Definisi limit (ε, δ): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) →Keluarga definisi limit formal: Memperbaiki tulisan rumus |
Tidak ada ringkasan suntingan |
||
| (6 revisi perantara oleh 4 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Short description|Definisi matematis
{{DISPLAYTITLE:Definisi limit ({{mvar|ε, δ}})}}
{{periksaterjemahan|en|(ε, δ)-definition of limit}}
[[Berkas:Límite 01.svg|thumb|right|
Dalam [[kalkulus]], '''definisi limit-(''ε'',
{{citation
|title=Siapa yang Memberi Anda Epsilon? Cauchy dan Origins of Rigorous Calculus
Baris 52 ⟶ 53:
</math>
Kunci dari perhitungan di atas adalah sejak <math>E</math> taknol, salah satunya dapat membagi <math>f(x+E)-f(x)</math> dari <math>E</math>, tapi ketika <math>E</math> dekat dengan <math>0</math>, <math>2x+E</math> pada dasarnya adalah <math>2x</math>.<ref>{{cite book|last1=Stillwell|first1=John|authorlink=John Stillwell|title=Matematika dan Sejarahnya|url=https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil|url-access=registration|date=1989|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=978-1-4899-0007-4|pages=[https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil/page/104 104]}}</ref> Kuantitas seperti <math>E</math> disebut [[infinitesimal]]. Masalah dengan perhitungan ini adalah bahwa para matematikawan zaman itu tidak dapat secara tepat mendefinisikan kuantitas dengan sifat <math> E</math>,<ref>{{cite book|last1=Stillwell|first1=John|authorlink=John Stillwell|title=Matematika dan Sejarahnya|url=https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil|url-access=registration|date=1989|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=978-1-4899-0007-4|pages=[https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil/page/106 106]}}</ref>
Masalah ini muncul kembali kemudian pada tahun 1600an di pusat perkembangan [[kalkulus]], karena perhitungan seperti Fermat penting untuk perhitungan [[turunan]]. [[Isaac Newton]] kalkulus yang dikembangkan pertama kali melalui jumlah yang sangat kecil yang disebut [[Metode Fluks|fluks]]. Dia mengembangkannya dengan mengacu pada gagasan tentang "momen waktu yang sangat kecil..."<ref name="ReferenceA">{{cite book|last1=Buckley|first1=Benjamin Lee|title=Perdebatan kontinuitas: Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond dan Peirce tentang kontinuitas dan infinitesimal|date=2012|isbn=9780983700487|page=31}}</ref> Namun, Newton kemudian menolak fluks demi teori rasio yang mendekati modern <math>\varepsilon\text{–}\delta </math> definisi limit.<ref name="ReferenceA"/> Selain itu, Newton menyadari bahwa limit rasio kuantitas lenyap adalah ''bukan'' rasio itu sendiri, saat ia menulis:
Baris 142 ⟶ 143:
untuk suatu bilangan real <math>a</math>.
=== Contoh 3 ===
Pernyataan
: <math>\lim_{x \to 5} (3x - 3) = 12</math>
akan dibuktikan.
Ini mudah dibuktikan melalui pemahaman grafis limit, dan demikian berfungsi sebagai dasar-dasar yang kuat untuk induksi pembuktiannya. Menurut definisi formal di atas, sebuah pernyataan limit adalah benar jika dan hanya jika membatasi <math>x</math> ke satuan <math>\delta</math> dari <math>c</math> akan pasti membatasi <math>f(x)</math> ke satuan <math>\varepsilon</math> dari <math>L</math>. Dalam kasus yang spesifik, ini berarti bahwa pernyataan tersebut benar jika dan hanya jika membatasi <math>x</math> ke satuan <math>\delta</math> dari 5 akan pasti membatasi
: <math>3x - 3</math>
ke satuan <math>\varepsilon</math> dari 12. Kunci secara keseluruhan untuk membuktikan implikasi ini adalah untuk menunjukkan bagaimana <math>\delta</math> dan <math>\varepsilon</math> harus berkaitan dengan satu sama lain sehingga implikasinya berlaku. Secara matematis, ini akan menunjukkan bahwa
: <math> 0 < | x - 5 | < \delta \ \Rightarrow \ | (3x - 3) - 12 | < \varepsilon </math>.
Dengan menyederhanakan, memfaktorkan, dan membagi 3 di ruas kanan implikasi menghasilkan
: <math> | x - 5 | < \frac{\varepsilon}{3}</math>,
yang secara langsung memberikan nilai yang diperlukan jika
: <math> \delta = \varepsilon / 3 </math>
dipilih.
Dengan demikian, buktinya terselesaikan. Kunci mengenai bukti tersebut terletak dalam kemampuan salah satunya untuk memilih batas-batas di <math>x</math>, dam kemudian menyimpulkan batas-batas berpadanan di <math>f(x)</math>, yang mana dalam kasus ini berkaitan dengan sebuah faktor dari 3, yang secara keseluruhan karena kemiringan dari 3 di garis
: <math> y = 3x - 3</math>.
