Grup permutasi: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan
k Bot: Perubahan kosmetika
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
memperbaiki posisi rumus dan memperbaiki penggunaan kapital
 
(5 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{short description|Grup yang operasinya adalah komposisi permutasi}}
Dalam matematika, khususnya [[aljabar]], suatu '''grup permutasi''' <math> G </math> adalah suatu [[grup (matematika)|grup]] dengan unsur-unsurnya adalah [[permutasi]] dari suatu [[himpunan]] <math>M</math> dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym(<math>M</math>) (notasi Sym di sini bermakna ''Symmetric''). Khusus untuk himpunan <math>M = \{1, 2, ..., n\}</math>, grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai <math>S_n</math>. <ref name="durbin"> {{Cite book|title=Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition|publisher=John Willey and Sons, Inc|year=2009|isbn=978-0470-38443-5|last=Durbin|first=John R.}} </ref>
{{Group theory sidebar}}
[[Gambar:Rubik's cube.svg|thumb|Teka-teki populer [[kubus Rubik]] yang ditemukan pada tahun 1974 oleh [[Ernő Rubik]] telah digunakan sebagai ilustrasi kelompok permutasi. Setiap rotasi lapisan kubus menghasilkan [[permutasi]] warna permukaan dan merupakan anggota grup. Kelompok permutasi kubus disebut [[grup kubus Rubik]].]]
 
Dalam matematika, khususnya [[aljabar]], suatu '''grup permutasi''' <math> G </math> adalah suatu [[grup (matematika)|grup]] dengan unsur-unsurnya adalah [[permutasi]] dari suatu [[himpunan]] <math>M</math> dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym(<math>M</math>) (notasi Sym di sini bermakna ''Symmetric''). Khusus untuk himpunan <math>M = \{1, 2, ..., n\}</math>, grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai <math>S_n</math>. <ref name="durbin"> {{Cite book|title=Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition|publisher=John Willey and Sons, Inc|year=2009|isbn=978-0470-38443-5|last=Durbin|first=John R.}} </ref>
 
== Notasi ==
Baris 12 ⟶ 16:
\sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & ... & \sigma(n)\end{pmatrix}</math>.<ref name="inh" />
 
Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_n)</math> dengan panjang <math>n</math> melambangkan pemetaan <math>a_1 \mapsto a_2, a_2 \mapsto a_3, ..., a_{n-1} \mapsto a_n, a_n \mapsto a_1</math>.<ref name="durbin" />. Sebagai contoh, tinjau permutasi <math>\sigma</math> pada grup permutasi <math>S_6</math> yang didefinisikan oleh
:<math>\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
3 & 1 & 2 & 4 & 6 & 5\end{pmatrix}</math>.
 
Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi <math>(1 3 2)(4)(5 6)</math> yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi <math>(1 3 2)(5 6)</math>. Dua buah putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_m), (b_1, b_2, ..., b_k)</math> yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan <math>\{a_1, ..., a_m\}</math> dengan <math>\{b_1, ..., b_k\}</math> tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas <math>\alpha, \beta \in S_n</math>, berlaku pula <math>\alpha \beta = \beta \alpha </math>. <ref name = "strukal_ab"> {{Cite book|title=Catatan Kuliah Struktur Aljabar|year=2015|last=Barra|first=Aleams}}</ref>
 
Karena permutasi adalah suatu bijeksi, ia mempunyai invers. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math>suatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks
:<math>\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & ... & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \end{pmatrix}</math>,

invers dari <math>\sigma</math> yang dinotasikan sebagai <math>\sigma^{-1}</math>dapat dihitung dengan menukar barisnya. Yaitu,

:<math>\sigma^{-1} =\begin{pmatrix}
\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \\
1 & 2 & ... & n \end{pmatrix}</math>.<ref name="inh" />
 
== Dekomposisi Putaranputaran ==
Setiap permutasi pada grup permutasi <math>S_n</math> dapat dinyatakan sebagai hasil kali putaran yang saling lepas .<ref name = "inh" />. Sebagai contoh, permutasi
:<math>\sigma = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
Baris 32 ⟶ 41:
dapat ditulis sebagai <math> \sigma = (1 6)(2 3 4)(5) </math>.
 
Dekomposisi permutasi menjadi putaran-putaran dapat digunakan untuk menentukan orde suatu unsur pada grup permutasi. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math> terdekomposisi menjadi putaran-putaran dengan panjang <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>, orde dari <math>\sigma</math> kemudian adalah [[kelipatan persekutuan terkecil]] dari <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>. <ref name = "inh" />
 
Setiap permutasi juga dapat dipandang sebagai hasil kali transposisi, yaitu putaran dengan panjang dua.<ref name="strukal_ab" /> Transposisi ini dapat diinterpretasikan sebagai suatu permutasi yang menukar tepat dua unsur dari suatu himpunan. Grup permutasi <math>S_n</math>kemudian dapat dibangun oleh transposisi (yakni setiap unsur di <math>S_n</math>dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi). <ref>{{Cite book|edition=3rd ed|title=A first course in abstract algebra : with applications|url=https://www.worldcat.org/oclc/61309485|publisher=Pearson Prentice Hall|date=2006|location=Upper Saddle River, N.J.|isbn=0131862677|oclc=61309485|last=Rotman, Joseph J., 1934-}}</ref> Hasil penting lainnya terkait dekomposisi ini adalah bahwa suatu permutasi pastilah merupakan hasil kali dari sebanyak ganjil atau sebanyak genap transposisi, tetapi tidak keduanya. <ref name="inh" /> Hasil inilah yang memotivasi pendefinisian [[grup berayun]], yaitu grup yang himpunannya adalah permutasi genap dari suatu himpunan. Hasil tersebut menjamin operasi pada grup berayun terdefinisi dengan baik. <ref name="inh" />
 
== Teorema Cayley ==
Dalam [[teori grup]], [[teorema Cayley]] mengatakan bahwa sebarang grup <math>G</math> isomorfis dengan suatu subgrup dari Sym(<math>S</math>) untuk suatu <math>S</math>. Untuk <math>G</math> yang memiliki orde berhingga, berlaku <math>G</math> isomorfis dengan grup permutasi <math>S_n</math>.<ref name = "inh">{{Cite book|title=Abstract Algebra, Third Edition|year=1995|last=Herstein|first=Israel Nathan}}</ref>
 
== Lihat pula ==
* [[grup-2 transitif]]
* [[Grup permutasi pangkat 3]]
* [[Grup Mathieu]]
 
== Referensi ==
{{reflist}}
 
{{Bidang matematika}}
 
{{Authority control}}
 
[[Kategori:Matematika]]