Lingkaran dalam dan lingkaran singgung luar segitiga: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Dibuat dengan menerjemahkan halaman "Incircle and excircles of a triangle" |
→Perampatan dengan poligon lainnya: #1Lib1Ref #1Lib1RefID |
||
| (5 revisi perantara oleh 4 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
[[Berkas:Incircle and Excircles.svg|jmpl|Sebuah segitiga berwarna {{Colorbox|black}} dengan lingkaran dalam {{Colorbox|#a5c2da}}, [[pusat lingkaran dalam]] (<math>I</math>), lingkaran singgung luar {{Colorbox|orange}}, pusat lingkaran singgung luar (<math>J_A</math>, <math>J_B</math>, dan <math>J_C</math>), [[garis pembagi sudut]] dalam berwarna {{Colorbox|red}} dan garis pembagi sudut berwarna {{Colorbox|#32cd32}}. Segitiga berwarna hijau {{Colorbox|#32cd32}} merupakan segitiga pusat singgung luar.]]
{{Periksa terjemahan|en|Incircle and excircles of a triangle}}
Dalam [[geometri]], '''lingkaran dalam''' segitiga merupakan lingkaran terbesar yang terisi di dalam segitiga; ini bersinggung (merupakan [[garis singgung]] dengan) tiga sisi. Pusat dari lingkaran adalah [[pusat segitiga]] disebut [[pusat lingkaran dalam]] segitiga.<ref>{{harvtxt|Kay|1969|p=140}}</ref>
Baris 151 ⟶ 150:
Tiga garis <math>AT_A</math>, <math>BT_B</math>, dan <math>CT_C</math> memotong dalam sebuah titik tunggal disebut '''titik Gergonne''', dilambangkan sebagai <math>G_e</math> (pusat segitiga <math>X_7</math>). Titik Gergonne terletak di [[cakram ortosentroidal]] terbuka tertusuk di pusatnya sendiri, dan dapat menjadi suatu titik di situ.<ref name="Bradley">Christopher J. Bradley and Geoff C. Smith, "The locations of triangle centers", ''[[Forum Geometricorum]]'' 6 (2006), 57–70. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200607index.html</ref>
Titik Gergonne dari sebuah segitiga memiliki sebuah bilangan sifat-sifat, termasuk bahwa ini adalah sebuah [[titik simedian]] dari segitiga Gergonne.<ref>{{Cite journal|last=Dekov|first=Deko|year=2009|title=Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point|url=http://www.dekovsoft.com/j/2009/01/JCGEG200901.pdf|journal=Journal of Computer-generated Euclidean Geometry|volume=1|pages=
Koordinat trilinear untuk verteks-verteks dari segitiga singgung dalam diberikan oleh{{Citation needed|date=May 2020}}
Baris 188 ⟶ 187:
Lihat [[rumus Heron]]
==== Penurunan rumus pusat lingkaran singgung luar<ref>{{harvtxt|Altshiller-Court|1925|p=79}}</ref> ====
{{hst}}
Misalkan lingkaran singgung di sisi <math>AB</math> bersinggung di sisi <math>AC</math> diperpanjang di <math>G</math>, dan misalkan jari-jari lingkaran singgung luar menjadi <math>r_c</math> dan pusatnya mnejadi <math>J_c</math>. Maka <math>J_c G </math> merupakan sebuah tinggi dari <math>\triangle ACJ_c</math>, jadi <math>\triangle ACJ_c</math> memiliki luas <math>\tfrac{1}{2}br_c</math>. Dengan menggunakan argumen yang serupa, <math> \triangle BCJ_c </math> memiliki luas <math>\tfrac{1}{2}ar_c</math> dan <math>\triangle ABJ_c</math> memiliki luas <math>\tfrac{1}{2}cr_c</math>. Demikian luasnya <math>\Delta</math> dari <math>\triangle ABC</math> adalah
: <math>\Delta = \frac{1}{2}(a + b - c)r_c = (s - c)r_c</math>.
Jadi, oleh simetri, melambangkan <math>r</math> sebagai jari-jari lingkaran dalam,
: <math>\Delta = sr = (s - a)r_a = (s - b)r_b = (s - c)r_c</math>.
Oleh [[Hukum kosinus|Hukum Kosinus]], kita memiliki
: <math>\cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}</math>
Menggabungkan ini dengan identitas <math>\sin^2 A + \cos^2 A = 1</math>, kita memiliki
: <math>\sin(A) = \frac{\sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2 b^2 + 2b^2 c^2 + 2 a^2 c^2}}{2bc}</math>
Tetapi <math>\Delta = \tfrac{1}{2}bc \sin(A)</math>, dan demikian
:<math>\begin{align}
\Delta &= \frac{1}{4} \sqrt{-a^4 - b^4 - c^4 + 2a^2b^2 + 2b^2 c^2 + 2 a^2 c^2} \\
&= \frac{1}{4} \sqrt{(a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)} \\
& = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)},
\end{align}</math>
yang merupakan [[Teorema Heron|rumus Heron]].
Menggabungkan ini dengan <math>sr = \Delta</math>, kita memiliki
:<math>r^2 = \frac{\Delta^2}{s^2} = \frac{(s - a)(s - b)(s - c)}{s}.</math>
Dengan cara yang serupa, <math>(s - a)r_a = \Delta</math> memberikan
:<math>r_a^2 = \frac{s(s - b)(s - c)}{s - a}</math>
dan
:<math>r_a = \sqrt{\frac{s(s - b)(s - c)}{s - a}}.</math>
{{hsb}}
==== Sifat-sifat lainnya ====
Baris 324 ⟶ 363:
== Perampatan dengan poligon lainnya ==
Beberapa (tapi tidak semua) [[segi empat]] memiliki sebuah lingkaran dalam. Ini disebut [[segi empat singgung]]. Di antaranya banyak sifat-sifat yang mungkin paling terpenting adalah bahwa dua pasangannya mengenai sisi berhadapan memiliki jumlah yang sama. Ini disebut [[teorema Pitot]].<ref>{{
Lebih umumnya, sebuah poligon dengan suatu jumlah sisi bahwa memiliki sebuah lingkaran dalam (yaitu, salah satunya yang bersinggung dengan setiap sisi disebut sebuah [[poligon singgung]].{{Citation needed|date=May 2020}}
Baris 351 ⟶ 390:
* {{cite journal|last=Kiss|first=Sándor|year=2006|title=The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles|journal=Forum Geometricorum|issue=6|pages=171–177}}
==
* [http://www.mathalino.com/reviewer/derivation-of-formulas/derivation-of-formula-for-radius-of-incircle Derivation of formula for radius of incircle of a triangle]
Baris 365 ⟶ 404:
* [https://web.archive.org/web/20151105214641/http://www.uff.br/trianglecenters/X0001.html An interactive Java applet for the incenter]
[[Kategori
| |||