Wikipedia

Monoid: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
123569yuuift (bicara | kontrib)
2.955 suntingan
Tidak ada ringkasan suntingan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan
HsfBot (bicara | kontrib)
Bot
1.172.010 suntingan
k v2.04b - Fixed using Wikipedia:ProyekWiki Cek Wikipedia (Templat dengan kontrol karakter Unicode)
 
(6 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 8:
Monoid adalah [[semigrup]] dengan identitas. [[Struktur aljabar]] terjadi di beberapa cabang matematika.
 
Misal, fungsi dari suatu himpunan membentuk monoid dengan komposisi fungsi. Secara lebih umum, dalam [[teori kategori]], morfisme dari sebuah [[objek (teori kategori)|objek]] dengan membentuk sebuah monoid, dan, sebaliknya, sebuah monoid dapat dipandang sebagai kategori dengan satu objek.
 
Dalam [[ilmu komputer]] dan [[pemrograman komputer]], himpunan [[string (ilmu komputer)|string]] dari himpunan [[Karakter (komputasi)|karakter]] adalah [[monoid bebas]]. [[Transisi monoid]] dan [[monoid sintaksissintaktik]] digunakan untuk mendeskripsikan [[mesin keadaan hingga]]. [[Jejak monoid]] dan [[sejarah monoid]] memberikan dasar untuk [[proses bate]] dan [[komputasi bersamaan]].
 
Dalam [[ilmu komputer teoretis]], studi tentang monoid sangat penting untuk [[teori automata]] ([[teori Krohn–Rhodes]]), dan [[teori bahasa formal]] ([[masalah ketinggian bintang]]) .
Baris 35:
 
=== Generator ===
Himpunan bagian '' S '' dari '' M '' dikatakan sebagai '''generator''' dari '' M '' jika '' M '' adalah himpunan terkecil yang berisi '' S '' yaitu [[penutupan (matematika) | ditutuppenutupan]] di bawahdibawah operasi monoid, atau setara dengan '' M '' adalah hasil dari penerapan [[operatoroperasi penutupan keuangan]] ke '' S ''. Jika ada generator dari '' M '' yang memiliki kardinalitas terbatashingga, maka '' M '' dikatakan sebagai '''dihasilkan secara terbatashingga'''. Tidak setiap himpunan '' S '' akan menghasilkan monoid, karena struktur yang dihasilkan mungkin tidak memiliki elemen identitas.
 
=== Monoid komutatif ===
Monoid yangdimana operasinyaoperasi [[komutatif]] disebut '''monoid komutatif''' (atau, lebih jarang, '''abelian monoid'''). Monoid komutatif sering kali ditulis secara aditif. Setiap monoid komutatif diberkahi dengan '''aljabar''' [[praorderpreorder]] ing {{math | ≤}}, yang ditentukan dari {{math|''x'' ≤ ''y''}} jika adadan '' z '' makaadalah {{math|1=''x'' + ''z'' = ''y''}}.<ref>{{cite book|first1=Michel |last1=Gondran |first2=Michel |last2=Minoux |title=Graphs, Dioids and Semirings: New Models and Algorithms |year=2008 |location=Dordrecht |publisher=[[Springer-Verlag]] |isbn=978-0-387-75450-5 |zbl=1201.16038 |series=Operations Research/Computer Science Interfaces Series |volume=41 | page=13}}</ref> '''unit-order''' dari monoid komutatif '' M '' adalah elemen '' u '' dari '' M '' sehinggamaka untuk setiap elemen '' x '' dari '' M '', ada '' v '' dalam himpunan yang dihasilkan oleh '' u '' sedemikian rupaadalah {{math|''x'' ≤ ''v''}}. Ini sering digunakan jikaJika '' M '' adalah [[Grup terurut | kerucut positif]] dari [[Kumpulanhimpunan terurut sebagian | orderterurut sebagian]] untul [[grup abelian]] '' G '', dalam hal ini kami mengatakan bahwa '' u '' adalah unit order ''G''.
 
=== Monoid sebagian komutatif ===
Monoid yangdimana operasinya bersifat komutatif untuk beberapa orang, tetapi tidak semua elemennya adalah [[jejak monoid]]; jejak monoid biasanya terjadi dalam teori [[komputasi bersamaan]].
 