== Kekontinuan ==
Sebuah fungsi <math>f</math> dikatakan [[Fungsi kontinu|kontinu]] di <math>c</math> jika keduanya didefinisikan di <math>c</math> dan nilainya di <math>c</math> sama dengan limit dari <math>f</math> ketika <math>x</math> mendekati <math>c</math>:
: <math>\lim_{x\to c} f(x) = f(c)</math>.
Definisi <math>(\varepsilon, \delta)</math> untuk sebuah fungsi kontinu dapat diperoleh dari definisi limit dengan menggantikan <math>0<|x-c|<\delta</math> dengan <math>|x-c|<\delta</math>, untuk memastikan bahwa <math>f</math> didefinisikan di <math>c</math> dan sama dengan limitnya.
Sebuah fungsi <math>f</math> dikatakan [[Fungsi kontinu|kontinu]] di selang <math>I</math> jiak fungsi <math>f</math> kontinu di setiap titik <math>c</math> dari <math>I</math>.
== Perbandingan dengan definisi infinitesimal ==
[[Howard Jerome Keisler|Keisler]] proved that a [[Hyperreal numbers|hyperreal]] [[Non-standard calculus#Limit|definition of limit]] reduces the [[logical quantifier]] complexity by two quantifiers.<ref>{{citation|last1=Keisler|first1=H. Jerome|chapter=Quantifiers in limits|title=Andrzej Mostowski and foundational studies|pages=151–170|publisher=IOS, Amsterdam|year=2008|contribution-url=http://www.math.wisc.edu/~keisler/limquant7.pdf}}</ref> Namely, <math>f(x)</math> converges to a limit ''L'' as <math>x</math> tends to ''a'' [[if and only if]] the value <math>f(x+e)</math> is infinitely close to ''L'' [[for every]] infinitesimal ''e''. (See [[Microcontinuity]] for a related definition of continuity, essentially due to [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]].)
Infinitesimal calculus textbooks based on [[Abraham Robinson|Robinson]]'s approach provide definitions of continuity, derivative, and integral at standard points in terms of infinitesimals. Once notions such as continuity have been thoroughly explained via the approach using microcontinuity, the epsilon–delta approach is presented as well. [[Karel Hrbáček]] argues that the definitions of continuity, derivative, and integration in Robinson-style non-standard analysis must be grounded in the ''ε''–''δ'' method, in order to cover also non-standard values of the input.<ref>{{citation|last1=Hrbacek|first1=K.|editor-last=Van Den Berg|editor-first=I.|editor2-last=Neves|editor2-first=V.|chapter=Stratified Analysis?|title=The Strength of Nonstandard Analysis|publisher=Springer|year=2007}}</ref> Błaszczyk et al. argue that [[microcontinuity]] is useful in developing a transparent definition of uniform continuity, and characterize the criticism by Hrbáček as a "dubious lament".<ref>{{citation|last1=Błaszczyk|first1=Piotr|last2=Katz|first2=Mikhail|author2-link=Mikhail Katz|last3=Sherry|first3=David|arxiv=1202.4153|doi=10.1007/s10699-012-9285-8|journal=[[Foundations of Science]]|pages=43–74|title=Ten misconceptions from the history of analysis and their debunking|volume=18|year=2012|bibcode=2012arXiv1202.4153B|s2cid=119134151}}</ref> Hrbáček proposes an alternative non-standard analysis, which (unlike Robinson's) has many "levels" of infinitesimals, so that limits at one level can be defined in terms of infinitesimals at the next level.<ref>{{cite journal|last1=Hrbacek|first1=K.|year=2009|title=Relative set theory: Internal view|url=http://logicandanalysis.org/index.php/jla/article/view/25/17|journal=Journal of Logic and Analysis|volume=1}}</ref>
== Keluarga definisi limit formal ==
Tidak ada definisi limit yang tunggal - adanya seluruh definisi keluarga. Ini dikarenakan kehadiran takhingga, dan konsep limit "dari sebelah kanan"" dan "dari sebelah kiri". Limit itu sendiri dapat menjadi sebuah nilai terhingga, <math>\infty</math>, atau <math>-\infty</math>. Nilai yang mendekati oleh <math>x</math> juga dapat menjadi nilai terhingga, <math>\infty</math>, atau <math>-\infty</math>, dan jika ini merupakan sebuah nilai terhingga, ini dapat mendekati dari kiri atau dari kanan. Biasanya, setiap kombinasinya diberikan definisi itu sendiri, seperti di bawah ini:{{Aligned table|'''
== Lihat pula ==
* [[Fungsi kontinu]]
* [[Limit barisan]]
* [[Daftar topik kalkulus]]
* [[Teorema apit]]
== Referensi ==
| |||