Aljabar Lie: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
~100% terjemahan mesin dan gak bisa dipahami, contoh kalimat: "Adapun cincin asosiatif, cita-cita tepatnya adalah kernel homomorfisme.... " |
k Hapus tag referensi ganda (PW:CW No. 81) + perbaikan lainnya |
||
(13 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{redirect|Braket Lie|operasi pada bidang vektor|Braket Lie bidang vektor}}
{{Short description|ruang vektor dengan operasi biner alternatif yang memenuhi identitas Jacobi.}}
{{Grup Lie}}
{{
Dalam [[matematika]], '''aljabar Lie''' (pengucapan {{IPAc-en|l|iː}} "Lee") adalah [[ruang vektor]] <math>\mathfrak g</math> bersama dengan [[Operasi biner
Aljabar Lie berkaitan erat dengan [[grup Lie]], yaitu [[grup (matematika)|grup]]
Dalam fisika, grup Lie
Contoh dasar adalah ruang vektor tiga dimensi <math>\mathfrak{g}=\mathbb{R}^3</math> dengan operasi braket yang ditentukan oleh [[produk silang]] <math>[x,y]=x\times y.</math> Simetris-miring dari <math>x\times y = -y\times x</math>, dan asosiatif, maka identitas Jacobi:
:<math> x\times(y\times z) \ =\ (x\times y)\times z \ +\ y\times(x\times z). </math>
Ini adalah aljabar Lie dari grup Lie [[grup rotasi 3D|rotasi ruang]], dan setiap vektor <math>v\in\R^3</math> dapat digambarkan sebagai rotasi yang sangat kecil di sekitar sumbu ''
== Sejarah ==
Aljabar Lie diperkenalkan untuk mempelajari konsep [[transformasi infinitesimal]] oleh [[Sophus Lie|Marius Sophus Lie]] pada tahun 1870-an,<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2000}}</ref> dan ditemukan secara independen oleh [[Wilhelm Killing]]<ref>{{harvnb|O'Connor|Robertson|2005}}</ref> di tahun 1880-an. Nama ''aljabar Lie'' diberikan oleh [[Hermann Weyl]] pada tahun 1930-an; dalam teks yang lebih
== Definisi ==
=== Definisi aljabar Lie ===
Aljabar Lie adalah [[ruang vektor]] <math>\,\mathfrak{g}</math> di beberapa [[bidang (matematika)
* [[Operasi Bilinear
::<math> [a x + b y, z] = a [x, z] + b [y, z], </math>
::<math> [z, a x + b y] = a[z, x] + b [z, y] </math>
:untuk skalar ''
* [[Alternatisasi|Alternatif]],
::<math> [x,x]=0\ </math>
:untuk ''
* [[Identitas Jacobi]],
:: <math> [x,[y,z]] + [z,[x,y]] + [y,[z,x]] = 0 \ </math>
:untuk ''
Menggunakan bilinearitas untuk memperluas kurung Lie <math> [x+y,x+y] </math> dan menggunakan alternativitas menunjukkan
* [[Antikomutatif]],
:: <math> [x,y] = -[y,x],\ </math>
:untuk semua elemen ''
=== Generator dan dimensi ===
Elemen aljabar Lie <math>\mathfrak{g}</math> dikatakan [[Generator (matematika)
Lihat [[klasifikasi aljabar Lie berdimensi rendah]] untuk contoh kecil lainnya.
