Aturan Trapesium Rekursif: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

← Revisi sebelumnya

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 15 Februari 2008 16.38 sunting Muwachnur (bicara \| kontrib) 15 suntingan Tidak ada ringkasan suntingan ← Revisi sebelumnya		Revisi terkini sejak 19 Mei 2021 10.14 sunting balikkan Devi 4340 (bicara \| kontrib) Peninjau otomatis, Pengecualian blokir IP 3.904 suntingan kTidak ada ringkasan suntingan Tag: VisualEditor Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler
(14 revisi perantara oleh 9 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1: {{rapikan}} '''Aturan Trapesium [[Rekursif]]''' merupakan suatu metode pengintegralan dalam analisis numerik.di Di dalam Kalkulus, integral tentu didefinisikan sebagai sebuah limit ~~jumlah~~ [[jumlah Riemann]]. Selanjutnya, menurut [[Teorema Dasar Kalkulus]] integral tersebut dapat dihitung dengan rumus, <math>\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)</math> Dengan ''F(x)'' adalah [[antiderivatif]] ''f(x)'' (yakni ''F’(x)=f(x)''). Banyak integral tentu yang dapat dihitung dengan rumus tesebut, namun demikian, tidak sedikit integral tentu yang tidak dapat dihitung dengan rumus ~~diatas~~di atas, hal itu dikarenakan integran ''f(x)''tidak mempunyai antiderivatif yang dapat dinyatakan dalam fungsi-fungsi elementer. Dalam hal ini perhitungan yang dapat dilakukan adalah secara numerik. Integrasi numerik merupakan suatu alat utama yang digunakan para [[ilmuwan]] untuk mendapatkan nilai-nilai hampiran untuk integral tentu yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. Dalam mendapatkan nilai-nilai hampiran integral tentu, digunakan banyak metode, salah satu metode yang dapat digunakan adalah [[Aturan Trapesium Rekursif]]. Berikut akan dijelaskan penghitungan integral tentu menggunakan Aturan Trapesium Rekursif. == Aturan Trapesium Rekursif == Misalkan <math>f</math> adalah suatu fungsi yang terdefinisi pada <math> [a,b] Baris 17 ⟶ 19: <math>k=0,1,2,3,...n </math>. Perhatikan aturan trapesium untuk fungsi <math>f</math> terhadap partisi ~~diatas~~di atas (untuk keperluan pembahasan pada bagian ini, kita gunakan notasi kuadratur dengan ~~menyertekan~~menyertakan cacah dan lebar subinterval), <math>\ T_n(f,h) =\frac{h}{2}(f_0+2f_1+2f_2+....+2f_{n-1} + f_n)</math> :::<math>=\frac{h}{2}(f_0+ f_n)+h(f_1+f_2+....+f_(n-1))</math> :::<math>=\frac{h}{2}(f_0+ f_n)+ h \sum_{k=1}^{n-1} f_k</math>...................(1) Jika lebar setiap subinterval diperkecil separonya, maka didapat Baris 32 ⟶ 34: <math>\ T_{2n}(f,\frac{h}{2}) =\frac{h}{4}(f_0+f_{2n})+\frac{h}{2}\sum_{k=1}^{2n-1} f_k</math> :::<math>=\frac{h}{4}(f_0+ f_{2n})+ \frac{h}{2}\sum_{j=1}^{n-1}f_{2j}+\frac{h}{2}\sum_{j=1}^n f_{2j-1}</math>...................(2) <math>\ T_{2n}(f,\frac{h}{2}) =\frac{T_n(f,h}{2}+\frac{h}{2}\sum_{j=1}^n f_{2j-1}</math>...................(3) Baris 38 ⟶ 40: Pada (1) berlaku <math>f_k=f(x_0+kh)</math>, sedangkan pada (2) berlaku <math>f_k=f(x_0+kh/2</math>, sehingga <math>f_{2k}</math>, pada (2) sama dengan <math>f_k</math> pada (1). Rumus (3) disebut rumus trapesium rekursif. Rumus ini memungkinkan penggunaan aturan trapesium majemuk secara efisien, tanpa harus menghitung ulang nilai-nilai fungsi di beberapa absis yang sudah dihitung sebelumnya. Untuk <math>h=(b-a)</math>, dan <math>n=1,2,4,8,16.......</math> atau <math>n=2^0,2^1,2^2,2^3,2^4,......,2^k......</math> Kita akan mendapatkan barisan aturan trapesium <math>T_0,T_1,T_2,T_3,.....T_k,....</math> dengan, ~~<math>T_0,T_1,T_2,T_3,.....T_k,....</math>~~ ~~dengan,~~ <math>T_0 = T_1(f,h)=\frac{h}{2}(f(a)+f(b))</math> dan,<math>T_k=T_{2^k}(f,\frac{h}{2^k})</math>, k=1,2,3,...▼ yang memenuhi hubungan <math>T_{k+1}=\frac{T_k}{2}+\frac{h}{2^{k+1}}\sum_{j=1}^{2^k}f_{2j-1}</math>,▼ dengan <math>f_1=f(a+i(\frac{h}{2^{k+1}})</math>............... (4)▼ == Langkah-langkah Aturan Trapesium Rekursif ==▼ ~~dan,~~ ▲<math>T_k=T_{2^k}(f,\frac{h}{2^k})</math>, k=1,2,3,... ~~yang memenuhi hubungan~~ ▲<math>T_{k+1}=\frac{T_k}{2}+\frac{h}{2^{k+1}}\sum_{j=1}^{2^k}f_{2j-1}</math>, ▲dengan<math>f_1=f(a+i(\frac{h}{2^{k+1}})</math>............... (4) ▲==Langkah-langkah Aturan Trapesium Rekursif== Dalam menghitung hampiran <math>\int_a^b f(x)\,dx</math>dengan aturan trapesium rekursif, kita lakukan langkah-langkah sebagai berikut; '''<math>h=b-a</math>''' <math>T_0=\frac{h}{2}(f(a)+f(b))</math> Baris 83 ⟶ 73: dst == Contoh Penghitungan Integral Menggunakan MATLAB ==▼ Misalkan kita akan menghitung integral <math>\int_1^5 f(x)\,dx</math>,dengan menggunakan Aturan Trapesium Rekursif. Untuk lebih memudahkan penghitungan dalam MATLAB, telebih dahulu kita buat fungsi dalam M file, berikut fungsinya▼ ▲==Contoh Penghitungan Integral Menggunakan MATLAB== ▲Misalkan kita akan menghitung integral <math>\int_1^5 f(x)\,dx</math>,dengan menggunakan Aturan Trapesium Rekursif. Untuk lebih memudahkan penghitungan dalam MATLAB, telebih dahulu kita buat fungsi dalam M file, berikut fungsinya Baris 113 ⟶ 102: Kita simpan fungsi ini dalam file trapesiumrekursi.m untuk menghitung integral yang dimaksud, kita tinggal memasukan fungsinya dalam command window MATLAB, berikut caranya; >> f=inline(‘exp(x)’) Baris 154 ⟶ 143: 9.0000 145.6956 10.0000 145.6951 Maksud dari tabel penghitungan MATLAB ~~diatas~~di atas adalah, kolom pertama menyatakan nilai-nilai n, dan kolom kedua menyatakan Tn. == Daftar Pustaka == Sahid. 2005. Pengantar Komputasi Numerik dengan MATLAB. ANDI, Yogyakarta [[Kategori:Persamaan diferensial]] [[Kategori:Persamaan matematika]] [[Kategori:Persamaan]]