Wikipedia

Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 12: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.355 suntingan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.355 suntingan
 
(20 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 2:
 
[[Daftar identitas trigonometri|Identitas trigonometri]] merupakan suatu [[Identitas (matematika)|identitas]] yang mencakup berbagai rumus-rumus [[trigonometri]] untuk mengkomputasi bentuk-bentuk yang elusif menjadi lebih mudah. Untuk memverifikasi suatu identitas trigonometri, dibutuhkanlah suatu bukti-bukti identitas trigonometri. Berikut adalah kumpulan bukti-bukti identitas trigonometri.
 
== Fungsi trigonometri elementer ==
 
Baris 9 ⟶ 8:
Untuk memulai pemahaman identitas, perlu terlebih dahulu memahami definisi dari keenam [[fungsi trigonometri]]. Perhatikan bahwa trigonometri mengaitkan [[Sudut (geometri)|sudut-sudut]] dan [[Sisi|sisi-sisi]] [[segitiga siku-siku]]. Suatu fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut.
 
<!--Penggunaan pranala di judul bagian [[wikipedia:Pedoman gaya#Markah|sebaiknya dihindari]]. Pranala dapat ditambahkan pada kemunculan pertama kata tersebut, atau dengan menambahkan [[Templat:Main]] (atau sejenisnya) di bawah judul bagian. Melihat panjang dari setiap paragraf fungsi trigonometri elementer yang singkat, dan isinya hanya memperkenalkan fungsi-fungsi, ada baiknya bagian "Sinus dan kosinus" sampai "Kosekan, sekan, dan kotangen" dilebur menjadi satu, misalnya dalam bentuk tabel.-->
==== [[Sinus (trigonometri)|Sinus]] dan [[kosinus]] ====
 
==== Sinus dan kosinus ====
{{Main|Sinus (trigonometri)|Kosinus}}
Secara geometri, sinus pada sudut <math>\theta</math> sama dengan rasio sisi depan dengan [[hipotenusa]], sementara kosinus pada sudut <math>\theta</math> sama dengan rasio sisi samping dengan hipotenusa. Misal <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>h</math> adalah sisi depan, sisi miring, dan hipotenusa.
 
Baris 17 ⟶ 19:
{{div col end}}
 
==== [[Tangen]] ====
Secara geometri, [[tangen]] pada <math>\theta</math> sama dengan rasio sisi depan dengan sisi samping. Ini dirumuskan secara matematis, yaitu:
 
:{{NumBlk|::|<math>\tan \theta = \frac{a}{b}</math>|{{EquationRef|1.3}}}}
Baris 26 ⟶ 28:
:{{NumBlk|::|<math>\tan \theta = \frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{h}}{\frac{b}{h}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}</math>|{{EquationRef|1.4}}}}
 
==== [[Kosekan]], [[sekan]], dan [[kotangen]] ====
Fungsi [[kosekan]], [[sekan]], dan [[kotangen]] merupakan invers perkalian dari [[sinus (trigonometri)|sinus]], [[kosinus]], dan [[tangen]]. Ketiganya dirumuskan sebagai
{{div col|colwidth=19em}}
Baris 103 ⟶ 105:
 
== Jumlah dan selisih sudut ==
[[Berkas:TrigSumFormula.svg|jmpl|Ilustrasi rumus jumlah sudut melalui geometri.]]Jumlah dan selisih suatu sudut dirumuskan sebagai<ref>{{Cite web|date=2015-10-31|title=7.2: Sum and Difference Identities|url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Precalculus/Precalculus_(OpenStax)/07%3A_Trigonometric_Identities_and_Equations/7.02%3A_Sum_and_Difference_Identities|website=Mathematics LibreTexts|language=en|access-date=2021-12-02}}</ref>
 
:{{NumBlk|::|<math> \sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta </math>|{{EquationRef|2.1}}}}
:{{NumBlk|::|<math> \cos(\alpha \pm \beta) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta </math>|{{EquationRef|2.2}}}}
:{{NumBlk|::|<math> \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan \alpha \pm \tan \beta}{1 \mp \tan \alpha \tan \beta} </math>|{{EquationRef|2.3}}}}
:{{NumBlk|::|<math> \cot(\alpha \pm \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta \pm 1}{\cot \beta \pm \cot \alpha} </math>|{{EquationRef|2.4}}}}
Pada rumus-rumus di atas, dapat dibuktikannya secara aljabar dengan cara mengeksploitasikan suatu [[Daftar identitas trigonometri#Refleksi sudut|identitas-identitas sudut komplementer]] tersebut. Secara geometri, diberikan <math>OQA</math> adalah [[segitiga siku-siku]], <math>OQ \bot PQ</math> sehingga <math>OPQ</math> juga merupakan segitiga siku-siku. Gambar garis vertikal dari titik <math>P</math> ke titik <math>B</math>, yang terletak di pertengahan garis <math>OA</math>. Misalkan <math>R</math> adalah titik di garis pertengahan <math>PB</math> (tetapi tidak terletak di pertengahan garis <math>OQ</math> sehingga <math>R</math> bukanlah titik perpotongan pada kedua garis <math>OQ</math> dan <math>PB</math>) sehingga <math>PQR</math> adalah segitiga dengan <math>\angle PRQ</math> adalah siku-siku. Setelah menggambarnya, diperoleh <math>\angle QOA = \angle QPR = \alpha</math>, <math>QR = AB</math>, dan <math>BR = AQ</math>.
 