== Contoh ==
* Dari 16 kemungkinan [[tabel kebenaran#Tabel kebenaran untuk semua operatoroperasi logika biner | operatoroperasi Boolean biner]], masing-masing dari empat yang memiliki identitas dua sisi juga komutatif dan asosiatif dan dengan demikian membuat himpunan {Salahsalah, benar} menjadi monoid komutatif. Di bawahDibawah definisi standar, [[Hubungan logisRelasi logika| AND]] dan [[Biconditional logisberdwisyarat logika| XNOR]] memilikimenggunakan identitas True sedangkan [[Disjungsi eksklusif | XOR]] dan [[Disjungsi logis logika| OR]] memiliki identitas maka ituyang salah. Monoid dari AND dan OR jugauntuk [[idempoten]] sedangkan dari XOR dan XNOR.
* Himpunan [[bilangan asli]] <math>\N = \{0,1,2,\ldots\}</math> adalah monoid komutatif dibawah penjumlahan (elemen identitas [[0 (bilangan)|0]]) atau perkalian (elemen identitas [[1 (bilangan)|1]]). Submonoid dari {{math|'''N'''}} dibawah penambahan disebut [[monoid numerik]].
* Himpunan [[bilangan bulat positif]] <math>\N \setminus \{0\}</math> adalah monoid komutatif dalam perkalian (elemen identitas 1).
* Diberikan himpunan {{mvar|A}}, himpunan himpunan bagian dari {{mvar|A}} adalah monoid komutatif dibawah (elemen identitasnya adalah {{mvar|A}} sendiri).
* Diberikan himpunan {{mvar|A}}, himpunan bagian dari {{mvar|A}} adalah monoid komutatif dibawah gabungan (elemen identitas adalah [[himpunan kosong]]).
* Generalisasi contoh sebelumnya, setiap [[semikis]] batas adalah monoid komutatif [[idempoten]].
** Secara khusus, setiap [[kisi (order)|kisi]] berbatas dapat diberkahi dengan struktur monoid [[gabungan dan bertemu (matematika)|bertemu]] dan [[gabungan dan bertemu (matematika)|gabungan]]. Elemen identitas adalah bagian atas dan bawah kisi. Karena kisi-kisi, [[Aljabar Heyting]] dan [[Aljabar Boolean (struktur)|Aljabar Boolean]] diberkahi dengan struktur monoid ini.
* Setiap [[himpunan singleton]] {{math|{{mset|''x''}}}} penutupan dibawah operasi biner • bentuk monoid trivial (satu elemen) merupakan [[grup trivial]].
* Setiap [[grup (matematika)|grup]] adalah monoid dan setiap [[grup abelian]] adalah monoid komutatif.
* Semua [[semigrup]] {{mvar|S}} dapat diubah menjadi monoid dengan menggabungkan elemen {{mvar|e}} bukan {{mvar|S}} dan menentukan {{math|1=''e'' • ''s'' = ''s'' = ''s'' • ''e''}} untuk semua {{math|''s'' ∈ ''S''}}. Konversi semigrup di monoid ini dilakukan oleh [[funktor bebas]] antara kategori semigrup dan kategori monoid.<ref>{{citation|title=Teori-q dari Semigrup Hingga: Sebuah Pendekatan Baru|volume=71|series=Springer Monographs in Mathematics|first1=John|last1=Rhodes|first2=Benjamin|last2=Steinberg|publisher=Springer|year=2009|isbn=9780387097817|page=22|url=https://books.google.com/books?id=8L0QIEj0PI4C&pg=PA22}}.</ref>
** Jadi, monoid idempoten (sebagai ''temukan-pertama'') dapat dibentuk dengan menggabungkan elemen identitas {{mvar|e}} ke [[semigrup nol kiri]] diatas himpunan {{mvar|S}}. Monoid (disebut ''temukan-terakhir'') bentuk dari [[grup nol kanan]] diatas {{mvar|S}}.
*** Adjoin dari sebuah identitas {{mvar|e}} ke semigrup kiri-nol dengan dua elemen {{math|{{mset|lt, gt}}}}. Kemudian monoid idempoten dihasilkan {{math|{{mset|lt, ''e'', gt}}}} memodelkan [[urutan leksikografis]] dari suatu urutan yang diberi urutan elemennya, dengan ''e'' mewakili persamaan.
* Himpunan yang mendasari setiap [[gelanggang (aljabar)|gelanggang]], dengan operasi penjumlahan atau perkalian. Menurut definisi, gelanggang memiliki identitas perkalian 1.
** [[Bilangan bulat]], [[bilangan rasional]], [[bilangan riil]], atau [[bilangan kompleks]], dengan operasi penjumlahan atau perkalian.{{sfn|Jacobson|2009|p=29, examples 1, 2, 4 & 5}}
** Himpunan semua {{mvar|n}} oleh {{mvar|n}} [[matriks (matematika)|matriks]] diatas gelanggang tertentu, dengan [[penambahan matriks]] atau [[perkalian matriks]] sebagai operasi.
* Himpunan semua [[string (ilmu komputer)|string]] hingga beberapa alfabet tetap {{math|Σ}} membentuk monoid dengan [[rangkaian string]] sebagai operasinya. [[String kosong]] berfungsi sebagai elemen identitas. Monoid ini dilambangkan {{math|Σ<sup>∗</sup>}} dan disebut '''[[monoid bebas]]''' di atas {{math|Σ}}.
* Diberikan monoid {{math|''M''}}, ''monoid berlawanan'' {{math|''M''<sup>op</sup>}} memiliki himpunan operasi dan elemen identitas yang sama {{math|''M''}}, dan operasi ditentukan oleh {{math|1=''x'' •<sup>op</sup> ''y'' = ''y'' • ''x''}}. [[Monoid komutatif]] adalah kebalikan dari monoid itu sendiri.
* Diberikan dua himpunan {{mvar|M}} dan {{mvar|N}} dengan struktur monoid (atau, secara umum, sejumlah terbatas monoid, {{math|''M''<sub>1</sub>, …, ''M<sub>k</sub>'')}}, [[produk Kartesius]] mereka {{math|''M'' × ''N''}} adalah monoid (masing-masing, {{math|''M<sub>1</sub>'' × ⋯ × ''M<sub>k</sub>''}}). Operasi asosiatif dan elemen identitas ditentukan berpasangan.{{sfn|Jacobson|2009|p=35}}
* Monoid {{math|''M''}}. Himpunan semua fungsi dari himpunan tertentu ke {{math|''M''}} adalah monoid. Elemen identitas adalah [[fungsi konstanta]] yang memetakan nilai ke identitas {{math|''M''}}; operasi asosiatif ditentukan [[sesetitik]].
* Monoid {{math|''M''}} dengan operasi {{math|•}} dan elemen identitas {{mvar|e}}, dan pertimbangkan [[himpunan kuasa]] {{math|''P''(''M'')}} terdiri dari semua [[himpunan bagian]] dari {{math|''M''}}. Operasi biner untuk himpunan bagian tersebut dapat ditentukan dengan {{math|1=''S'' • ''T'' = {{mset| ''s'' • ''t'' : ''s'' ∈ ''S'', ''t'' ∈ ''T'' }}}}. Nilai berubah ke {{math|''P''(''M'')}} menjadi monoid dengan elemen identitas {{math|{{mset|''e''}}}}. Dengan cara yang sama, himpunan kuasa grup {{math|''G''}} adalah monoid di bawah [[produk himpunan bagian grup]].
* Misalkan {{mvar|S}} menjadi satu himpunan. Himpunan semua fungsi {{math|''S'' → ''S''}} membentuk monoid dibawah [[komposisi fungsi]]. Identitas hanyalah [[fungsi identitas]]. Ini disebut sebagai '''[[monoid transformasi penuh]]''' dari {{mvar|S}}. Jika {{mvar|S}} hingga dengan elemen {{mvar|n}}, monoid fungsi pada {{mvar|S}} hingga dengan elemen {{math|''n''<sup>''n''</sup>}}.
* Generalisasi contoh sebelumnya, misalkan {{math|''C''}} menjadi [[kategori (matematika)|kategori]] dan {{math|''X''}} objek {{math|''C''}}. Himpunan dari semua [[endomorfisme]] dari {{math|''X''}}, dilambangkan {{math|End<sub>''C''</sub>(''X'')}}, membentuk monoid dibawah komposisi [[morfisme]]. Untuk lebih lanjut tentang relasi antara teori kategori dan monoid, lihat dibawah.
* Himpunan [[homeomorfisme]] [[Kelas (teori himpunan)|kelas]] dari [[permukaan kompak]] dengan [[jumlah terhubung]]. Elemen unitnya adalah kelas bola-2 biasa. Selanjutnya, jika {{math|''a''}} menunjukkan kelas dari [[torus]], dan ''b'' menunjukkan kelas bidang proyektif, maka setiap elemen ''c'' dari monoid memiliki ekspresi unik berupa {{math|1=''c'' = ''na'' + ''mb''}} dimana {{mvar|n}} adalah bilangan bulat positif dan {{math|1=''m'' = 0, 1}}, atau {{math|2}}. Maka {{math|1=3''b'' = ''a'' + ''b''}}.
* Maka <math>\langle f\rangle</math> menjadi monoid siklik urutan {{mvar|n}}, yaitu <math>\langle f\rangle = \left\{f^0,f^1,\dots,f^{n-1}\right\}</math>. Kemudian <math>f^n = f^k</math> untuk beberapa <math>0 \le k < n</math>. Faktanya, setiap {{mvar|''k''}} tersebut memberikan monoid yang berbeda dengan urutan {{mvar|n}}, dan setiap monoid siklik isomorfik untuk salah satu dari ini.<br/>Selain itu, {{mvar|f}} sebagai fungsi pada titik <math>\{0,1,2,\dots,n-1\}</math> diberikan oleh
:: <math>\begin{bmatrix}
0 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & k\end{bmatrix}</math>
:atau, secara ekuivalen
:: <math>f(i) := \begin{cases} i+1, & \text{jika } 0 \le i < n-1 \\ k, & \text{jika } i = n-1. \end{cases} </math>
:Perkalian elemen dalam <math>\langle f\rangle</math> kemudian diberikan komposisi fungsi.
:Jadi <math>k = 0</math> maka fungsi {{mvar|f}} adalah permutasi dari <math>\{0,1,2,\dots,n-1\},</math> dan [[grup siklik]] unik dari urutan {{mvar|n}}.
 