=== Subaljabar, ideal dan homomorfisme ===
Braket Lie tidak harus menggunakan [[asosiatif]], artinya <math>[[x,y],z]</math> tidak harus menggunakan <math>[x,[y,z]]</math>. Namun,
:<math>[\mathfrak{g},\mathfrak i]\subseteq \mathfrak i.</math>
Aljabar Lie ''
:<math> \phi: \mathfrak{g}\to\mathfrak{g'}, \quad \phi([x,y])=[\phi(x),\phi(y)] \ \text{for all}\
x,y \in \mathfrak g. </math>
Karena barket Lie adalah sejenis [[komutator]]
Subaljabar [[pemusat]] dari himpunan bagian <math>S\subset \mathfrak{g}</math> adalah himpunan elemen
==== Contoh ====
Baris 86 ⟶ 85:
\end{bmatrix}
\end{align}</math>}}maka <math>\mathfrak{d}(2)</math> adalah subaljabar
=== Jumlah langsung dan produk setengah langsung ===
Untuk dua Aljabar Lie <math>\mathfrak{g^{}}</math> dan <math>\mathfrak{g'}</math>, [[Jumlah langsung modul
<math>\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g'}</math>terdiri dari
:<math> [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),</math>
sehingga salinan <math>\mathfrak g, \mathfrak g'</math>: <math>[(x,0), (0,x')] = 0.</math> Maka <math>\mathfrak{g}</math> menjadi aljabar Lie dan <math>\mathfrak{i}</math> ideal dari <math>\mathfrak{g}</math>. Jika peta kanonik <math>\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math> (yaitu, menerima bagian), maka <math>\mathfrak{g}</math> dikatakan sebagai [[produk setengah langsung]] dari <math>\mathfrak{i}</math> dan <math>\mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math>, <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\ltimes\mathfrak{i}</math>. Lihat pula [[ekstensi aljabar Lie#Dengan jumlah setengah langsung
[[Teorema Levi]] mengatakan bahwa aljabar Lie berdimensi-hingga adalah perkalian setengah langsung dari akar dan subaljabar komplementernya ([[Levi subaljabar]]).
=== Turunan ===
[[Turunan (aljabar abstrak)
:<math>\delta ([x,y]) = [\delta(x),y] + [x, \delta(y)]</math>
untuk <math>x,y\in\mathfrak g</math>. '' Turunan batin '' yang terkait dengan <math>x\in\mathfrak g</math> adalah pemetaan adjoin <math>\mathrm{ad}_x</math> didefinisikan oleh <math>\mathrm{ad}_x(y):=[x,y]</math>. (Ini adalah derivasi sebagai konsekuensi dari identitas Jacobi.) '''Turunan luar''' adalah derivasi yang tidak berasal dari representasi adjoin aljabar Lie. Jika <math>\mathfrak{g}</math> adalah [[aljabar Lie setengah sederhana
Turunan membentuk ruang vektor <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>, yang merupakan subaljabar Lie dari <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math>; braketnya adalah komutator. Turunan dalam membentuk subaljabar Lie dari <math>\mathrm{Der}(\mathfrak g)</math>.
Baris 134 ⟶ 133:
\end{bmatrix}
\end{align}</math>}}menunjukkan turunan luar dari <math>\mathfrak{b}_3</math> dalam <math>\text{Der}(\mathfrak{n}_3)</math>.
=== Jumlah langsung dan produk setengah langsung ===
Untuk dua aljabar Lie <math>\mathfrak{g^{}}</math> dan <math>\mathfrak{g'}</math>, [[Jumlah langsung modul|jumlah langsung]] Aljabar Lie adalah ruang vektor
<math>\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{g'}</math>terdiri dari semua <math>\mathfrak{}(x,x'), \,x\in\mathfrak{g}, \ x'\in\mathfrak{g'}</math>, dengan operasi tersebut
:<math> [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']),</math>
maka salinan <math>\mathfrak g, \mathfrak g'</math> komutatif satu sama lain: <math>[(x,0), (0,x')] = 0.</math> Maka <math>\mathfrak{g}</math> sebagai aljabar Lie dan <math>\mathfrak{i}</math> ideal <math>\mathfrak{g}</math>. Jika peta kanonik <math>\mathfrak{g} \to \mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math> membagi (yaitu, menerima bagian), lalu <math>\mathfrak{g}</math> dikatakan sebagai [[produk setengah langsung]] dari <math>\mathfrak{i}</math> dan <math>\mathfrak{g}/\mathfrak{i}</math>, <math>\mathfrak{g}=\mathfrak{g}/\mathfrak{i}\ltimes\mathfrak{i}</math>. Lihat pula [[ekstensi aljabar Lie#Dengan jumlah setengah langsung|jumlah setengah langsung dari aljabar Lie]].
