|
[[Gambar:Group homomorphism ver.2.svg|right|thumb|250px|Gambar homomorfismekehomomorfan grup ('''h''') dari '''G''' (kiri) ke '''H''' (kanan). Oval yang lebih kecil di dalam '''H''' adalah gambar '''h'''. '' 'N' '' adalah inti dari '''h''' dan '''aN''' adalah [[coset]] dari '''N'''.]]
{{Group theory sidebar |Basics}}
Dalam [[matematika]], diberikan dua [[grup (matematika)|grup]], (''G'', ∗) dan (''H'', ·), sebuah '''grupkehomomorfan homomorfismegrup''' dari ('' G '', ∗) ke ('' H '', ·) adalah [[fungsi (matematika)|fungsi]] ''h'' : ''G'' → ''H'', '' u '' dan '' v '' dengan '' G '' dirumuskan
:<math> h(u*v) = h(u) \cdot h(v) </math>
:<math> h\left(u^{-1}\right) = h(u)^{-1}. \,</math>
Maka, dikatakan bahwa '' h '' "kompatibelsesuai dengan struktur grup".
Notasi lama untuk [[homomorfisme|kehomomorfan]] ''h''(''x'') maka ''x''<sup>''h''</sup> atau ''x''<sub>''h''</sub>,{{fact|date=Januari 2021}} sebagai indeks atau subskrip umum. Dalam [[teori automata]], terkadang homomorfismekehomomorfan ditulis dibagian kanan argumen tanpa tanda kurung, sehingga ''h''(''x'') menjadi '' x h ''.{{fact|date=Januari 2021}}
Dalam bidang matematika di mana grup dengan struktur tambahan, '' homomorfisme kehomomorfan'' berarti peta struktur grup tetapi juga struktur ekstra. Misalnya, homomorfismekehomomorfan [[grup topologi]] harus menggunakan kontinu.
== Intuisi ==
Tujuan dari definisi homomorfismekehomomorfan grup adalah untuk menciptakan fungsi pada struktur aljabar. Definisi yang setara dari homomorfismekehomomorfan grup adalah: Fungsi ''h'' : ''G'' → ''H'' adalah homomorfismekehomomorfan grup
''a'' ∗ ''b'' = ''c'' dirumuskan ''h''(''a'') ⋅ ''h''(''b'') = ''h''(''c'').
Grup '' H '' dalam beberapa hal memiliki struktur aljabar dengan '' G '' dan homomorfisme kehomomorfan'' h ''.
== Jenis ==
;[[Monomorfisme]]{{anchor|monomorfisme}}: HomomorfismeKehomomorfan gru0grup yaitu [[fungsi injeksi|injeksi]] (atau, satu-ke-satu); yaitu, perbedaan.
;[[Epimorfisme]]: HomomorfismeKehomomorfan grup yaitu [[fungsi surjektif|surjektif]] (atau, ke); yaitu mencapai setiap titik di kodomain.
;[[grup isomorfisme|Isomorfisme]]: Suatu grupkehomomorfan homomorfismegrup yaitu [[bijeksi|bijektif]]; yaitu, injeksi dan surjektif. Kebalikannya juga merupakan homomorfismekehomomorfan grup. Dalam hal ini, grup '' G '' dan '' H '' disebut '' isomorfik ''; mereka hanya berbeda dalam notasi elemennya dan identik untuk semua tujuan praktis.
;[[EndomorfismeKeendomorfan]]: HomomorfismeKehomomorfan, ''h'': ''G'' → ''G''; domainranah dan codomainkodomain adalah sama. Juga disebut endomorfismekeendomorfan dari '' G ''.
;[[AutomorfismeKeautomorfan]]: EndomorfismeKeendomorfan bersifat bijektiva, dan karenanya merupakan isomorfisme. Himpunan semua [[automorfismakeautomorfan]] dari grup '' G '', dengan komposisi fungsional sebagai operasi, membentuk grup itu sendiri, '' grup automorfismekeautomorfan '' dari '' G .''. Dilambangkan dengan Aut(''G''). Sebagai contoh, kelompok automorfismekeautomorfan ('''Z''', +) hanya mengandung dua elemen, transformasi identitas dan perkalian dengan −1; itu isomorfik untuk '''Z'''/2'''Z'''.
== Galeri dan kernel ==
: <math> \operatorname{im}(h) \equiv h(G) \equiv \left\{h(u)\colon u \in G\right\}.</math>
Kernel dan Galeri homomorfismekehomomorfan dapat diartikan sebagai mengukur dekat menjadi isomorfisme. [[teorema isomorfisme | teorema isomorfisme pertama]] menyatakan bahwa citra suatu kelompok homomorfismekehomomorfan, ''h''(''G'') isomorfik ke grup hasil bagi ''G''/ker ''h''.
