Definisi limit (ε, δ): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) */ Kekontinuan /* |
Tidak ada ringkasan suntingan |
||
| (4 revisi perantara oleh 4 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Short description|Definisi matematis
{{DISPLAYTITLE:Definisi limit ({{mvar|ε, δ}})}}
{{periksaterjemahan|en|(ε, δ)-definition of limit}}
[[Berkas:Límite 01.svg|thumb|right|
Dalam [[kalkulus]], '''definisi limit-(''ε'', ''δ'')''' (dibaca "definisi limit [[epsilon]]–[[delta (huruf)|delta]]) adalah formalisasi dari pengertian [[Limit fungsi|limit]]. Konsep tersebut karena [[Augustin-Louis Cauchy]], yang tidak pernah memberi nilai definisi limit (<math>\varepsilon,\delta</math>) dalam ''[[Cours d'Analyse]]'', tetapi terkadang digunakan argumen <math>\varepsilon,\delta</math> dalam bukti. Ini pertama kali diberikan sebagai definisi formal oleh [[Bernard Bolzano]] pada tahun 1817, dan pernyataan modern yang pasti akhirnya diberikan oleh [[Karl Weierstrass]].<ref name="grabiner">
Baris 52 ⟶ 53:
</math>
Kunci dari perhitungan di atas adalah sejak <math>E</math> taknol, salah satunya dapat membagi <math>f(x+E)-f(x)</math> dari <math>E</math>, tapi ketika <math>E</math> dekat dengan <math>0</math>, <math>2x+E</math> pada dasarnya adalah <math>2x</math>.<ref>{{cite book|last1=Stillwell|first1=John|authorlink=John Stillwell|title=Matematika dan Sejarahnya|url=https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil|url-access=registration|date=1989|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=978-1-4899-0007-4|pages=[https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil/page/104 104]}}</ref> Kuantitas seperti <math>E</math> disebut [[infinitesimal]]. Masalah dengan perhitungan ini adalah bahwa para matematikawan zaman itu tidak dapat secara tepat mendefinisikan kuantitas dengan sifat <math> E</math>,<ref>{{cite book|last1=Stillwell|first1=John|authorlink=John Stillwell|title=Matematika dan Sejarahnya|url=https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil|url-access=registration|date=1989|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=978-1-4899-0007-4|pages=[https://archive.org/details/mathematicsitshi0000stil/page/106 106]}}</ref>
Masalah ini muncul kembali kemudian pada tahun 1600an di pusat perkembangan [[kalkulus]], karena perhitungan seperti Fermat penting untuk perhitungan [[turunan]]. [[Isaac Newton]] kalkulus yang dikembangkan pertama kali melalui jumlah yang sangat kecil yang disebut [[Metode Fluks|fluks]]. Dia mengembangkannya dengan mengacu pada gagasan tentang "momen waktu yang sangat kecil..."<ref name="ReferenceA">{{cite book|last1=Buckley|first1=Benjamin Lee|title=Perdebatan kontinuitas: Dedekind, Cantor, du Bois-Reymond dan Peirce tentang kontinuitas dan infinitesimal|date=2012|isbn=9780983700487|page=31}}</ref> Namun, Newton kemudian menolak fluks demi teori rasio yang mendekati modern <math>\varepsilon\text{–}\delta </math> definisi limit.<ref name="ReferenceA"/> Selain itu, Newton menyadari bahwa limit rasio kuantitas lenyap adalah ''bukan'' rasio itu sendiri, saat ia menulis:
Baris 182 ⟶ 183:
== Perbandingan dengan definisi infinitesimal ==
[[Howard Jerome Keisler|Keisler]] proved that a [[Hyperreal numbers|hyperreal]] [[Non-standard calculus#Limit|definition of limit]] reduces the [[logical quantifier]] complexity by two quantifiers.<ref>{{citation|last1=Keisler|first1=H. Jerome|chapter=Quantifiers in limits|title=Andrzej Mostowski and foundational studies|pages=151–170|publisher=IOS, Amsterdam|year=2008|contribution-url=http://www.math.wisc.edu/~keisler/limquant7.pdf}}</ref> Namely, <math>f(x)</math> converges to a limit ''L'' as <math>x</math> tends to ''a'' [[if and only if]] the value <math>f(x+e)</math> is infinitely close to ''L'' [[for every]] infinitesimal ''e''. (See [[Microcontinuity]] for a related definition of continuity, essentially due to [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]].)
Infinitesimal calculus textbooks based on [[Abraham Robinson|Robinson]]'s approach provide definitions of continuity, derivative, and integral at standard points in terms of infinitesimals. Once notions such as continuity have been thoroughly explained via the approach using microcontinuity, the epsilon–delta approach is presented as well. [[Karel Hrbáček]] argues that the definitions of continuity, derivative, and integration in Robinson-style non-standard analysis must be grounded in the ''ε''–''δ'' method, in order to cover also non-standard values of the input.<ref>{{citation|last1=Hrbacek|first1=K.|editor-last=Van Den Berg|editor-first=I.|editor2-last=Neves|editor2-first=V.|chapter=Stratified Analysis?|title=The Strength of Nonstandard Analysis|publisher=Springer|year=2007}}</ref> Błaszczyk et al. argue that [[microcontinuity]] is useful in developing a transparent definition of uniform continuity, and characterize the criticism by Hrbáček as a "dubious lament".<ref>{{citation|last1=Błaszczyk|first1=Piotr|last2=Katz|first2=Mikhail|author2-link=Mikhail Katz|last3=Sherry|first3=David|arxiv=1202.4153|doi=10.1007/s10699-012-9285-8|journal=[[Foundations of Science]]|pages=43–74|title=Ten misconceptions from the history of analysis and their debunking|volume=18|year=2012|bibcode=2012arXiv1202.4153B|s2cid=119134151}}</ref> Hrbáček proposes an alternative non-standard analysis, which (unlike Robinson's) has many "levels" of infinitesimals, so that limits at one level can be defined in terms of infinitesimals at the next level.<ref>{{cite journal|last1=Hrbacek|first1=K.|year=2009|title=Relative set theory: Internal view|url=http://logicandanalysis.org/index.php/jla/article/view/25/17|journal=Journal of Logic and Analysis|volume=1}}</ref>
== Keluarga definisi limit formal ==
| |||