== TindakanAksi dan monoid operator ==
{{main|tindakanTindakan monoid}}
Misalkan '' M '' berbentukbentuk dari monoid, dengan operasi biner dilambangkan dengan • dan elemen identitas dan dilambangkan dengan '' e ''. Kemudian aMaka (kiri) '''''M''- ari''' (atau tindakanaksi kiri di atasdiatas '' M '') adalah satu sethimpunan '' X '' bersama dengan operasi {{math|⋅ : ''M'' × ''X'' → ''X''}} yang kompatibel dengan struktur monoid sebagai berikut:
* untuk '' x '' dalam '' X '': {{math|1=''e'' ⋅ ''x'' = ''x''}};
* untuk ''a'', ''b'' pada ''M'' dan ''x'' pada ''X'': {{math|1=''a'' ⋅ (''b'' ⋅ ''x'') = (''a'' • ''b'') ⋅ ''x''}}.
Ini adalah analogi dalam teori monoid a (kiri) [[AksiGrup kelompokaksi (matematika) |grup aksi kelompok]]. Baik tindakanaksi '' M '' didefinisikan dengan cara yang serupabiasa. Sebuah monoidMonoid dengan suatu tindakan jugaaksi dikenal sebagai '''[[operatoroperasi monoid]]'''. Contoh pentingyang termasuk [[sistem transisi]] ​​daridari [[semiautomata]]. [[transformasiTransformasi semigrup]] dapat dibuat menjadi operatoroperasi monoid dengan menggabungkan transformasi identitas.
 