[[Teorema Levi]] digunakan aljabar Lie berdimensi-hingga adalah hasil kali setengah-langsung dari akar dan subaljabar komplementernya ([[subaljabar Levi]]).
=== Turunan ===
[[Turunan (aljabar abstrak)|''Turunan'']] pada aljabar Lie <math>\mathfrak{g}</math> (atau pada [[aljabar non-asosiatif]]) adalah [[peta linear]] <math>\delta\colon\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g}</math> yang mematuhi [[kaidah umum Leibniz|hukum Leibniz]], yaitu,
:<math>\delta ([x,y]) = [\delta(x),y] + [x, \delta(y)]</math>
untuk semua <math>x,y\in\mathfrak g</math>. ''Turunan batin'' yang terkait dengan <math>x\in\mathfrak g</math> adalah pemetaan adjoin <math>\mathrm{ad}_x</math> didefinisikan oleh <math>\mathrm{ad}_x(y):=[x,y]</math>. Jika <math>\mathfrak{g}</math> adalah [[aljabar Lie setengah sederhana|setengah sederhana]], setiap turunan adalah dalam.
Turunan membentuk ruang vektor <math>\mathrm{Tur}(\mathfrak g)</math> yang merupakan subaljabar Lie dari <math>\mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math>; braketnya adalah komutator. Turunan dalam membentuk subaljabar Lie dari <math>\mathrm{Tur}(\mathfrak g)</math>.
==== Contoh ====
Misalnya, aljabar Lie ideal <math>\mathfrak{i} \subset \mathfrak{g}</math> representasi adjoin <math>\mathfrak{ad}_\mathfrak {g}</math> dari <math>\mathfrak{g}</math> bertindak sebagai turunan luar pada <math>\mathfrak{i}</math> since <math>[x,i] \subset \mathfrak{i}</math> untuk semua <math>x \in \mathfrak{g}</math> dan <math>i \in \mathfrak{i}</math>. Untuk aljabar Lie <math>\mathfrak{b}_n</math> dari matriks segitiga atas dalam <math>\mathfrak{gl}(n)</math>, menggunakan ideal <math>\mathfrak{n}_n</math> dari matriks segitiga atas (dimana satu-satunya elemen bukan nol berada di atas diagonal matriks). Misalnya, komutator elemen dalam <math>\mathfrak{b}_3</math> dan <math>\mathfrak{n}_3</math> diberikan oleh{{quote box|<math>\begin{align}
\left[
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
0 & d & e \\
0 & 0 & f
\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}
0 & x & y \\
0 & 0 & z \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\right] &= \begin{bmatrix}
0 & ax & ay+bz \\
0 & 0 & dz \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}
0 & dx & ex+yf \\
0 & 0 & fz \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\
&= \begin{bmatrix}
0 & (a-d)x & (a-f)y-ex+bz \\
0 & 0 & (d-f)z \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{align}</math>}}menunjukkan turunan luar dari <math>\mathfrak{b}_3</math> dalam <math>\text{Tur}(\mathfrak{n}_3)</math>.
=== Membagi aljabar Lie ===
Misalkan ''V'' adalah ruang vektor berdimensi-hingga di atas bidang ''F'', <math>\mathfrak{gl}(V)</math> aljabar Lie transformasi linear dan <math>\mathfrak{g} \subseteq \mathfrak{gl}(V)</math> sebuah subaljabar Lie. Maka <math>\mathfrak{g}</math> sebagai '''membagi''' jika akar dari polinomial karakteristik dari semua transformasi linear dalam <math>\mathfrak{g}</math> berada di bidang dasar ''F''.<ref>{{harvnb|Jacobson|1962|p=42}}</ref> Lebih umum, aljabar Lie berdimensi-hingga <math>\mathfrak{g}</math> dikatakan terpecah jika memiliki subaljabar Cartan yang gambarnya di bawah [[representasi adjoin]] <math>\operatorname{ad}: \mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak g)</math> adalah aljabar Lie terpisah. [[Bentuk riil terpisah]] dari aljabar Lie setengah sederhana kompleks (lihat [[#Bentuk riil dan pengkompleksan]]) adalah contoh membagi aljabar Lie riil. Lihat pula [[membagi aljabar Lie]] untuk informasi lebih lanjut.
