Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 12: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) |
||
| (8 revisi perantara oleh 2 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 2:
[[Daftar identitas trigonometri|Identitas trigonometri]] merupakan suatu [[Identitas (matematika)|identitas]] yang mencakup berbagai rumus-rumus [[trigonometri]] untuk mengkomputasi bentuk-bentuk yang elusif menjadi lebih mudah. Untuk memverifikasi suatu identitas trigonometri, dibutuhkanlah suatu bukti-bukti identitas trigonometri. Berikut adalah kumpulan bukti-bukti identitas trigonometri.
== Fungsi trigonometri elementer ==
Baris 9 ⟶ 8:
Untuk memulai pemahaman identitas, perlu terlebih dahulu memahami definisi dari keenam [[fungsi trigonometri]]. Perhatikan bahwa trigonometri mengaitkan [[Sudut (geometri)|sudut-sudut]] dan [[Sisi|sisi-sisi]] [[segitiga siku-siku]]. Suatu fungsi tersebut didefinisikan sebagai berikut.
<!--Penggunaan pranala di judul bagian [[wikipedia:Pedoman gaya#Markah|sebaiknya dihindari]]. Pranala dapat ditambahkan pada kemunculan pertama kata tersebut, atau dengan menambahkan [[Templat:Main]] (atau sejenisnya) di bawah judul bagian. Melihat panjang dari setiap paragraf fungsi trigonometri elementer yang singkat, dan isinya hanya memperkenalkan fungsi-fungsi, ada baiknya bagian "Sinus dan kosinus" sampai "Kosekan, sekan, dan kotangen" dilebur menjadi satu, misalnya dalam bentuk tabel.-->
==== [[Sinus (trigonometri)|Sinus]] dan [[kosinus]] ====▼
{{Main|Sinus (trigonometri)|Kosinus}}
Secara geometri, sinus pada sudut <math>\theta</math> sama dengan rasio sisi depan dengan [[hipotenusa]], sementara kosinus pada sudut <math>\theta</math> sama dengan rasio sisi samping dengan hipotenusa. Misal <math>a</math>, <math>b</math>, dan <math>h</math> adalah sisi depan, sisi miring, dan hipotenusa.
Baris 17 ⟶ 19:
{{div col end}}
====
Secara geometri, [[tangen]] pada <math>\theta</math> sama dengan rasio sisi depan dengan sisi samping. Ini dirumuskan secara matematis, yaitu:
:{{NumBlk|::|<math>\tan \theta = \frac{a}{b}</math>|{{EquationRef|1.3}}}}
Baris 26 ⟶ 28:
:{{NumBlk|::|<math>\tan \theta = \frac{a}{b} = \frac{\frac{a}{h}}{\frac{b}{h}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}</math>|{{EquationRef|1.4}}}}
====
Fungsi [[kosekan]], [[sekan]], dan [[kotangen]] merupakan invers perkalian dari [[sinus (trigonometri)|sinus]], [[kosinus]], dan [[tangen]]. Ketiganya dirumuskan sebagai
{{div col|colwidth=19em}}
Baris 112 ⟶ 114:
=== Sinus ===
:<math>\begin{aligned}
Baris 120 ⟶ 122:
&= \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha
\end{aligned}</math>
Hal yang serupa untuk membuktikan <math>\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta- \sin \beta \cos \alpha</math>.
:<math>\left.
\begin{align}
\sin(\alpha + \beta) &= \frac{PB}{OP} \\
Baris 145 ⟶ 147:
=== Kosinus ===
:<math>\begin{aligned}
Baris 152 ⟶ 154:
&= \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta
\end{aligned}</math>
Hal yang
=== Tangen ===
<!-- Sebaiknya setiap judul bagian dalam suatu artikel bersifat [[Wikipedia:Pedoman_gaya#Markah|unik]]. Hal ini akan mempermudah jika ada penyunting lain ingin memberikan pranala ke judul bagian tertentu.-->
'''Secara aljabar''', tidak dapat menggunakan identitas sudut komplementer, melainkan menggunakan (1.4) beserta (2.1) dan (2.2), lalu membagi pembilang dan penyebut pada pecahan tersebut dengan <math>\cos \alpha \cos \beta</math>.▼
▲
:<math>\begin{align}
Baris 166 ⟶ 170:
=== Kotangen ===
:<math>\begin{align}
Baris 177 ⟶ 181:
Hal yang serupa untuk membuktikan <math>\cot(\alpha - \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta + 1}{\cot \beta - \cot \alpha}</math>.
:<math>\cot (\alpha + \beta) = \frac{OQ}{QB} = \frac{OA - AB}{PR + AQ} = \frac{AQ \cot \alpha - AB}{QR \cot \alpha + RB} = \frac{QR \left(\frac{AQ}{QR} \cot \alpha - \frac{AB}{QR} \right)}{QR \left(\cot \alpha + \frac{AQ}{QR}\right)} = \frac{\frac{AQ}{QR} \cot \alpha - 1}{\cot \alpha + \frac{AQ}{QR}}</math>
Baris 185 ⟶ 189:
:<math>\cot(\alpha + \beta) = \frac{\cot \alpha \cot \beta - 1}{\cot \alpha + \cot \beta}</math>. <math>\blacksquare</math>
== Sudut rangkap ==
Sudut rangkap merupakan sudut yang dimana suatu variabel yang sama ditambahkan oleh variabel tersendiri. Berikut adalah rumus sudut <math>n</math>-rangkap beserta buktinya.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Multiple-Angle Formulas|url=https://mathworld.wolfram.com/Multiple-AngleFormulas.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-29}}</ref>
{{NumBlk|::|<math>\sin(nx) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos^k x \sin^{n-k} x \sin \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>|{{EquationRef|3.1}}}}
{{NumBlk|::|<math>\cos(nx) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cos \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>|{{EquationRef|3.2}}}}
Gunakan [[Daftar identitas trigonometri#Definisi eksponensiasi|definisi eksponensiasi]] dan [[teorema binomial]]. Maka, dengan mengeksploitasikan aljabar akan kita peroleh rumus di atas.
:<math>\left.\begin{align}
\sin(nx) &= \frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i} \\
&= \frac{(e^{ix})^n - (e^{-ix})^n}{2i} \\
&= \frac{(\cos(x) + i \sin (x))^n - (\cos (x) - i \sin (x))^n}{2i} \\
&= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{\cos^k x (i \sin x)^{n-k} - (\cos^k x (-i \sin x)^{n-k})}{2i} \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cdot \frac{i^{n-k} - (-i)^{n-k}}{2i} \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \sin \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right) \qquad \blacksquare
\end{align}
\quad
\right|
\quad
\begin{align}
\cos(nx) &= \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2i} \\
&= \frac{(e^{ix})^n + (e^{-ix})^n}{2i} \\
&= \frac{(\cos(x) + i \sin (x))^n + (\cos (x) - i \sin (x))^n}{2i} \\
&= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{\cos^k x (i \sin x)^{n-k} + (\cos^k x (-i \sin x)^{n-k})}{2i} \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cdot \frac{i^{n-k} + (-i)^{n-k}}{2i} \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cos \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right) \qquad \blacksquare
\end{align}</math>
== Rujukan ==
| |||