== Monoid homomorfisme ==
 
[[Berkas:Exponentiation as monoid homomorphism svg.svg|thumb|x200px|[[Monoid]] homomorfisme <math>f</math> dari monoid {{math|{{color|#008000|('''N''', +, 0)}}}} ke monoid {{math|{{color|#800000|('''N''', ×, 1)}}}}, didefinisikan dari <math>f(x) = 2^x</math>. IniFungsi tersebut adalah [[Fungsi injektif|injeksi]], tetapi bukan [[Fungsi konjektur|konjektur]].]]
[[Bilangan realriil]] adalah [[gelanggang (matematika)|gelanggang]], yang memilikimenggunakan penjumlahanpenembahab dan perkalian. Himpunan semua 2 × 2 [[matriks (matematika) | matriks]] juga merupakan cincingelanggang, di bawahdibawah [[penambahan matriks]] dan [[perkalian matriks]]. Jika kita mendefinisikan fungsi antara gelanggang ini, sebagai berikut:
:<math>f(r) = \begin{pmatrix}
r & 0 \\
0 & r
\end{pmatrix}</math>
di manadimana {{mvar|r}} adalah bilangan realriil, maka {{mvar|f}} adalah homomorfisme gelanggang, karena {{mvar|f}} mempertahankan keduadua penjumlahanpenambahan:
:<math>f(r+s) = \begin{pmatrix}
r+s & 0 \\
Baris 84 ⟶ 114:
\end{pmatrix} = f(r)\,f(s).</math>
 