=== Basis ruang vektor ===
Untuk kalkulasi praktis, sering kali lebih mudah untuk memilih [[basis ruang vektor]] eksplisit untuk aljabar. Konstruksi umum untuk basis ini digambarkan dalam artikel [[konstanta struktur]].
=== Definisi menggunakan notasi teori-kategori ===
Meskipun definisi di atas cukup untuk pemahaman konvensional tentang Lie aljabar, setelah dipahami, wawasan tambahan dapat diperoleh dengan menggunakan notasi umum untuk [[teori kategori]], yaitu dengan mendefinisikan aljabar Lie dalam istilah [[peta linear]]—yaitu, [[morfisme]] dari [[kategori ruang vektor]] tanpa mempertimbangkan elemen individu. Dalam bagian ini, [[bidang (matematika)|bidang]] dimana aljabar didefinisikan [[karakteristik (aljabar)|karakteristik]] berbeda dari dua.)
Untuk definisi kategori-teoretis dari aljabar Lie, diperlukan dua [[produk tensor#Tensor pangkat dan jalinan|kepangan isomorfisme]]. Jika {{mvar|A}} adalah ruang vektor, ''pertukaran isomorfisme'' <math>\tau: A\otimes A \to A\otimes A</math> didefinisikan oleh
:<math>\tau(x\otimes y)= y\otimes x.</math>
''Kepangan siklik-permutasi'' <math>\sigma:A\otimes A\otimes A \to A\otimes A\otimes A </math> didefinisikan sebagai
:<math>\sigma=(\mathrm{id}\otimes \tau)\circ(\tau\otimes \mathrm{id}),</math>
dimana <math>\mathrm{id}</math> adalah morfisme identitas.
Sama halnya, <math>\sigma</math> didefinisikan oleh
:<math>\sigma(x\otimes y\otimes z)= y\otimes z\otimes x.</math>
Dengan notasi ini, aljabar Lie dapat didefinisikan sebagai [[objek (teori kategori)|objek]] <math>A</math> dalam kategori ruang vektor dengan [[morfisme]]
:<math>[\cdot,\cdot]:A\otimes A\rightarrow A</math>
yang memenuhi dua persamaan morfisme
:<math>[\cdot,\cdot]\circ(\mathrm{id}+\tau)=0,</math>
dan
:<math>[\cdot,\cdot]\circ ([\cdot,\cdot]\otimes \mathrm{id}) \circ (\mathrm{id} +\sigma+\sigma^2)=0.</math>
== Contoh ==
=== Ruang vektor ===
Setiap ruang vektor <math>
=== Aljabar asosiatif dengan tanda kurung komutator ===
* Pada [[aljabar asosiatif]] <math>
* Aljabar asosiatif [[endomorfisma]] dari ruang-''
* Untuk ruang vektor berdimensi hingga <math>V = F^n</math>, contoh sebelumnya
=== Matriks khusus ===
Dua subaljabar
* Matriks [[Jejak (aljabar linear)
* Matriks [[
=== Aljabar matriks Lie ===
Kompleks [[Grup linear
Berikut ini adalah contoh aljabar Lie dari grup matriks Lie:<ref name="Hall 2015 loc=§3.4"/>
* [[Grup linear khusus]] <math>{\rm SL}_n(\mathbb{C})</math> terdiri dari {{math|''n'' × ''n''}} matriks dengan determinan 1. Aljabar Lie <math>\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})</math>terdiri dari {{math|''n'' × ''n''}} matriks dengan entri kompleks dan jejak 0. Demikian pula, mendefinisikan grup Lie riil <math>{\rm SL}_n(\mathbb{R})</math> dan aljabar Lie <math>\mathfrak{sl}_n(\mathbb{R})</math>.
