Grup dengan operator: Perbedaan antara revisi

Dalam [[aljabar abstrak]], cabang dari [[matematika]], [[struktur aljabar]] '''grup dengan operasioperator''' atau '''grup'''-Ω apabila dilihat sebagai [[grup (matematika)|grup]] dengan [[himpunan (matematika)|himpunan]] Ω yang beroperasi pada elemen grup dengan cara khusus.

Grup dengan operasioperator dipelajari secara ekstensif oleh [[Emmy Noether]] dan awal sekolahnya pada tahun 1920-an. Ia menggunakan konsep dalam rumus aslinya dari tiga [[teorema isomorfisme Noether]].

Sebuah '''grup dengan operasioperator''' <math>(G, \Omega)</math> apabila didefinisikan{{sfn|Bourbaki|1974|p=31}} sebagai sebuah grup <math>G = (G, \cdot)</math> bersama dengan himpunan tindakan <math>\Omega</math> pada <math>G</math>:

:<math>(g \cdot h)^{\omega} = g^{\omega} \cdot h^{\omega}.</math>.

Diberikan dua grup ''G'', ''H'' dengan ranah operasi yang sama <math>\Omega</math>, sebuah '''homomorfisme''' grup dengan operasioperator adalah homomorfisme grup <math>\phi: G \to H</math> dirumuskan

:<math>\phi(g^\omega)=(\phi(g))^\omega</math> untuk semua <math>\omega \in \Omega</math> dan <math>g \in G.</math>.

:<math>s^\omega \in S</math> untuk semua <math>s \in S</math> dan <math>\omega \in \Omega.</math>.

Dalam [[teori kategori]], '''grup dengan operator''' dapat didefinisikan{{sfn|Mac Lane|1998|p=41}} sebagai objek dari [[kategori fungtor]] '''Grp'''<supmath>''\operatorname{Grp}^M''</supmath> dimana ''<math>M''</math> adalah [[monoid]] (yaitu [[Kategori (matematika)|kategori]] dengan satu [[Objek (teori kategori)|objek]]) dan '''<math>\operatorname{Grp'''}</math> menunjukkan [[kategori grup]]. Definisi ini setara dengan definisi sebelumnya, asalkan <math>\Omega</math> adalah monoid (jika tidak, apabila dapat memperluas untuk memasukkan identitas dan semua komposisi).

Sebuah [[morfisme]] dalam kategori ini adalah [[transformasi alami]] antara dua [[fungtor]] (''yaitu'' dua grup dengan operasioperator pembagian ranah operasi yang sama ''M''). Sekali lagi apabila memulihkan definisi diatas tentang homomorfisme grup dengan operasioperator (dengan ''dari'' [[Transformasi alami#Definisi|komponen]] dari transformasi alami).

Grup dengan operasioperator juga merupakan pemetaan

* Diberikan grup <math>G</math>''G,'', <math>(''G'', ∅\varnothing) </math>adalah grup trivial dengan operasi

* Diberikan [[modul (matematika)|modul]] ''M'' atas [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]] ''<math>R''</math>, tindakan ''<math>R</math>'' dengan [[perkalian skalar]] pada [[grup abelian]] yang mendasari ''<math>M''</math>, jadi <math>(''M'', ''R'')</math> adalah grup dengan operasioperator.

* Sebagai kasus khusus di atas, setiap [[ruang vektor]] atas [[medan (matematika)|medan]] ''<math>k''</math> adalah grup dengan operasioperator <math>(''V'', ''k'')</math>.

[[Teorema Jordan–Hölder]] juga berlaku dalam konteks grup operasi. Persyaratan bahwa grup memiliki [[rangkaian komposisi]] ​​analoganalog dengan [[ruang kompak|kekompakan]] dalam [[topologi]], dan terkadang bisa menjadi persyaratan yang terlalu kuat. Itu wajar untuk berbicara tentang "kekompakan relatif terhadap satu himpunan", yaitu berbicara tentang deret komposisi di mana setiap subgrup ([[sungrup normal|normal]]) adalah subgrup operasi relatif pada himpunan operasi ''<math>X''</math> dari grup yang bersangkutan.