=== Bukti melalui aljabarSinus ===
Secara aljabar, dapat dibuktikan menggunakan sifat <math display="inline">\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan <math display="inline">\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math>, serta menggunakan (2.2).
Pada rumus-rumus di atas, dapat dibuktikannya secara aljabar dengan cara mengeksploitasikan suatu [[Daftar identitas trigonometri#Refleksi sudut|identitas-identitas sudut komplementer]] tersebut.
 
==== Sinus ====
Ini dapat menggunakan sifat <math>\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan <math>\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math>, serta menggunakan (2.2).
 
:<math>\begin{aligned}
Baris 121 ⟶ 122:
&= \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha
\end{aligned}</math>
Hal yang serupa untuk membuktikan <math>\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta- \sin \beta \cos \alpha</math>. Secara geometri, untuk membuktikannya, kita perluas <math>\sin(\alpha + \beta)</math>. Diperoleh <math>PB = PR + RB</math>. Cari <math>\sin \alpha</math> di segitiga <math>OQA</math>, <math>\sin \beta</math> dan <math>\cos \alpha</math> di segitiga <math>OPQ</math>, dan <math>\cos \beta</math> di segitiga <math>PQR</math>, lalu substitusi ke <math>\sin(\alpha + \beta)</math> yang telah diperluas.
 
:<math>\left.
==== Kosinus ====
\begin{align}
Lagi-lagi, gunakan sifat identitas komplementer, yakni <math>\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan juga memerlukan (2.1).
\sin(\alpha + \beta) &= \frac{PB}{OP} \\
&= \frac{RB + PR}{OP} \\
&= \frac{AQ}{OP} + \frac{PR}{OP} \\
&= \frac{AQ}{OP} \cdot \frac{OQ}{OQ} + \frac{PR}{OP} \cdot \frac{PQ}{PQ} \\
&= \frac{AQ}{OQ} \cdot \frac{OQ}{OP} + \frac{PR}{PQ} \cdot \frac{PQ}{OP} \\
&= \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha \quad \blacksquare
\end{align}
\quad
\right|
\left.
\quad
\begin{align}
\sin \alpha &= \frac{AQ}{OQ} \\
\sin \beta &= \frac{PQ}{OP} \\
\cos \alpha &= \frac{PR}{OQ} \\
\cos \beta &= \frac{OQ}{OP}
\end{align}
\quad
\right.</math>
 
=== Kosinus ===
Secara aljabar, lagi-lagi, gunakan sifat identitas komplementer, yakni <math display="inline">\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan <math display="inline">\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan juga (2.1).
 
:<math>\begin{aligned}
Baris 131 ⟶ 154:
&= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
\end{aligned}</math>
Hal yang seruapserupa untuk membuktikan <math>\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta</math>.
 
==== Tangen ====
<!-- Sebaiknya setiap judul bagian dalam suatu artikel bersifat [[Wikipedia:Pedoman_gaya#Markah|unik]]. Hal ini akan mempermudah jika ada penyunting lain ingin memberikan pranala ke judul bagian tertentu.-->
Ini tidak dapat menggunakan identitas sudut komplementer, melainkan menggunakan (1.4) beserta (2.1) dan (2.2), lalu membagi pembilang dan penyebut pada pecahan tersebut dengan <math>\cos \alpha \cos \beta</math>.
 
Secara aljabar, tidak dapat menggunakan identitas sudut komplementer, melainkan menggunakan (1.4) beserta (2.1) dan (2.2), lalu membagi pembilang dan penyebut pada pecahan tersebut dengan <math>\cos \alpha \cos \beta</math>.
 
:<math>\begin{align}
Baris 144 ⟶ 169:
Hal yang serupa untuk membuktikan <math>\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}</math>.
 
==== Kotangen ====
IniSecara aljabar, dapat dilakukan dengan cara yang serupa, cukup membagi pembilang dan penyebut pada pecahan tersebut dengan <math>\sin \alpha \sin \beta</math>.
 
