Wikipedia

Contoh grup: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
123569yuuift (bicara | kontrib)
2.955 suntingan
Membuat halaman baru
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan
 
Taylorbot (bicara | kontrib)
Bot
20.155 suntingan
per BPA : sintaks <br> dan <code> | t=13'064 su=2'014 in=2'204 at=2030 -- only 2231 edits left of totally 4'246 possible edits | edr=000-0010(!!!) ovr=010-1111 aft=000-0010
 
(9 revisi perantara oleh 4 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{periksaterjemahan|en|Examples of groups}}
{{Multiple issues|
{{unreferenced|date=Desember}}
{{How to|date=Desember 2020}}
{{Expert|date=Desember 2020}}
{{clearNoref}}▼
 
}}
Baris 9 ⟶ 11:
 
== Permutasi dari satu himpunan tiga elemen ==
[[Berkas:Group diagram d6.svg|thumb|[[Grafik Cyclesiklus (grup) | Grafik Cyclesiklus]] foruntuk S<submath>3\mathrm S_3</submath>. Perulangan menentukan serangkaian kekuatan elemen apa pun yang terhubung ke elemen identitas (e). Misalnya, loopgelung <math>e-ba-ab</math> mencerminkan fakta bahwa ba<supmath>ba^2=ab</supmath>=ab dan ba<supmath>ba^3=e</supmath>=e, as serta fakta bahwa ab<supmath>ab^2=ba</supmath>=ba dan ab<supmath>ab^3=e</supmath>=e "Lingkaran" lainnya adalah akar kesatuan sehingga, misalnya a<supmath>a^2 = e</supmath>=e.]]
{{main|Grup urutan dihedral 6}}
 
PertimbangkanAndaikan tiga blok berwarna (merah, hijau, dan biru), awalnya ditempatkan dalam urutan <math>\mathrm{RGB}</math>. Misalkan '' <math>a</math> '' menjadiadalah operasi "menukartukar blok pertama dan blok kedua", dan '' <math>b</math> '' menjadiadalah operasi "menukartukar blok kedua dan blok ketiga".
 
Kita bisadapat menulis '' <math>xy ''</math> untuk operasi "pertama lakukan '' <math>y ''</math>, lalu lakukan '' <math>x ''</math>"; sehingga '' <math>ab ''</math> adalah operasi <math>\mathrm{RGB} →\to \mathrm{RBG} →\to \mathrm{BRG}</math>, yang dapat digambarkan sebagai "pindahkan dua blok pertama satu posisi ke kanan dan letakkan blok ketiga di posisi pertama". Jika kita menulis '' <math>e ''</math> untuk "biarkanmisalkan blok apa adanya" (operasi identitas), maka kita dapat menulis enam permutasi dari tiga blok sebagai berikut:
 
* ''<math>e'' :\colon \mathrm{RGB} →\to \mathrm{RGB}</math>
* ''<math>a'' :\colon \mathrm{RGB} →\to \mathrm{GRB}</math>
* ''<math>b'' :\colon \mathrm{RGB} →\to \mathrm{RBG}</math>
* ''<math>ab'' :\colon \mathrm{RGB} →\to \mathrm{BRG}</math>
* ''<math>ba'' :\colon \mathrm{RGB} →\to \mathrm{GBR}</math>
* ''<math>aba'' :\colon \mathrm{RGB} →\to \mathrm{BGR}</math>
 
Perhatikan bahwa '' <math>aa ''</math> memiliki efek <math>\mathrm{RGB} →\to \mathrm{GRB} →\to \mathrm{RGB}</math>; agar kita bisadapat menulis ''<math>aa'' = ''e''</math>. Demikian pula, ''<math>bb'' = (''aba'')(''aba'') = ''e''</math>; <math>(''ab'')(''ba'') = (''ba'')(''ab'') = ''e''</math>; jadi setiap elemen memiliki kebalikan.
 