Untuk contoh lain, bukan-nol untuk [[bilangan kompleks]] membentuk [[kelompokgrup (matematika)|kelompokgrup]] di bawahdibawah operasi perkalian, seperti halnya bilangan riil bukan-nol. (Nol harus dikeluarkandihilangkan dari kedua grup karena tidak memiliki [[perkalian invers perkalian]], yang diperlukan untuk elemen grup.) Tentukan sebuah fungsi <math>f</math> dari bilangan kompleks bukan nol ke bilangan realriil bukan nol dengan
:<math>f(z) = |z| .</math>
Artinya, <math>f</math> adalah [[nilai absolutmutlak]] (atau modulus) dari bilangan kompleks <math>z</math>. Maka <math>f</math> adalah homomorfisme kelompokgrup, karena mempertahankan perkalian:
:<math>f(z_1 z_2) = |z_1 z_2| = |z_1| |z_2| = f(z_1) f(z_2).</math>
Perhatikan bahwa {{math|''f''}} tidak dapat diperpanjang menjadi homomorfisme gelanggang (dari bilangan kompleks ke bilangan realriil), karena tidak mempertahankantermasuk penambahan:
:<math>|z_1 + z_2| \ne |z_1| + |z_2|.</math>
 
Sebagai contoh lain, diagram menunjukkan homomorfisme [[monoid]] <math>f</math> dari monoid <math>(\mathbb{N}, +, 0)</math> ke monoid <math>(\mathbb{N}, \times, 1)</math>. Karena nama berbeda dari operasi terkait, propertisifat pelestarian struktur yang dipenuhi oleh <math> f </math> berjumlahdihasilkan sebagai <math>f(x+y) = f(x) \times f(y)</math> anddan <math>f(0) = 1</math>.
 
Sebuah [[komposisiKomposisi aljabar]] <math> A </math> di atasdiatas bidang <math> F </math> memilikimenggunakan [[bentuk kuadrat]], yang disebut ''norma'', <math>N: A \to F</math>, yang merupakan homomorfisme grup dari [[grup perkalian]] dari <math> A </math> ke grup perkalian dari <math> F </math>.
 
== Persamaan presentasi ==
Baris 111 ⟶ 141:
== Kaitannya dengan teori kategori ==
{{Group-like structures}}
Monoid dapat dipandang sebagai kelas khusus [[teori kategori | kategori]]. Memang, aksioma yang diperlukan dari operasi monoid persis seperti yang diperlukan dari komposisi [[morfisme]] ketika dibatasi pada himpunan semua morfisme yang sumber dan targetnya adalah objek tertentu.<ref name=Awo10>{{cite book |zbl=1100.18001 |title=Category Theory |volume=49 |series=Oxford Logic Guides |first=Steve |last=Awodey |authorlink=Steve Awodey |publisher=[[Oxford University Press]] |year=2006 |isbn=0-19-856861-4 |page=10}}</ref> adalah,
: ''Monoid, pada dasarnya, sama dengan kategori dengan satu objek.''
Lebih tepatnya, diberi monoid {{math | ('' M '', •)}}, seseorang dapat membuat kategori kecil dengan hanya satu objek dan yang morfismenya adalah elemen dari ''M''. Komposisi morfisme diberikan oleh operasi monoid •.
 
Demikian juga, homomorfisme monoid hanyalah [[funktor]] antara kategori objek tunggal.<ref name=Awo10/> Jadi konstruksi ini memberikan [[kesetaraan kategori | kesetaraan]] antara [[kategori monoid | kategori monoid (kecil)]] '''Mon''' dan subkategori lengkap kategori kategori (kecil) '''Cat'''. Demikian pula, [[kategori grup]] setara dengan subkategori lengkap lainnya '''Cat'''.
 
