Aturan Trapesium Rekursif: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan |
kTidak ada ringkasan suntingan Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler |
||
| (17 revisi perantara oleh 9 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{rapikan}}
<math>\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)</math>
Dengan ''F(x)'' adalah [[antiderivatif]] ''f(x)'' (yakni ''F’(x)=f(x)''). Banyak integral tentu yang dapat dihitung dengan rumus tesebut, namun demikian, tidak sedikit integral tentu yang tidak dapat dihitung dengan rumus
Integrasi numerik merupakan suatu alat utama yang digunakan para [[ilmuwan]] untuk mendapatkan nilai-nilai hampiran untuk integral tentu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Dalam mendapatkan nilai-nilai hampiran integral tentu, digunakan banyak metode, salah satu metode yang dapat digunakan adalah
== Aturan Trapesium Rekursif ==
Misalkan <math>f</math>
adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada <math> [a,b]
Baris 18 ⟶ 19:
<math>k=0,1,2,3,...n </math>. Perhatikan aturan trapesium
untuk fungsi
<math>f</math> terhadap partisi
pembahasan pada bagian ini, kita gunakan notasi kuadratur dengan
<math>\ T_n(f,h)
=\frac{h}{2}(f_0+2f_1+2f_2+....+2f_{n-1} + f_n)</math>
:::<math>=\frac{h}{2}(f_0+ f_n)+h(f_1+f_2+....+f_(n-1))</math>
:::<math>=\frac{h}{2}(f_0+ f_n)+ h \sum_{k=1}^{n-1} f_k</math>...................(1)
Jika lebar setiap subinterval diperkecil separonya, maka didapat
Baris 33 ⟶ 34:
<math>\ T_{2n}(f,\frac{h}{2}) =\frac{h}{4}(f_0+f_{2n})+\frac{h}{2}\sum_{k=1}^{2n-1} f_k</math>
:::<math>=\frac{h}{4}(f_0+ f_{2n})+ \frac{h}{2}\sum_{j=1}^{n-1}f_{2j}+\frac{h}{2}\sum_{j=1}^n f_{2j-1}</math>...................(2)
<math>\ T_{2n}(f,\frac{h}{2}) =\frac{T_n(f,h}{2}+\frac{h}{2}\sum_{j=1}^n f_{2j-1}</math>...................(3)
Baris 39 ⟶ 40:
Pada (1) berlaku <math>f_k=f(x_0+kh)</math>, sedangkan pada
(2) berlaku <math>f_k=f(x_0+kh/2</math>,
sehingga <math>f_{2k}</math>, pada (2) sama
dengan <math>f_k</math> pada (1). Rumus (3) disebut rumus
trapesium rekursif. Rumus ini
memungkinkan penggunaan aturan trapesium majemuk secara efisien, tanpa
harus menghitung ulang nilai-nilai fungsi di beberapa absis yang sudah
dihitung sebelumnya. Untuk <math>h=(b-a)</math>, dan
<math>n=1,2,4,8,16.......</math> atau
<math>n=2^0,2^1,2^2,2^3,2^4,......,2^k......</math> Kita
akan mendapatkan barisan aturan trapesium <math>T_0,T_1,T_2,T_3,.....T_k,....</math> dengan,
<math>T_0 = T_1(f,h)=\frac{h}{2}(f(a)+f(b))</math>
dan,<math>T_k=T_{2^k}(f,\frac{h}{2^k})</math>, k=1,2,3,...
yang memenuhi hubungan <math>T_{k+1}=\frac{T_k}{2}+\frac{h}{2^{k+1}}\sum_{j=1}^{2^k}f_{2j-1}</math>,
dengan <math>f_1=f(a+i(\frac{h}{2^{k+1}})</math>............... (4)
== Langkah-langkah Aturan Trapesium Rekursif ==
Dalam menghitung hampiran <math>\int_a^b f(x)\,dx</math>dengan aturan trapesium rekursif, kita lakukan langkah-langkah sebagai berikut;
'''<math>h=b-a</math>'''
<math>T_0=\frac{h}{2}(f(a)+f(b))</math>
Baris 79 ⟶ 68:
<math>T_3=\frac{T_2}{2}+\frac{h}{8}(f_1+f_3+f_5)</math>
.
.
.
dst
== Contoh Penghitungan Integral Menggunakan MATLAB ==
Misalkan kita akan menghitung integral <math>\int_1^5 f(x)\,dx</math>,dengan menggunakan Aturan Trapesium Rekursif. Untuk lebih memudahkan penghitungan dalam MATLAB, telebih dahulu kita buat fungsi dalam M file, berikut fungsinya
function Tn=trapesiumrekursif(f,n,a,b)
h=b-a;
if n==0, Tn=h*(f(a)+f(b))/2;
else if n>0,
index=[1:2:2^n-1];
x=a+h*index/(2^n);
F=f(x);
Jf=sum(F);
Tn=trapesiumrekursif(f,n-1,a,b)/2+Jf*h/(2^n);
end
end
Kita simpan fungsi ini dalam file trapesiumrekursi.m
untuk menghitung integral yang dimaksud, kita tinggal memasukan fungsinya dalam command window MATLAB, berikut caranya;
>> f=inline(‘exp(x)’)
kemudian akan munncul hasil sebagai berikut
f =
Inline function:
f(x) = exp(x)
selanjutnya kita panggil fungsi fungsi trapesiumrekursif,
>> T=[];
>> for n=0:10,
Tn=trapesiumrekursif(f,n,1,5);
T=[T;n Tn];
end
Selanjutnya kita tampilkan nilai T
>> T
kemudian akan muncul hasil sebagai berikut,
T =
0 302.2629
1.0000 191.3025
2.0000 157.6385
3.0000 148.7176
4.0000 146.4529
5.0000 145.8845
6.0000 145.7423
7.0000 145.7067
8.0000 145.6978
9.0000 145.6956
10.0000 145.6951
Maksud dari tabel penghitungan MATLAB di atas adalah, kolom pertama menyatakan nilai-nilai n, dan kolom kedua menyatakan Tn.
== Daftar Pustaka ==
Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. ANDI, Yogyakarta
[[Kategori:Persamaan diferensial]]
[[Kategori:Persamaan matematika]]
[[Kategori:Persamaan]]
| |||