:<math>\begin{align}
\cot(\alpha + \beta) &= \frac{\cos(\alpha + \beta)}{\sin(\alpha + \beta)} \\
&= \frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha} \\
Baris 156 ⟶ 181:
Hal yang serupa untuk membuktikan <math>\cot(\alpha - \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta + 1}{\cot \beta - \cot \alpha}</math>.
 
Secara geometri,<ref>{{Cite web|title=Proof of cot(A+B) {{!}} cot(x+y) formula in Geometric Method|url=https://www.mathdoubts.com/cot-angle-sum-identity-proof/|website=www.mathdoubts.com|language=en|access-date=2021-12-11}}</ref> diperoleh bahwa <math>OB = OA - AB</math> dan <math>PB = PR + RB = PR + AQ</math>. Pada segitiga siku-siku <math>OQP</math> dan <math>OAQ</math>, diperoleh <math display="inline">\cot \alpha = \frac{OA}{AQ}</math> dan <math display="inline">\cot \alpha = \frac{PR}{QR}</math> jika dan hanya jika <math>OA = AQ \cot \alpha</math>, dan <math>PR = QR \cot \alpha</math>.
=== Bukti melalui geometri ===
 
:<math>\cot (\alpha + \beta) = \frac{OQ}{QB} = \frac{OA - AB}{PR + AQ} = \frac{AQ \cot \alpha - AB}{QR \cot \alpha + RB} = \frac{QR \left(\frac{AQ}{QR} \cot \alpha - \frac{AB}{QR} \right)}{QR \left(\cot \alpha + \frac{AQ}{QR}\right)} = \frac{\frac{AQ}{QR} \cot \alpha - 1}{\cot \alpha + \frac{AQ}{QR}}</math>
==== Sinus ====
[[Berkas:AngleAdditionDiagramSine.svg|jmpl|Diagram jumlah sudut fungsi [[Sinus (trigonometri)|sinus]] dan [[kosinus]].]]
==== Kosinus ====
 
Selanjutnya, <math display="inline">\sin \alpha = \frac{AQ}{OQ}</math> dan <math display="inline">\sin \alpha = \frac{QR}{PR}</math>, maka <math display="inline">\frac{AQ}{OQ} = \frac{QR}{PQ}</math> jika dan hanya jika <math display="inline">\frac{AQ}{QR} = \frac{OQ}{PQ}</math>. Karena <math display="inline">\cot \beta = \frac{OQ}{PQ}</math>, maka
==== Tangen ====
[[Berkas:AngleAdditionDiagramTangent.svg|kiri|jmpl|Diagram jumlah sudut dalam fungsi [[tangen]].]]
 
:<math>\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta}</math>. <math>\blacksquare</math>
==== Kotangen<ref>{{Cite web|title=Proof of cot(A+B) {{!}} cot(x+y) formula in Geometric Method|url=https://www.mathdoubts.com/cot-angle-sum-identity-proof/|website=www.mathdoubts.com|language=en|access-date=2021-12-11}}</ref> ====
 
== Sudut rangkap ==
Misal <math>ABC</math> adalah segitiga siku-siku. Titik <math>I</math> dan <math>J</math> masing-masing berada di garis <math>AB</math> (sebagai hipotenusa) dan <math>BC</math>.(sebagai sisi segitiga) sehingga <math>AJ</math> dan <math>IJ</math> tegak lurus. Begitu pula dengan titik <math>K</math> adalah titik di pertengahan garis <math>AC</math> sehingga <math>JK</math> dan <math>AC</math> juga tegak lurus. Misalkan pula <math>L</math> adalah titik di pertengahan garis <math>JK</math> (tetapi tidak terletak di <math>AJ</math> sehingga <math>L</math> bukanlah titik perpotongan kedua garis tersebut). Maka, <math>IJL</math> adalah segitiga siku-siku.
Sudut rangkap merupakan sudut yang dimana suatu variabel yang sama ditambahkan oleh variabel tersendiri. Berikut adalah rumus sudut <math>n</math>-rangkap beserta buktinya.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Multiple-Angle Formulas|url=https://mathworld.wolfram.com/Multiple-AngleFormulas.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-29}}</ref>
 
{{NumBlk|::|<math>\sin(nx) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos^k x \sin^{n-k} x \sin \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>|{{EquationRef|3.1}}}}
Sekarang, misalkan <math>\angle AKL = \alpha</math> dan <math>\angle AJI = \beta</math>, maka <math>\angle BAC = \alpha + \beta</math> sehingga
{{NumBlk|::|<math>\cos(nx) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cos \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>|{{EquationRef|3.2}}}}
 
Gunakan [[Daftar identitas trigonometri#Definisi eksponensiasi|definisi eksponensiasi]] dan [[teorema binomial]]. Maka, dengan mengeksploitasikan aljabar akan kita peroleh rumus di atas.
<math>\cot(\alpha + \beta) = \frac{AK}{JK}</math>.
 