Dalam pengertian ini, teori kategori dapat dianggap sebagai perluasan dari konsep monoid. Banyak definisi dan teorema tentang monoid dapat digeneralisasikan ke kategori kecil dengan lebih dari satu objek. Misalnya, hasil bagi dari kategori dengan satu objek hanyalah hasil bagi monoid.
Baris 121 ⟶ 151:
Monoid, seperti struktur aljabar lainnya, juga membentuk kategorinya sendiri, '''Mon''', yang objeknya monoid dan morfisme homomorfisme monoid.<ref name=Awo10/>
 
Ada pula pengertian [[monoid (teori kategori) | objek monoid]] yang merupakan definisi abstrak dari apa yang dimaksud dengan monoid dalam suatu kategori. Objek monoid dalam '''[[kategori himpunan|Set]]' '' hanyalah sebuah monoid.
 
== Monoid dalam ilmu komputer ==
Dalam ilmu komputer, banyak [[tipe data abstrak]] dapat diberkahi dengan struktur monoid. Dalam pola yang sama, Sebuah [[urutan]] elemen monoid adalah "[[lipat (fungsi orde tinggi) | dilipat]]" atau "terakumulasi" untuk menghasilkan nilai akhir. Misalnya, banyak algoritme iteratif perlu memperbarui beberapa jenis "menjalankan total" pada setiap iterasi; pola ini dapat diekspresikan secara elegan dengan operasi monoid. Alternatifnya, asosiasi operasi monoid memastikan bahwa operasi dapat [[paralelisasi | paralel]] dengan menggunakan [[jumlah awalan]] atau algoritma serupa, untuk memanfaatkan banyak inti atau prosesor secara efisien.
 
Diberikan urutan nilai tipe '' M '' dengan elemen identitas <math>\varepsilon</math> dan operasi asosiatif <math>\bullet</math>, operasi '' lipat '' didefinisikan sebagai berikut:
Baris 132 ⟶ 162:
 
== Monoid lengkap ==
Sebuah '''monoid lengkap''' adalah monoid komutatif yang dilengkapi dengan operasi jumlah [[Finiter | infiniter]] <math>\Sigma_I</math> untuk [[himpunan indeks]] {{mvar | I}} apa pun yang:<ref name="droste">Droste, M., & Kuich, W. (2009). Semirings and Formal Power Series. ''Handbook of Weighted Automata'', 3–28. {{doi|10.1007/978-3-642-01492-5_1}}, pp.&nbsp;7–10</ref><ref>{{cite journal |last=Hebisch |first=Udo |title=Eine algebraische Theorie unendlicher Summen mit Anwendungen auf Halbgruppen und Halbringe |language=German |zbl=0747.08005 |journal=Bayreuther Mathematische Schriften |volume=40 |pages=21–152 |year=1992}}</ref><ref>{{cite book |last=Kuich |first=Werner |chapter=ω-continuous semirings, algebraic systems and pushdown automata |pages=[https://archive.org/details/automatalanguage0000ical/page/103 103–110] |title=Automata, Languages and Programming: 17th International Colloquium, Warwick University, England, July 16-20, 1990, Proceedings |volume=443 |series=Lecture Notes in Computer Science |editor1-first=Michael S. |editor1-last=Paterson |publisher=[[Springer-Verlag]] |year=1990 |isbn=3-540-52826-1 |url=https://archive.org/details/automatalanguage0000ical/page/103 }}</ref><ref name=Kuich11>{{cite book |last=Kuich |first=Werner |chapter=Algebraic systems and pushdown automata |zbl=1251.68135 |editor1-last=Kuich |editor1-first=Werner |title=Algebraic foundations in computer science. Essays dedicated to Symeon Bozapalidis on the occasion of his retirement |location=Berlin |publisher=[[Springer-Verlag]] |isbn=978-3-642-24896-2 |series=Lecture Notes in Computer Science |volume=7020 |pages=228–256 |year=2011}}</ref>
 
: <math>\sum_{i \in \emptyset}{m_i} =0;\quad \sum_{i \in \{j\}}{m_i} = m_j;\quad \sum_{i \in \{j, k\}}{m_i} = m_j+m_k \quad \text{ for } j\neq k</math>
Baris 172 ⟶ 202:
* {{PlanetMath| urlname=Monoid | title=Monoid | id=389}}
 
[[Kategori: Struktur aljabar]]
[[Kategori: Teori kategori]]
[[Kategori: Teori semigrup]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Monoid"