Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 12: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

← Revisi sebelumnya

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 13 Desember 2021 09.00 sunting Dedhert.Jr (bicara \| kontrib) 16.355 suntingan →Kotangen Tag: Suntingan visualeditor-wikitext ← Revisi sebelumnya		Revisi terkini sejak 28 Desember 2021 16.33 sunting balikkan Dedhert.Jr (bicara \| kontrib) 16.355 suntingan →Sudut rangkap Tag: VisualEditor
(11 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 2: [[Daftar identitas trigonometri\|Identitas trigonometri]] merupakan suatu [[Identitas (matematika)\|identitas]] yang mencakup berbagai rumus-rumus [[trigonometri]] untuk mengkomputasi bentuk-bentuk yang elusif menjadi lebih mudah. Untuk memverifikasi suatu identitas trigonometri, dibutuhkanlah suatu bukti-bukti identitas trigonometri. Berikut adalah kumpulan bukti-bukti identitas trigonometri. == Fungsi trigonometri elementer == Baris 9 ⟶ 8: Untuk memulai pemahaman identitas, perlu terlebih dahulu memahami definisi dari keenam [[fungsi trigonometri]]. Perhatikan bahwa trigonometri mengaitkan [[Sudut (geometri)\|sudut-sudut]] dan [[Sisi\|sisi-sisi]] [[segitiga siku-siku]]. Suatu fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut. <!--Penggunaan pranala di judul bagian [[wikipedia:Pedoman gaya#Markah\|sebaiknya dihindari]]. Pranala dapat ditambahkan pada kemunculan pertama kata tersebut, atau dengan menambahkan [[Templat:Main]] (atau sejenisnya) di bawah judul bagian. Melihat panjang dari setiap paragraf fungsi trigonometri elementer yang singkat, dan isinya hanya memperkenalkan fungsi-fungsi, ada baiknya bagian "Sinus dan kosinus" sampai "Kosekan, sekan, dan kotangen" dilebur menjadi satu, misalnya dalam bentuk tabel.--> ==== [[Sinus (trigonometri)\|Sinus]] dan [[kosinus]] ====▼ ▲==== [[Sinus ~~(trigonometri)\|Sinus]]~~ dan [[kosinus]] ==== {{Main\|Sinus (trigonometri)\|Kosinus}} Secara geometri, sinus pada sudut <math>\theta</math> sama dengan rasio sisi depan dengan [[hipotenusa]], sementara kosinus pada sudut <math>\theta</math> sama dengan rasio sisi samping dengan hipotenusa. Misal <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>h</math> adalah sisi depan, sisi miring, dan hipotenusa. Baris 17 ⟶ 19: {{div col end}} ==== [[Tangen]] ==== Secara geometri, [[tangen]] pada <math>\theta</math> sama dengan rasio sisi depan dengan sisi samping. Ini dirumuskan secara matematis, yaitu: :{{NumBlk\|::\|<math>\tan \theta = \frac{a}{b}</math>\|{{EquationRef\|1.3}}}} Baris 26 ⟶ 28: :{{NumBlk\|::\|<math>\tan \theta = \frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{h}}{\frac{b}{h}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}</math>\|{{EquationRef\|1.4}}}} ==== [[Kosekan]], [[sekan]], dan [[kotangen]] ==== Fungsi [[kosekan]], [[sekan]], dan [[kotangen]] merupakan invers perkalian dari [[sinus (trigonometri)\|sinus]], [[kosinus]], dan [[tangen]]. Ketiganya dirumuskan sebagai {{div col\|colwidth=19em}} Baris 112 ⟶ 114: === Sinus === ~~'''~~Secara aljabar~~'''~~, dapat dibuktikan menggunakan sifat <math display="inline">\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan <math display="inline">\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math>, serta menggunakan (2.2). :<math>\begin{aligned} Baris 120 ⟶ 122: &= \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha \end{aligned}</math> Hal yang serupa untuk membuktikan <math>\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta- \sin \beta \cos \alpha</math>. Secara geometri, untuk membuktikannya, kita perluas <math>\sin(\alpha + \beta)</math>. Diperoleh <math>PB = PR + RB</math>. Cari <math>\sin \alpha</math> di segitiga <math>OQA</math>, <math>\sin \beta</math> dan <math>\cos \alpha</math> di segitiga <math>OPQ</math>, dan <math>\cos \beta</math> di segitiga <math>PQR</math>, lalu substitusi ke <math>\sin(\alpha + \beta)</math> yang telah diperluas. :<math>\left. \begin{align} \sin(\alpha + \beta) &= \frac{PB}{OP} \\ &= \frac{RB + PR}{OP} \\ &= \frac{AQ}{OP} + \frac{PR}{OP} \\ &= \frac{AQ}{OP} \cdot \frac{OQ}{OQ} + \frac{PR}{OP} \cdot \frac{PQ}{PQ} \\ &= \frac{AQ}{OQ} \cdot \frac{OQ}{OP} + \frac{PR}{PQ} \cdot \frac{PQ}{OP} \\ &= \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha \quad \blacksquare \end{align} \quad \right\| \left. \quad \begin{align} \sin \alpha &= \frac{AQ}{OQ} \\ \sin \beta &= \frac{PQ}{OP} \\ \cos \alpha &= \frac{PR}{OQ} \\ \cos \beta &= \frac{OQ}{OP} \end{align} \quad \right.