Dengan inspeksi, kita dapat menentukan asosiatif dan penutupanketertutupan; perhatikan secara khusus bahwa <math>(''ba'')''b'' = ''bab'' = ''b''(''ab'')</math>.
 
Karena ituhal tersebut dibangun dari operasi dasar '' <math>a ''</math> dan '' <math>b ''</math>, kamikita mengatakankatakan bahwa himpunan <math>\{''a'',''b''\}</math> '' [[menghasilkan himpunanHimpunan grup pembangkit| menghasilkanmembangkit]] '' grup ini. Grup yang disebut '' [[grup simetrissimetrik]] '' ''S''<submath>3S_3</submath>, memiliki [[urutanTingkat (teori grup) | ordertingkat]] 6, dan non-abeliantakabelian (karena, misalnya, ''<math>ab'' ≠\ne ''ba''</math>).
 
== Grup bidang translasi ==
'' Translasi '' bidang adalah gerakan kaku dari setiap titik bidang untuk jarak tertentu ke arah tertentu..
Misalnya "bergerak ke arah Timur Laut-Timur sejauh 2 mil" adalah translasi dari bidang.
Dua translasi seperti '' <math>a ''</math> dan '' <math>b ''</math> dapat disusun untuk membentuk translasi baru '' <math>a '' ∘ ''\circ b ''</math> sebagai berikut: pertama ikuti resep '' <math>b ''</math>, lalu itu<math>a</math>. dariMisalnya, '' a ''.jika
:''<math>a'' = "\text{bergerak ke Timur Laut sejauh 3 mil"}</math>▼
Misalnya, jika
dan
▲:''a'' = "bergerak ke Timur Laut sejauh 3 mil"
:''<math>b'' = "\text{bergerak ke Tenggara sejauh 4 mil"}</math>▼
and
maka
▲:''b'' = "bergerak ke Tenggara sejauh 4 mil"
:''<math>a'' ∘\circ ''b'' = "\text{bergerak ke Timur sejauh 5 mil"}</math>▼
kemudian
▲:''a'' ∘ ''b'' = "bergerak ke Timur sejauh 5 mil"
(lihat [[Teorema Pythagoras]] mengapa demikian, secara geometris).
 
Himpunan semua translasi bidang dengan komposisi sebagai operasi membentuk grup:
 
#Jika '' <math>a ''</math> dan '' <math>b ''</math> adalah translasi, maka '' <math>a '' ∘ ''\circ b ''</math> juga merupakan translasi.
#Komposisi translasi bersifat asosiatif: <math>(''a'' ∘\circ ''b'') ∘\circ ''c'' = ''a'' ∘\circ (''b'' ∘\circ ''c'') </math>.
#Elemen identitas untuk grup ini adalah translasi dengan resep "bergerak nol mil ke arah yang diinginkan".
#Kebalikan dari translasi diberikan dengan berjalan ke arah yang berlawanan untuk jarak yang sama.
 
Ini adalah grup abelian dan contoh pertama kamikita (tidak terpisah) dari [[grup Lie]]: grup yang juga merupakan [[manifold]].
 
