Wikipedia

Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 12: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.355 suntingan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.355 suntingan
 
(3 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan)
Baris 114:
 
=== Sinus ===
<!-- Frasa "Secara aljabar" dan "Secara geometri" tidak perlu ditebalkan-->
Secara aljabar, dapat dibuktikan menggunakan sifat <math display="inline">\sin \theta = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math> dan <math display="inline">\cos \theta = \sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right)</math>, serta menggunakan (2.2).
 
Baris 191 ⟶ 190:
 
== Sudut rangkap ==
Sudut rangkap merupakan sudut yang dimana suatu variabel yang sama ditambahkan oleh variabel tersendiri. Berikut adalah rumus sudut <math>n</math>-rangkap beserta buktinya.<ref>{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Multiple-Angle Formulas|url=https://mathworld.wolfram.com/Multiple-AngleFormulas.html|website=mathworld.wolfram.com|language=en|access-date=2021-11-29}}</ref>{{collapse top|title=Klik "tampil" 'tuk melihat bukti}}
Dengan menggunakan definisi eksponensiasi di atas, kita memperoleh
 
{{NumBlk|::|<math>\sin(nx) = \fracsum_{e^{inx} - e^{-inx}}{2i} k= \frac{(e^{ix0})^n - (e^\binom{-ix})^n}{2ik} = \frac{(\cos(^k x) + i \sin (x))^{n -k} (\cos (x) - i \sin \left(x))^n\frac{\pi}{2i2}(n-k)\right)</math>|{{EquationRef|3.1}}}}
{{NumBlk|::|<math>\cos(nx) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cos \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>|{{EquationRef|3. <math>\blacksquare</math>2}}}}▼
 
Gunakan [[Daftar identitas trigonometri#Definisi eksponensiasi|definisi eksponensiasi]] dan [[teorema binomial]]. Maka, dengan mengeksploitasikan aljabar akan kita peroleh rumus di atas.
Dengan menggunakan [[teorema binomial]], kita memperoleh
 
:<math>\sin nx = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{\cos^k x (i \sin x)^{n-k} - (\cos^k x (-i \sin x)^{n-k})}{2i}▼
= \sum_{k=0}^n \cos^k x \sin^{n-k} x \cdot \frac{i^{n-k} - (-i)^{n-k}}{2i}▼
= \sum_{k=0}^n \cos^k x \sin^{n-k} x \sin \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>. <math>\blacksquare</math>▼
{{collapse bottom}}{{collapse top|title=Klik "tampil" 'tuk melihat bukti}}
Dengan menggunakan cara yang serupa,
 
:<math>\cos(nx) = \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2i} = \frac{(e^{ix})^n + (e^{-ix})^n}{2i} = \frac{(\cos(x) + i \sin (x))^n + (\cos (x) - i \sin (x))^n}{2i}</math>▼
 
Lagi, menggunakan [[teorema binomial]] memperoleh
 
:<math>\cos nx = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{\cos^k x (i \sin x)^{n-k} + (\cos^k x (-i \sin x)^{n-k})}{2i}▼
= \sum_{k=0}^n \cos^k x \sin^{n-k} x \cdot \frac{i^{n-k} + (-i)^{n-k}}{2i}▼
▲= \sum_{k=0}^n \cos^k x \sin^{n-k} x \cos \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>. <math>\blacksquare</math>
{{collapse bottom}}
 
:<math>\left.\begin{align}
\sin(nx) &= \frac{e^{inx} - e^{-inx}}{2i} \\
&= \frac{(e^{ix})^n - (e^{-ix})^n}{2i} \\
&= \frac{(\cos(x) + i \sin (x))^n - (\cos (x) - i \sin (x))^n}{2i} \\
▲:<math>\sin nx &= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{\cos^k x (i \sin x)^{n-k} - (\cos^k x (-i \sin x)^{n-k})}{2i} \\
▲&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cdot \frac{i^{n-k} - (-i)^{n-k}}{2i} \\
▲&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \sin \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right)</math>. <math>\qquad \blacksquare</math>
\end{align}
\quad
\right|
\quad
\begin{align}
\cos(nx) &= \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2i} \\
&= \frac{(e^{ix})^n + (e^{-ix})^n}{2i} \\
▲:<math>\cos(nx) = \frac{e^{inx} + e^{-inx}}{2i} = \frac{(e^{ix})^n + (e^{-ix})^n}{2i} &= \frac{(\cos(x) + i \sin (x))^n + (\cos (x) - i \sin (x))^n}{2i}</math> \\
▲:<math>\cos nx &= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} \frac{\cos^k x (i \sin x)^{n-k} + (\cos^k x (-i \sin x)^{n-k})}{2i} \\
▲&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cdot \frac{i^{n-k} + (-i)^{n-k}}{2i} \\
&= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cos^k x \sin^{n-k} x \cos \left(\frac{\pi}{2}(n-k)\right) \qquad \blacksquare
\end{align}</math>
== Rujukan ==
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Pengguna:Dedhert.Jr/Uji_halaman_12"