,\,j</math> berlaku <math>a_{ij} = a_{ji}</math>. Setiap [[Matriks diagonal\|matriks persegi diagonal]] bersifat simetrik, karena setiap elemen non-diagonal utama bernilai nol. == Contoh == Berikut adalah contoh matriks ~~simetris~~simetrik ukuran <math>3 \times 3</math> : : <math>A = Baris 21: </math> == ~~Daftar pustaka~~Sifat == ===Sifat dasar=== * Penjumlahan dan pengurangan dua matriks simetrik menghasilkan matriks simetrik * Hal ini tidak selalu benar untuk [[Perkalian matriks\|hasil perkalian]]: untuk sebarang matriks <math>A</math> dan <math>B</math>, matriks <math>AB</math> bersifat simetrik [[jika dan hanya jika]] <math>A</math> dan <math>B</math> saling komutatif, yakni, jika <math>AB=BA</math>. * Untuk bilangan bulat <math>n</math>, <math>A^n</math> matriks simetrik jika <math>A</math> matriks simetrik. * Jika <math>A^{-1}</math> ada, maka matriks tersebut simetrik jika dan hanya jika <math>A</math> simetrik. ===Penguraian menjadi matriks simetrik dan simetrik-miring=== Setiap [[matriks persegi]] dapat dituliskan secara tunggal sebagai penjumlahan matris simetrik dan [[matriks simetrik-miring]]. Misal <math>\mbox{Mat}_n</math> menyatakan [[Ruang (matematika)\|ruang]] matriks ukuran <math>n \times n</math>. Jika <math>\mbox{Sym}_n</math> adalah ruang matriks simetrik ukuran <math>n \times n</math> dan <math>\mbox{Skew}_n</math> adalah ruang matriks simetrik-miring ukuran <math>n \times n</math>, maka <math>\mbox{Mat}_n = \mbox{Sym}_n + \mbox{Skew}_n</math> dan <math>\mbox{Sym}_n \cap \mbox{Skew}_n = \{0\}</math>; yakni, :<math>\mbox{Mat}_n = \mbox{Sym}_n \oplus \mbox{Skew}_n , </math> dengan <math>\oplus</math> adalah [[jumlah langsung]]. Selanjutnya, misal <math>X \in \mbox{Mat}_n</math>. Matriks <math>X</math> dapat dinyatakan sebagai :<math>X = \frac{1}{2}\left(X + X^\textsf{T}\right) + \frac{1}{2}\left(X - X^\textsf{T}\right)</math>. Perhatikan bahwa <math>\frac{1}{2}\left(X + X^\textsf{T}\right) \in \mbox{Sym}_n</math> dan <math>\frac{1}{2}\left(X - X^\textsf{T}\right) \in \mbox{Skew}_n</math>. Hal ini benar untuk semua matriks persegi <math>X</math> dengan elemen dari sebarang [[Medan (matematika)\|lapangan]] dengan nilai [[Karakteristik aljabar\|karakteristik]] bukan 2. Matriks simetrik ditentukan oleh <math>\tfrac{1}{2}n(n+1)</math> skalar (banyaknya elemen di dan dan di atas [[diagonal utama]]). Mirip dengan itu, [[matriks simetrik-miring]] ditentukan dari <math>\tfrac{1}{2}n(n-1)</math> skalar (banyaknya elemen di atas diagonal utama). === Matriks yang kongruen dengan matriks simetrik === Setiap matriks yang [[Kekongruenan matriks\|kongruen]] dengan matriks simetrik juga merupakan matriks simetrik: jika <math>X</math> adalah matriks simetrik, begitu pula matriks <math>A X A^{\mathrm T}</math> untuk sebarang matriks <math>A</math>. == Daftar pustaka == * {{citation\|last=Horn\|first=Roger A.\|last2=Johnson\|first2=Charles R.\|title=Matrix analysis\|edition=2nd\|publisher=Cambridge University Press\|year=2013\|isbn=978-0-521-54823-6}}