== [[Grup simetri]] persegi: [[grup dihedral]] dengan urutan 8 {{anchor|grup dihedral dengan urutan 8}} ==
[[Berkas:Dih4 cycle graph.svg|thumb|left|[[Grafik Cyley (grup) | Grafik Cyley]] dari Dih<submath>4\mathrm{Dih}_4</submath><br>''<math>a''</math> adalah rotasi searah jarum jam<br>dan '' <math>b ''</math> pantulan horizontal.]]
{| class=wikitable align=right width=360
|[[Berkas:Dihedral_group4_example.png|180px]]<BRbr>Dih<submath>4\mathrm{Dih}_4</submath> sebagai grup titik 2Ddua dimensi, D<submath>4\mathrm{D}_4</submath>, <math>[4]</math>, <math>(^*4•4 \bullet)</math>, urutan 4, dengan rotasi 4 kali lipat dan generatorpembangkit cermin.
|[[Berkas:Dihedral_group4_example2.png|180px]]<BRbr>Dih<submath>4\mathrm{Dih}_4</submath> dalam [[Simetri dihedral dalam tiga dimensi | Kelompokgrup dihedral 3D]], D<submath>4\mathrm D_4</submath>, <math>[4,2]<sup>^+</supmath>, (<math>422)</math>, urutan 4, dengan generatorpembangkit rotasi 4 kali lipat vertikal urutan 4, dan generatorpembangkit horizontal 2 kali lipat
|}
[[Berkas:Dih 4 Cayley Graph; generators a, b.svg|thumb|[[grafikGrafik Cayley]] pada Dih<submath>4\mathrm{Dih}_4</submath>]]
[[Berkas:Dih 4 Cayley Graph; generators b, c.svg|thumb|Grafik Cayley yang berbeda dari Dih<sub>4</sub>, dihasilkan oleh pantulan horizontal '' b '' dan pantulan diagonal '' c '']]
 
Grup sangat penting untuk mendeskripsikan [[simetri]] objek, baik itu geometris (seperti [[tetrahedron]]) atau aljabar (seperti kumpulan persamaan). Sebagai contoh, kita menganggap kotak kaca dengan ketebalan tertentu (dengan huruf "F" tertulis di atasnya, hanya untuk membuat posisi yang berbeda dapat didiskriminasi).
Sebagai contoh, kami menganggap kotak kaca dengan ketebalan tertentu (dengan huruf "F" tertulis di atasnya, hanya untuk membuat posisi yang berbeda dapat didiskriminasi).
 
Untuk mendeskripsikan simetrinya, kamikita membentuk himpunan dari semua gerakan kaku persegi yang tidak membuat perbedaan terlihat (kecuali "F"). Misalnya, jika sebuah objek berputar <math>90^\circ</math> searah jarum jam masih terlihat sama, gerakan adalah salah satu elemen dari himpunan, misalnya <math>a</math>. Kita juga dapat membaliknya secara horizontal sehingga bagian bawahnya menjadi sisi atas, sedangkan tepi kiri menjadi tepi kanan. Sekali lagi, setelah melakukan gerakan ini, bujur sangkar kaca terlihat sama, jadi ini juga merupakan elemen himpunan kita dan kita menyebutnya <math>b</math>.Gerakan yang tidak melakukan apa-apa dilambangkan dengan <math>e</math>.
Misalnya, jika sebuah objek berputar 90° searah jarum jam masih terlihat sama, gerakan adalah salah satu elemen dari himpunan, misalnya '' a ''.
Kita juga bisa membaliknya secara horizontal sehingga bagian bawahnya menjadi sisi atas, sedangkan tepi kiri menjadi tepi kanan.
Sekali lagi, setelah melakukan gerakan ini, bujur sangkar kaca terlihat sama, jadi ini juga merupakan elemen himpunan kami dan kami menyebutnya '' b ''.
Gerakan yang tidak melakukan apa-apa dilambangkan dengan '' e ''.
 
Diberikan dua gerakan seperti '' <math>x ''</math> dan '' <math>y ''</math>, dimungkinkan untuk menentukan komposisi '' <math>x '' ∘ ''\circ y ''</math> seperti di atas: pertama dilakukan gerakan '' y '', diikuti gerakan '' <math>x</math>. ''Hasilnya akan meninggalkan lempengan seperti sebelumnya.
Hasilnya akan meninggalkan lempengan seperti sebelumnya.
 