:<math>\left.\begin{align}
Disini, terdapat <math>AK = AC - KC</math>, <math>JK = JL + LK</math>, dan <math>JC = LK</math> sehingga
\sin(nx) &= \frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i} \\
 
&= \frac{(e^{ix})^n - (e^{-ix})^n}{2i} \\
<math>\cot(\alpha + \beta) = \frac{AC - KC}{JL + LK} = \frac{AC - KC}{JL + JC}</math>.
&= \frac{(\cos(x) + i \sin (x))^n - (\cos (x) - i \sin (x))^n}{2i} \\
 
&= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{\cos^k x (i \sin x)^{n-k} - (\cos^k x (-i \sin x)^{n-k})}{2i} \\
Karena
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cdot \frac{i^{n-k} - (-i)^{n-k}}{2i} \\
 
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \sin \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right) \qquad \blacksquare
<math>\cot \alpha = \frac{AC}{JC} \iff AC = JC \cot \alpha</math>,
 
maka
 
<math>\cot(\alpha + \beta) = \frac{JC \cot \alpha - KC}{JL + JC}</math>.
 
Targetnya adalah mencari <math>\cot \alpha</math> pada segitiga <math>IJL</math>. Untuk memulainya, perlu berfokus pada sudut, bahwa <math>\angle JAC = \angle AJL = \alpha</math>. Karena garis <math>AJ</math> dan <math>IJ</math> tegak lurus, maka <math>\angle AJI</math> sudut siku-siku. Juga, <math>IJL</math> adalah segitiga siku-siku sehingga <math>\angle ILJ</math> adalah sudut siku-siku, yakni <math>90^\circ</math> derajat atau <math>\tfrac{\pi}{2}</math> radian.
 
<math>\begin{align}
\angle AJI &= \angle AJL + \angle LIJ \\
\frac{\pi}{2} &= \alpha + \angle LIJ \\
\angle LIJ &= \frac{\pi}{2} - \alpha
\end{align}
\left|
\begin{align}
\angle ILJ + \angle IJL + \angle LIJ &= \pi \\
\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - \alpha + \angle LIJ &= \pi \\
\pi - \alpha + \angle LIJ &= \pi \\
\angle LIJ &= \alpha
\end{align}
\quad
\right|
\quad
\begin{align}
\cot \alphacos(nx) &= \frac{ILe^{inx} + e^{-inx}}{JL2i} \\
&= \frac{(e^{ix})^n + (e^{-ix})^n}{2i} \\
IL &= JL \cot \alpha
&= \frac{(\cos(x) + i \sin (x))^n + (\cos (x) - i \sin (x))^n}{2i} \\
&= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{\cos^k x (i \sin x)^{n-k} + (\cos^k x (-i \sin x)^{n-k})}{2i} \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cdot \frac{i^{n-k} + (-i)^{n-k}}{2i} \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cos \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right) \qquad \blacksquare
\end{align}</math>
 
Sebagai catatan, bahwa <math>KC = JL</math>. Dengan demikian, persamaan di atas dapat dimodifikasikan sebagai
 
<math>\cot(\alpha + \beta) = \frac{JC \cot \alpha - KC}{JL \cot \alpha + JC}
= \frac{JL\left(\frac{JC}{JL} \cot \alpha - \frac{KC}{JL}\right)}{JL \left(\cot \alpha + \frac{JC}{JL}\right)}
= \frac{\frac{JC}{JL} \cot \alpha - 1}{\cot \alpha + \frac{JC}{JL}}
</math>
 
Hanya perlu mencari <math>\sin \alpha</math> pada segitiga siku-siku <math>ABC</math> dan <math>IJL</math> untuk melengkapi potongan-potongan bukti ini. Arkian, cari rumus untuk <math display="inline">\frac{JC}{JL}</math> dan <math>\cot \beta</math>, kemudian substitusi ke persamaan jumlah sudut kotangen.
 
<math>\left.
\begin{align}
\sin \alpha &= \frac{JC}{AJ} \\
&= \frac{JL}{IJ} \\
\frac{JC}{AJ} &= \frac{JL}{IJ} \\
\frac{JC}{JL} &= \frac{AJ}{IJ} \\
\end{align}
\qquad
\right|
\left.
\qquad
\begin{align}
\cot(\alpha + \beta) &= \frac{\frac{AJ}{IJ} \cot \alpha - 1}{\cot \alpha + \frac{AJ}{IJ}} \\
\cot \beta &= \frac{AI}{IJ} \\
\cot(\alpha + \beta) &= \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta} \qquad \blacksquare
\end{align}
\right.
</math>
 
== Rujukan ==
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Pengguna:Dedhert.Jr/Uji_halaman_12"