* [[Grup uniter]] <math>U(n)</math> terdiri dari ''n'' × ''n'' matriks uniter (sebagai <math>U^*=U^{-1}</math>). Aljabar Lie <math>\mathfrak{u}(n)</math> terdiri dari matriks adjoin (<math>X^*=-X</math>).
* [[Grup ortogonal]] khusus <math>\mathrm{SO}(n)</math>, terdiri dari matriks ortogonal determinan-satu riil (<math>A^{\mathrm{T}}=A^{-1}</math>). Aljabar Lie <math>\mathfrak{so}(n)</math> terdiri dari matriks simetris-miring riil (<math>X^{\rm T}=-X</math>). Grup ortogonal penuh <math>\mathrm{O}(n)</math>, tanpa determinan-satu kondisi, terdiri dari <math>\mathrm{SO}(n)</math> dan komponen terhubung yang terpisah, maka memiliki aljabar Lie ''sama dengan'' <math>\mathrm{SO}(n)</math>. Demikian pula, mendefinisikan versi kompleks dari grup dan aljabar ini, hanya dengan entri matriks kompleks.
=== Dua dimensi ===
* Pada setiap bidang <math>F</math> hingga isomorfisme, satu aljabar Lie nonabelian dua dimensi. Dengan generator ''x, y,'' braketnya didefinisikan sebagai <math> \left [x, y\right ] = y</math>. Ini sebagai [[Grup Affine#Representasi matriks|grup affine dalam satu dimensi]].
:Ini diwujudkan dengan matriks:
::<math> x= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right), \qquad y= \left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right). </math>
Maka
:<math> \left( \begin{array}{cc} 1 & c\\ 0 & 0 \end{array}\right)^{n+1} = \left( \begin{array}{cc} 1 & c\\ 0 & 0 \end{array}\right)</math>
untuk setiap bilangan asli <math>n</math> dan <math>c</math> melihat bahwa elemen grup Lie yang dihasilkan adalah matriks segitiga atas 2 × 2 dengan satuan diagonal lebih rendah:
::<math> \exp(a\cdot{}x+b\cdot{}y)= \left( \begin{array}{cc} e^a & \tfrac{b}{a}(e^a-1)\\ 0 & 1 \end{array}\right) = 1 + \tfrac{e^a-1}{a}\left(a\cdot{}x+b\cdot{}y\right). </math>
=== Tiga dimensi ===
* [[Aljabar Heisenberg]] <math>{\rm H}_3(\mathbb{R})</math> is a aljabar Lie tiga dimensi yang dihasilkan elemen {{mvar|x}}, {{mvar|y}}, dan {{mvar|z}} dengan tanda kurung Lie
::<math>[x,y] = z,\quad [x,z] = 0, \quad [y,z] = 0</math>.
:Ini diwujudkan sebagai ruang dari matriks segitiga 3 × 3, dengan tanda kurung komutator Lie:
::<math>
x = \left( \begin{array}{ccc}
0&1&0\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad
y = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&0\\
0&0&1\\
0&0&0
\end{array}\right),\quad
z = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&1\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right)~.\quad
</math>
:Setiap elemen dari [[grup Heisenberg]] dengan demikian dapat direpresentasikan sebagai produk dari generator grup, yaitu, [[matriks eksponensial]] dari generator aljabar Lie,
::<math>\left( \begin{array}{ccc}
1&a&c\\
0&1&b\\
0&0&1
\end{array}\right)= e^{by} e^{cz} e^{ax}~.