Intinya adalah bahwa himpunan semua gerakan itu, dengan komposisi sebagai operasi, membentuk sebuah grup. Grup ini adalah deskripsi paling ringkas dari simetri bujur sangkar. Para ahli kimia menggunakan grup simetri jenis ini untuk menggambarkan simetri kristal dan molekul.
Grup ini adalah deskripsi paling ringkas dari simetri bujur sangkar.
Kimiawan menggunakan grup simetri jenis ini untuk menggambarkan simetri kristal dan molekul.
 
=== Menghasilkan grup ===
Mari selidiki lagi grup simetri persegi kita. Saat ini, kita memiliki elemen <math>a</math>, <math>b</math> dan <math>e</math>, tetapi kita dapat dengan mudah membentuk lebih banyak: misalnya <math>a \circ a</math>, juga ditulis sebagai <math>a^2</math>, berbelok <math>180^\circ</math> derajat. <math>a^3</math> adalah rotasi <math>270^\circ</math> searah jarum jam (atau <math>90^\circ</math> berlawanan arah jarum jam). Kita juga melihat bahwa <math>b^2 = e</math> dan juga <math>a^4 = e</math>. Ini yang menarik: apa yang dilakukan <math>a \circ b</math>? Pertama, dibalik secara horizontal, lalu putar. Cobalah untuk memvisualisasikan bahwa <math>a \circ b = b \circ a^3</math>. Juga, <math>a^2 \circ b</math> adalah pembalik vertikal dan sama dengan <math>b \circ a^2</math>.
Mari selidiki lagi grup simetri persegi kita.
Saat ini, kami memiliki elemen '' a '', '' b '' dan '' e '', tetapi kami dapat dengan mudah membentuk lebih banyak:
misalnya '' a '' ∘ '' a '', juga ditulis sebagai '' a ''<sup> 2 </sup>, berbelok 180° derajat.
''a''<sup>3</sup> adalah rotasi 270° searah jarum jam (atau 90° berlawanan arah jarum jam).
Kami juga melihat itu ''b''<sup>2</sup> = ''e'' dan juga ''a''<sup>4</sup> = ''e''.
Ini yang menarik: apa yang dilakukan '' a '' ∘ '' b ''?
Pertama balik secara horizontal, lalu putar.
Cobalah untuk memvisualisasikan itu ''a'' ∘ ''b'' = ''b'' ∘ ''a''<sup>3</sup>.
Also, ''a''<sup>2</sup> ∘ ''b'' adalah flip vertikal dan sama dengan ''b'' ∘ ''a''<sup>2</sup>.
 
Kita mengatakan bahwa elemen '' <math>a ''</math> dan '' <math>b '' </math>[[Menghasilkan himpunan grup | menghasilkan]] grup.
 
KelompokGrup pesananurutan 8 ini memiliki [[tabel Cayley]] berikut:
 
{| class="wikitable"
Baris 122 ⟶ 107:
Untuk dua elemen dalam grup, tabel mencatat komposisi mereka.
 
Dimana "''a''<supmath>a^3 b</supmath>''b''" sebagai singkatan dari ''a''<supmath>a^3</sup> ∘\circ ''b''</math>.
 
Dalam matematika, grup ini dikenal sebagai '''[[grup dihedral]]''' dengan urutan 8, dan juga dilambangkan ''Dih''<submath>4\mathrm{Dih}_4</submath>, ''D''<submath>4\mathrm D_4</submath> atau ''D''<submath>8\mathrm D_8</submath>, tergantung pada konvensi. Ini adalah contoh grup takabelian: operasi <math>\circ</math> di sini bukan [[komutatif]], yang bisa dilihat dari tabel; tabel taksimetris dengan diagonal utama.
Ini adalah contoh grup non-abelian: operasi ∘ di sini bukan [[komutatif]], yang bisa dilihat dari tabel; meja tidak simetris dengan diagonal utama.
 