Kernel h adalah [[subgrup normal]] dari '' G '' dan galeri h adalah [[subgrup]] dari '' H '':
\end{align}</math>
Jika dan hanya jika {{nowrap|ker(''h'') {{=}} {''e''<sub>''G''</sub>}}}, homomorfismekehomomorfan, '' h '', adalah [[#monomorfisme|'' grup monomorfisme '']]; yaitu, '' h '' adalah injektif (satu-ke-satu). Injeksi secara langsung memberikan bahwa ada elemen unik di kernel, dan elemen unik di kernel memberikan injeksi:
:<math>\begin{align}
&& h(g_1) &= h(g_2) \\
== Contoh ==
* Pertimbangkan [[grup siklik]] '''Z'''/3'''Z''' = {0, 1, 2} dan kelompok bilangan bulat '''Z''' dengan penambahan. Peta ''h'' : '''Z''' → '''Z'''/3'''Z''' dengan ''h''(''u'') = ''u'' [[modular aritmetika|mod]] 3 adalah homomorfismekehomomorfan grup. Ini [[surjektif]] dan kernelnya terdiri dari semua bilangan bulat yang habis dibagi 3.
{{bulleted list|
Pertimbangkan grup
adalah homomorfisme grup.
}}
* [[Fungsi eksponensial|Peta eksponensial]] menghasilkan homomorfismekehomomorfan grup dari grup [[bilangan riil]] '''R''' dengan penambahan ke grup bilangan real bukan-nol '''R'''* dengan perkalian. Kernel adalah {0} dan gambar terdiri dari bilangan riil positif.
* Peta eksponensial juga menghasilkan homomorfismekehomomorfan grup dari grup [[bilangan kompleks]] '''C''' dengan tambahan grup bilangan kompleks bukan nol '''C'''* dengan perkalian. Peta bersifat surjektif dan memiliki kernel {2π''ki'' : ''k'' ∈ '''Z'''}, seperti yang bisa dilihat dari [[Rumus Euler]]. Field seperti '''R''' dan '''C''' yang memiliki homomorfismekehomomorfan dari grup aditif ke grup perkaliannya disebut [[bidang eksponensial]].
== Kategori grup ==
Jika {{nowrap|''h'' : ''G'' → ''H''}} dan {{nowrap|''k'' : ''H'' → ''K''}} adalah homomorfismekehomomorfan grup, maka {{nowrap|''k'' ∘ ''h'' : ''G'' → ''K''}}. Hal ini menunjukkan bahwa kelas dari semua grup, bersama dengan homomorfismekehomomorfan grup sebagai morfisme, membentuk suatu [[teori kategori|kategori]].
== HomomorfismeKehomomorfan grup abelian ==
Jika '' G '' dan '' H '' adalah [[grup abelian|abelian]] (yaitu, Komutatif) grup, maka himpunan {{nowrap|Hom(''G'', ''H'')}} dari semua homomorfismekehomomorfan grup dari '' G '' hingga '' H '' adalah grup abelian itu sendiri: jumlah {{nowrap|''h'' + ''k''}} dari dua homomorfismekehomomorfan didefinisikan oleh
:(''h'' + ''k'')(''u'') = ''h''(''u'') + ''k''(''u'') pada '' u '' ke '' G ''.
Komutatifitas Komutatif'' H '' diperlukan untuk membuktikan {{nowrap|''h'' + ''k''}} sekali lagi merupakan homomorfismekehomomorfan kelompok.
Penambahan homomorfismekehomomorfan dengan komposisi homomorfismekehomomorfan dalam pengertian berikut: maka '' f '' adalah {{nowrap|Hom(''K'', ''G'')}}, ''h'', ''k'' adalah elemen dari {{nowrap|Hom(''G'', ''H'')}}, dan '' g '' termasuk {{nowrap|Hom(''H'', ''L'')}}, maka
:{{nowrap|1=(''h'' + ''k'') ∘ ''f'' = (''h'' ∘ ''f'') + (''k'' ∘ ''f'')}} dan {{nowrap|1=''g'' ∘ (''h'' + ''k'') = (''g'' ∘ ''h'') + (''g'' ∘ ''k'')}}.
Karena komposisinya [[asosiatif]], ini menunjukkan bahwa himpunan End('' G '') dari semua endomorfismekeendomorfan dari grup abelian membentuk [[gelanggang (aljabar)|gelanggang]], yang '' [[gelanggang endomorfismekeendomorfan]] '' dari '' G ''. Misalnya, cincin endomorfisma dari grup abelian yang terdiri dari [[Jumlah langsung grup|jumlah langsung]] dari salinan '' m '' dari '''Z'''/''n'''''Z''' isomorfik terhadap gelanggang '' m ''-oleh-'' m '' [[matriks (matematika)|matriks]] dengan entri dalam '''Z'''/''n'''''Z'''. Menunjukkan bahwa kategori semua grup abelian dengan homomorfismekehomomorfan grup membentuk [[kategori preadditif]]; keberadaan jumlah langsung dan kernel menjadikan kategori ini contoh prototipe dari sebuah [[kategori abelian]].
== Lihat pula ==
{{Div col}}
*[[Teorema fundamentaldasar homomorfismekehomomorfan]]
*[[Gelanggang homomorfisme]]
{{Div col end}}
| 