</math>
* Aljabar Lie <math>\mathfrak{so}(3)</math> dari grup SO(3) direntang oleh tiga matriks<ref>{{harvnb|Hall|2015|loc=Contoh 3.27}}</ref>
::<math>
F_1 = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&0\\
0&0&-1\\
0&1&0
\end{array}\right),\quad
F_2 = \left( \begin{array}{ccc}
0&0&1\\
0&0&0\\
-1&0&0
\end{array}\right),\quad
F_3 = \left( \begin{array}{ccc}
0&-1&0\\
1&0&0\\
0&0&0
\end{array}\right)~.\quad
</math>
:Relasi pergantian di antara generator adalah
::<math>[F_1, F_2] = F_3,</math>
:: <math>[F_2, F_3] = F_1,</math>
:: <math>[F_3, F_1] = F_2.</math>
:Tiga dimensi [[ruang Euklides]] <math>\mathbb{R}^3</math> dengan kurung Lie diberikan oleh [[perkalian silang]] dari [[Vektor (geometri)|vektor]] sebagai relasi pergantian yang sama seperti di atas: dengan demikian, isomorfik untuk <math>\mathfrak{so}(3)</math>. Aljabar Lie keekuivalen secara unitar dengan operasi komponen momentum sudut [[Spin (fisika)|spin]] biasa untuk partikel spin-1 dalam [[mekanika kuantum]].
=== Dimensi tak hingga ===
* Kelas penting aljabar Lie berdimensi tak hingga muncul di [[topologi diferensial]]. Ruang halus [[bidang vektor]] pada [[lipatan diferensial]] ''M'' membentuk aljabar Lie, dimana kurung Lie didefinisikan sebagai [[Kurung Lie bidang vektor|komutator bidang vektor]]. Salah satu cara untuk mengekspresikan tanda kurung Lie adalah melalui formalisme [[turunan Lie]], yang mengidentifikasi bidang vektor ''X'' dengan operasi diferensial parsial urutan pertama ''L''<sub>''X''</sub> sebagai fungsi halus dengan membiarkan ''L''<sub>''X''</sub>(''f'') menjadi turunan arah dari fungsi ''f'' ke ''X''. Braket Lie [''X'',''Y''] dari dua bidang vektor adalah bidang vektor yang ditentukan melalui fungsi dengan rumus:
:: <math> L_{[X,Y]}f=L_X(L_Y f)-L_Y(L_X f).\,</math>
* [[Aljabar Kac–Moody]] adalah kelas besar aljabar Lie berdimensi tak hingga yang strukturnya sangat mirip dengan kasus berdimensi hingga di atas.
* [[Braket Moyal|Aljabar Moyal]] adalah aljabar Lie berdimensi tak hingga yang berisi semua [[Grup Lie klasik#Relasi dengan bentuk bilinear|aljabar Lie klasik]] sebagai subaljabar.
* [[Aljabar Virasoro]] adalah yang terpenting dalam [[teori pita]].
== Wakilan ==
{{main|Wakilan aljabar Lie}}
=== Definisi ===
Diberikan ruang vektor ''V'', misal <math>\mathfrak{gl}(V)</math> menunjukkan aljabar Lie yang terdiri dari semua [[endomorfisma]] linear dari ''V'', dengan tanda kurung yang diberikan oleh <math>[X,Y]=XY-YX</math>. Sebuah ''wakilan'' dari aljabar Lie <math>\mathfrak{g}</math> dengan ''V'' adalah homomorfisme aljabar Lie
:<math>\pi: \mathfrak g \to \mathfrak{gl}(V).</math>
Wakilan sebagai ''setia'' jika kernelnya nol. [[Teorema Ado]]<ref>{{harvnb|Jacobson|1962|loc=Ch. VI}}</ref> untuk setiap aljabar Lie berdimensi-hingga memiliki wakilan setia dengan ruang vektor berdimensi-hingga.
=== Wakilan adjoin ===
Untuk aljabar Lie <math>\mathfrak{g}</math>, maka didefinisikan wakilan <math>\operatorname{ad}\colon\mathfrak{g} \to \mathfrak{gl}(\mathfrak{g})</math>
given by <math>\operatorname{ad}(x)(y) = [x, y]</math> adalah wakilan pada ruang vektor <math>\mathfrak{g}</math> yang merupakan [[wakilan adjoin dari aljabar Lie|wakilan adjoin]].