</math> === Kosinus === ~~'''~~Secara aljabar~~'''~~, lagi-lagi, gunakan sifat identitas komplementer, yakni <math display="inline">\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan <math display="inline">\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan juga ~~memerlukan~~ (2.1). :<math>\begin{aligned} Baris 130 ⟶ 154: &= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \end{aligned}</math> Hal yang ~~seruap~~serupa untuk membuktikan <math>\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta</math>. === Tangen === <!-- Sebaiknya setiap judul bagian dalam suatu artikel bersifat [[Wikipedia:Pedoman_gaya#Markah\|unik]]. Hal ini akan mempermudah jika ada penyunting lain ingin memberikan pranala ke judul bagian tertentu.--> '''Secara aljabar''', tidak dapat menggunakan identitas sudut komplementer, melainkan menggunakan (1.4) beserta (2.1) dan (2.2), lalu membagi pembilang dan penyebut pada pecahan tersebut dengan <math>\cos \alpha \cos \beta</math>.▼ ▲~~'''~~Secara aljabar~~'''~~, tidak dapat menggunakan identitas sudut komplementer, melainkan menggunakan (1.4) beserta (2.1) dan (2.2), lalu membagi pembilang dan penyebut pada pecahan tersebut dengan <math>\cos \alpha \cos \beta</math>. :<math>\begin{align} Baris 144 ⟶ 170: === Kotangen === ~~'''~~Secara aljabar~~'''~~, dapat dilakukan dengan cara yang serupa, cukup membagi pembilang dan penyebut pada pecahan tersebut dengan <math>\sin \alpha \sin \beta</math>. :<math>\begin{align} Baris 155 ⟶ 181: Hal yang serupa untuk membuktikan <math>\cot(\alpha - \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta + 1}{\cot \beta - \cot \alpha}</math>. ~~'''~~Secara geometri~~'''~~,<ref>{{Cite web\|title=Proof of cot(A+B) {{!}} cot(x+y) formula in Geometric Method\|url=https://www.mathdoubts.com/cot-angle-sum-identity-proof/\|website=www.mathdoubts.com\|language=en\|access-date=2021-12-11}}</ref> diperoleh bahwa <math>OB = OA - AB</math> dan <math>PB = PR + RB = PR + AQ</math>. Pada segitiga siku-siku <math>OQP</math> dan <math>OAQ</math>, diperoleh <math display="inline">\cot \alpha = \frac{OA}{AQ}</math> dan <math display="inline">\cot \alpha = \frac{PR}{QR}</math> jika dan hanya jika <math>OA = AQ \cot \alpha</math>, dan <math>PR = QR \cot \alpha</math>. :<math>\cot (\alpha + \beta) = \frac{OQ}{QB} = \frac{OA - AB}{PR + AQ} = \frac{AQ \cot \alpha - AB}{QR \cot \alpha + RB} = \frac{QR \left(\frac{AQ}{QR} \cot \alpha - \frac{AB}{QR} \right)}{QR \left(\cot \alpha + \frac{AQ}{QR}\right)} = \frac{\frac{AQ}{QR} \cot \alpha - 1}{\cot \alpha + \frac{AQ}{QR}}</math> Baris 163 ⟶ 189: :<math>\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta}</math>. <math>\blacksquare</math> == Sudut rangkap == Sudut rangkap merupakan sudut yang dimana suatu variabel yang sama ditambahkan oleh variabel tersendiri. Berikut adalah rumus sudut <math>n</math>-rangkap beserta buktinya.<ref>{{Cite web\|last=Weisstein\|first=Eric W.\|title=Multiple-Angle Formulas\|url=https://mathworld.wolfram.com/Multiple-AngleFormulas.html\|website=mathworld.wolfram.com\|language=en\|access-date=2021-11-29}}</ref> {{NumBlk\|::\|<math>\sin(nx) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos^k x \sin^{n-k} x \sin \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>\|{{EquationRef\|3.1}}}} {{NumBlk\|::\|<math>\cos(nx) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cos \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>\|{{EquationRef\|3.2}}}} Gunakan [[Daftar identitas trigonometri#Definisi eksponensiasi\|definisi eksponensiasi]] dan [[teorema binomial]]. Maka, dengan mengeksploitasikan aljabar akan kita peroleh rumus di atas. :<math>\left.\begin{align} \sin(nx) &= \frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i} \\ &= \frac{(e^{ix})^n - (e^{-ix})^n}{2i} \\ &= \frac{(\cos(x) + i \sin (x))^n - (\cos (x) - i \sin (x))^n}{2i} \\ &= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{\cos^k x (i \sin x)^{n-k} - (\cos^k x (-i \sin x)^{n-k})}{2i} \\ &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cdot \frac{i^{n-k} - (-i)^{n-k}}{2i} \\ &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \sin \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right) \qquad \blacksquare \end{align} \quad \right\| \quad \begin{align} \cos(nx) &= \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2i} \\ &= \frac{(e^{ix})^n + (e^{-ix})^n}{2i} \\ &= \frac{(\cos(x) + i \sin (x))^n + (\cos (x) - i \sin (x))^n}{2i} \\ &= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{\cos^k x (i \sin x)^{n-k} + (\cos^k x (-i \sin x)^{n-k})}{2i} \\ &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cdot \frac{i^{n-k} + (-i)^{n-k}}{2i} \\ &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cos \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right) \qquad \blacksquare \end{align}</math> == Rujukan ==