Gugus dihedral orde 8 bersifat isomorfik terhadap [[:Berkas:Dihedral group of order 8; Cayley table (element orders 1,2,2,4,2,2,4,2); subgroup of S4.svg|grup permutasi yang dihasilkan oleh (1234) dan (13)]].▼
 
=== Subgrup normal ===
▲[[Berkas:Dihedral group of order 8; Cayley table (element orders 1,2,2,4,2,2,4,2); subgroup of S4.svg|jmpl|Gugus dihedral ordetingkat 8 bersifat isomorfik terhadap [[:Berkas:Dihedral group of order 8; Cayley table (element orders 1,2,2,4,2,2,4,2); subgroup of S4.svg|grup permutasi yang dihasilkan oleh (1234) dan (13)]].]]
Versi tabel Cayley ini menunjukkan bahwa grup ini memiliki satu [[subgrup normal]] yang ditampilkan dengan latar belakang merah. Dalam tabel ini <math>r</math> berarti rotasi, dan <math>f</math> berarti membalik. Karena subgrupnya normal, kohimpunan kiri sama dengan koset kanan.
 
{| class="wikitable" style="float:left; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em; width:40ex; height:40ex;"
|+ [[tabel Cayley|Tabel grup]] pada D<sub>4</sub>
|-
! style="width:12%; background:#fdd; border-top:solid black 2px; border-left:solid black 2px;"|
! style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| e
! style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| r<sub>1</sub>
Baris 187 ⟶ 170:
| colspan="9" style="text-align:left"| Elemen e, r<sub>1</sub>, r<sub>2</sub>, dan r<sub>3</sub> membentuk [[subgrup]], disorot di {{color box|#FDD}} merah (wilayah kiri atas). [[Coset]] kiri dan kanan subgrup ini disorot di {{color box|#9DFF93}} hijau (di baris terakhir) dan {{color box|#FFFC93}} kuning (kolom terakhir), masing-masing.
|}
== Grup bebadbebas pada dua generatorpembangkit ==▼
▲{{clear}}
[[Grup bebas]] dengan dua generatorpembangkit '' a '' dan '' b '' terdiri dari semua [[pita (ilmu komputer) | pita]] hingga yang dapat dibentuk dari empat simbol ''a'', ''a''<sup>−1</sup>, ''b'' dan ''b''<sup>−1</sup> sedemikian rupa sehingga tidak ada '' a '' yang muncul tepat di sebelah ''a''<sup>−1</sup> dan tidak ada '' b '' yang muncul tepat di sebelah a ''b''<sup>−1</sup>.▼
 
▲== Grup bebad pada dua generator ==
▲[[Grup bebas]] dengan dua generator '' a '' dan '' b '' terdiri dari semua [[pita (ilmu komputer) | pita]] hingga yang dapat dibentuk dari empat simbol ''a'', ''a''<sup>−1</sup>, ''b'' dan ''b''<sup>−1</sup> sedemikian rupa sehingga tidak ada '' a '' yang muncul tepat di sebelah ''a''<sup>−1</sup> dan tidak ada '' b '' yang muncul tepat di sebelah a ''b''<sup>−1</sup>.
Dua string tersebut dapat digabungkan dan diubah menjadi string jenis ini dengan berulang kali mengganti substring "terlarang" dengan string kosong.
Misalnya: "''abab''<sup>−1</sup>''a''<sup>−1</sup>" concatenated with
Baris 197 ⟶ 178:
(Biasanya tanda petik tidak ada; inilah mengapa simbol ε! Adalah yg dibutuhkan)
 
Ini adalah grup non-abeliantakabelian tak terbatas lainnya.
 
Grup bebas penting dalam [[topologi aljabar]]; grup bebas dalam dua generatorpembangkit juga digunakan untuk membuktikan [[paradoks Banach–Tarski]].
 
== Lihat pula ==
Baris 206 ⟶ 187:
 
== Referensi ==
{{empty section|date=Desember 2020}}
{{referensi}}
{{reflist}}
[[CategoryKategori:Group theory]]
[[CategoryKategori:Mathematical examples|Groups]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Contoh_grup"