Integral takwajar: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Bot: seringkali → sering kali (bentuk baku) |
|||
| (8 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Improperintegral2.png|
[[Berkas:Improperintegral1.png|
{{Kalkulus}}
Dalam [[kalkulus]], '''integral takwajar''' adalah [[limit]] dari [[integral tentu]] dengan batas pengintegralan mendekati [[bilangan riil]] tertentu,
Dengan kata lain, integral tak wajar adalah limit dalam bentuk▼
:<math>\lim_{b\to\infty} \int_a^bf(x)\, dx, \qquad \lim_{a\to -\infty} \int_a^bf(x)\, dx,</math>
atau
:<math>\lim_{c\to b^-} \int_a^cf(x)\, dx,\quad
\lim_{c\to a^+} \int_c^bf(x)\, dx,</math>
dengan limit diambil pada salah satu atau kedua batasnya. {{harv|Apostol|1967|loc=§10.23}}. Integral takwajar sering kali perlu digunakan untuk menghitung nilai integral yang tidak ada dalam arti konvensional (misalnya sebagai [[integral Riemann]]), karena adanya singularitas pada fungsi yang hendak diintegralkan, atau salah satu batas adalah takhingga.
== Konvergensi integral ==
Integral yang tidak tepat menyatu jika batasan yang menentukannya adanya. Dengan demikian contohnya seorang mengatakan bahwa integral tak wajar pada nilai
ada dan sama dengan ''L'' jika integral di bawah batas untuk semua cukup besar ''t'', dan nilai limitnya sama dengan ''L''.
Hal ini juga mungkin untuk integral yang tidak tepat untuk menyimpang hingga tak terbatas. Dalam hal ini, seseorang dapat menetapkan nilai dari ∞ (atau -∞) ke integral. Contohnya
▲Integral takwajar sering perlu digunakan untuk menghitung nilai integral yang tidak ada dalam arti konvensional (misalnya sebagai [[integral Riemann]]), karena adanya singularitas pada fungsi yang hendak diintegralkan, atau salah satu batas adalah takhingga.
:<math>\lim_{b\to\infty}
Namun sedemikian, integral tidak tepat lainnya mungkin hanya menyimpang ke arah tertentu, seperti nilai
yang tidak ada, bahkan sebagai [[bilangan riil diperpanjang]]. Ini disebut divergensi dengan osilasi.
Batasan dari teknik integr yang tidak tepat adalah bahwa batasan tersebut harus diambil sehubungan dengan satu titik akhir pada satu waktu. Jadi, integral tak wajar dari bentuk
== Contoh ==▼
:<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx</math>
dapat didefinisikan dengan mengambil dua batasan terpisah; yaitu
▲:<math>\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx</math>
:<math>\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{a\to -\infty} \lim_{b\to\infty} \int_a^bf(x)\,dx</math>
Hal ini.
▲:<math>\lim_{b\to\infty} \int_1^b\frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty} \left[-\frac{1}{b} + \frac{1}{1}\right] = 1. </math>
:<math>\lim_{a\to
<!--where ''c'' is any convenient point at which to start the integration. This definition also applies when one of these integrals is infinite, or both if they have the same sign.
An example of an improper integral where both endpoints are infinite is the [[Gaussian integral]] <math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}</math>. An example which evaluates to infinity is <math>\int_{-\infty}^\infty e^x\,dx</math>. But one cannot even define other integrals of this kind unambiguously, such as <math>\int_{-\infty}^\infty x\,dx</math>, since the double limit is infinite and the two-integral method
▲:<math>\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx.</math>
:<math>\lim_{a\to -\infty}\int_a^cx\,dx + \lim_{b\to\infty} \int_c^b x\,dx</math>
yields <math>\infty-\infty</math>. In this case, one can however define an improper integral in the sense of [[Cauchy principal value]]:
:<math> \operatorname{p.v.} \int_{-\infty}^\infty x\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_{-b}^b x\,dx = 0.</math>
The questions one must address in determining an improper integral are:
*Does the limit exist?
*Can the limit be computed?
The first question is an issue of [[mathematical analysis]]. The second one can be addressed by calculus techniques, but also in some cases by [[contour integration]], [[Fourier transform]]s and other more advanced methods.-->
== Jenis integral ==
- Dalam pengembangan -
== Integral Riemann dan integral ==
- Dalam pengembangan -
== Lebesgue yang tidak tepat ==
- Dalam pengembangan -
== Singularitas ==
- Dalam pengembangan -
== Nilai pokok Cauchy ==
- Dalam pengembangan -
== Summability ==
- Dalam pengembangan -
== Integral tidak tepat multivariabel ==
- Dalam pengembangan -
▲== Contoh ==
[[integral Riemann]] tidak dapat didefinisikan untuk fungsi <math>1/{x^2}</math> pada interval [1, ∞). Hal ini karena domain integral tersebut memiliki domain integrasi tak terbatas. Meskipun demikian, integral Riemann dapat memiliki nilai sebagai integral takwajar dengan menafsirkannya sebagai limit
:<math>\lim_{b\to\infty} \int_1^b\frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty} \left[-\frac{1}{b} + \frac{1}{1}\right] = 1.</math>
Integral Riemann juga tidak dapat didefinisikan untuk fungsi <math>1/\sqrt{x}</math> pada interval [0, 1] karena integran tak terbatas pada domain integrasi. Meskipun demikian, integral tersebut dapat ditafsirkan sebagai limit
▲:<math>\lim_{a\to 0^+}\int_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = \lim_{a\to 0^+}\left[2\sqrt{1}-2\sqrt{a}\right]=2,</math>
:<math>\lim_{a\to 0^+}\int_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = \lim_{a\to 0^+}\left[2\sqrt{1}-2\sqrt{a}\right]=2.</math>
== Referensi ==
| |||