Grup permutasi: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) memperbaiki posisi rumus dan memperbaiki penggunaan kapital |
||
| (2 revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan) | |||
Baris 16:
\sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & ... & \sigma(n)\end{pmatrix}</math>.<ref name="inh" />
Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_n)</math> dengan panjang <math>n</math> melambangkan pemetaan <math>a_1 \mapsto a_2, a_2 \mapsto a_3, ..., a_{n-1} \mapsto a_n, a_n \mapsto a_1</math>.<ref name="durbin" />
:<math>\sigma=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
Baris 23:
Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi <math>(1 3 2)(4)(5 6)</math> yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi <math>(1 3 2)(5 6)</math>. Dua buah putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_m), (b_1, b_2, ..., b_k)</math> yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan <math>\{a_1, ..., a_m\}</math> dengan <math>\{b_1, ..., b_k\}</math> tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas <math>\alpha, \beta \in S_n</math>, berlaku pula <math>\alpha \beta = \beta \alpha </math>.<ref name = "strukal_ab">{{Cite book|title=Catatan Kuliah Struktur Aljabar|year=2015|last=Barra|first=Aleams}}</ref>
Karena permutasi adalah suatu bijeksi, ia mempunyai invers. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math>suatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks
:<math>\sigma=\begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n \\
\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \end{pmatrix}</math>,
invers dari <math>\sigma</math> yang dinotasikan sebagai <math>\sigma^{-1}</math>dapat dihitung dengan menukar barisnya. Yaitu, :<math>\sigma^{-1} =\begin{pmatrix} \sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \\
1 & 2 & ... & n \end{pmatrix}</math>.<ref name="inh" />
== Dekomposisi
Setiap permutasi pada grup permutasi <math>S_n</math> dapat dinyatakan sebagai hasil kali putaran yang saling lepas
:<math>\sigma = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
Baris 36 ⟶ 41:
dapat ditulis sebagai <math> \sigma = (1 6)(2 3 4)(5) </math>.
Dekomposisi permutasi menjadi putaran-putaran dapat digunakan untuk menentukan orde suatu unsur pada grup permutasi. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math> terdekomposisi menjadi putaran-putaran dengan panjang <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>, orde dari <math>\sigma</math> kemudian adalah [[kelipatan persekutuan terkecil]] dari <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>.<ref name
Setiap permutasi juga dapat dipandang sebagai hasil kali transposisi, yaitu putaran dengan panjang dua.<ref name="strukal_ab" /> Transposisi ini dapat diinterpretasikan sebagai suatu permutasi yang menukar tepat dua unsur dari suatu himpunan. Grup permutasi <math>S_n</math>kemudian dapat dibangun oleh transposisi (yakni setiap unsur di <math>S_n</math>dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi).<ref>{{Cite book|edition=3rd ed|title=A first course in abstract algebra : with applications|url=https://www.worldcat.org/oclc/61309485|publisher=Pearson Prentice Hall|date=2006|location=Upper Saddle River, N.J.|isbn=0131862677|oclc=61309485|last=Rotman, Joseph J., 1934-}}</ref> Hasil penting lainnya terkait dekomposisi ini adalah bahwa suatu permutasi pastilah merupakan hasil kali dari sebanyak ganjil atau sebanyak genap transposisi, tetapi tidak keduanya.<ref name="inh" /> Hasil inilah yang memotivasi pendefinisian [[grup berayun]], yaitu grup yang himpunannya adalah permutasi genap dari suatu himpunan. Hasil tersebut menjamin operasi pada grup berayun terdefinisi dengan baik.<ref name="inh" />
Baris 52 ⟶ 57:
{{Bidang matematika}}
{{Authority control}}
[[Kategori:Matematika]]
| |||