=== Tujuan teori wakilan ===
Salah satu aspek penting dari studi Lie aljabar (terutama aljabar Lie semi-sederhana) adalah studi tentang wakilan. Memang, sebagian besar buku yang tercantum di bagian referensi mencurahkan sebagian besar halaman untuk teori wakilan. Meskipun teorema Ado adalah hasil yang penting, tujuan utama dari teori wakilan bukanlah untuk menemukan wakilan yang tepat dari aljabar Lie yang diberikan <math>\mathfrak{g}</math>. Dalam kasus semi-sederhana untuk wakilan adjoin adalah setia. Sebaliknya, tujuannya adalah untuk memahami ''semua'' kemungkinan wakilan <math>\mathfrak{g}</math>, hingga gagasan alami tentang kesetaraan. Dalam kasus semi sederhana di atas bidang karakteristik nol, [[Teorema Weyl tentang reduksi kompleks|teorema Weyl]]<ref>{{harvnb|Hall|2015|loc=Teorema 10.9}}</ref> untuk setiap wakilan berdimensi-hingga adalah jumlah langsung dari wakilan yang tidak dapat direduksi (tidak memiliki subruang invarian nontrivial). Wakilan yang tidak dapat direduksi, pada gilirannya, diklasifikasikan dengan [[Wakilan aljabar Lie#Mengklasifikasikan wakilan berdimensi-hingga dari aljabar Lie|teorema dengan bobot tertinggi]].
=== Teori wakilan dalam Fisika ===
Teori wakilan aljabar Lie memegang peranan penting dalam berbagai bagian teori fisika. Operasi di ruang negara bagian yang memenuhi relasi pergantian alami tertentu. Relasi pergantian ini biasanya berasal dari kesimetrian masalah—khususnya, mereka adalah relasi aljabar Lie dari grup kesimetrian yang relevan. Contohnya adalah [[operasi momentum sudut]] dimana relasi pergantinya adalah aljabar Lie <math>\mathfrak{so}(3)</math> dari [[grup rotasi SO(3)]]. Biasanya, ruang satuan sangat jauh dari tidak dapat direduksi di bawah operasi terkait, tetapi seseorang dapat mencoba untuk menguraikannya menjadi bagian-bagian yang tidak dapat direduksi. Dalam melakukannya, untuk mengetahui wakilan tak tersederhanakan dari aljabar Lie yang diberikan. Dalam studi tentang kuantum [[atom dengan hidrogen|atom hidrogen]], misalnya, buku teks mekanika kuantum memberikan (tanpa menyebutnya demikian) klasifikasi wakilan tak tersederhanakan dari aljabar Lie <math>\mathfrak{so}(3)</math>.
== Relasi grup Lie ==
{{main|Korespondensi Grup Lie–Aljabar Lie
[[Gambar:Image Tangent-plane.svg|thumb|
Meskipun aljabar Lie
== Bentuk dan kerumitan
Diberikan [[aljabar Lie kompleks]] <math>\mathfrak g</math>, aljabar Lie riil <math>\mathfrak{g}_0</math> dikatakan sebagai ''
Diberikan aljabar Lie kompleks berdimensi-hingga setengah sederhana <math>\mathfrak g</math>, ''
== Lie aljabar dengan struktur tambahan ==
Baris 172 ⟶ 345:
== Gelanggang Lie ==
'' Gelanggang Lie '' muncul sebagai generalisasi dari aljabar Lie, atau melalui studi [[deret tengah bawah]] [[Grup (matematika)
* Bilinearitas:
Baris 213 ⟶ 386:
* [[Aljabar pra-Lie]]
* [[Grup kuantum]]
* [[Braket loyal
* [[Aljabar Lie semu-Frobenius]]
* [[Aljabar semu-Lie]]
Baris 267 ⟶ 440:
{{DEFAULTSORT:Lie Algebra}}
[[Kategori:
[[Kategori:
|