Aljabar Lie: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Tidak ada ringkasan suntingan Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler Suntingan seluler lanjutan |
k Hapus tag referensi ganda (PW:CW No. 81) + perbaikan lainnya |
||
| (Satu revisi perantara oleh satu pengguna lainnya tidak ditampilkan) | |||
Baris 4:
{{Teori gelanggang sidebar}}
Dalam [[matematika]], '''aljabar Lie''' (pengucapan {{IPAc-en|l|iː}} "Lee") adalah [[ruang vektor]] <math>\mathfrak g</math> bersama dengan [[Operasi biner|operasi]] yang disebut '''braket Lie''', [[Peta multilinear alternatif|peta bilinear bergantian]] <math>\mathfrak g \times \mathfrak g \rightarrow \mathfrak g, \ (x, y) \mapsto [x, y]</math> adalah bagian dari [[identitas Jacobi]].{{efn|Tanda kurung {{math | [,]}} mewakili operasi bilinear "×";
Aljabar Lie berkaitan erat dengan [[grup Lie]], yaitu [[grup (matematika)|grup]] dengan [[lipatan halus]]: setiap grup Lie memunculkan aljabar Lie, yang merupakan ruang singgung identitasnya. Sebaliknya, untuk aljabar Lie berdimensi-hingga di atas bilangan riil atau kompleks, ada yang sebagai [[ruang penghubung|penghubung]] dengan grup Lie hingga penutupan ([[teorema ketiga Lie]]). [[Grup Lie–korespondensi aljabar|Korespondensi]] ini memungkinkan untuk mempelajari struktur dan [[Daftar grup Lie sederhana|klasifikasi]] grup Lie dalam kaitannya dengan aljabar Lie.
Baris 189:
=== Definisi menggunakan notasi teori-kategori ===
Meskipun definisi di atas cukup untuk pemahaman konvensional tentang Lie aljabar, setelah dipahami, wawasan tambahan dapat diperoleh dengan menggunakan notasi umum untuk [[teori kategori]], yaitu dengan mendefinisikan aljabar Lie dalam istilah [[peta linear]]—yaitu, [[morfisme]] dari [[kategori ruang vektor]] tanpa mempertimbangkan elemen individu. Dalam bagian ini, [[bidang (matematika)|bidang]] dimana aljabar didefinisikan [[karakteristik (aljabar)|karakteristik]] berbeda dari dua.)
Untuk definisi kategori-teoretis dari aljabar Lie, diperlukan dua [[produk tensor#Tensor pangkat dan jalinan|kepangan isomorfisme]]. Jika {{mvar|A}} adalah ruang vektor, ''pertukaran isomorfisme'' <math>\tau: A\otimes A \to A\otimes A</math> didefinisikan oleh
Baris 223:
=== Aljabar matriks Lie ===
Kompleks [[Grup linear|grup matriks]] adalah grup Lie yang terdiri dari matriks <math>G\subset M_n(\mathbb{C})</math> dimana perkalian ''G'' adalah perkalian matriks. Aljabar Lie <math>\mathfrak g</math> ruang matriks merupakan vektor bersinggungan dengan ''G'' dalam ruang linear <math>M_n(\mathbb{C})</math>: terdiri dari turunan kurva halus dalam ''G'' dengan identitas: {{quote box|<math>\mathfrak{g} = \{ X = c'(0) \in M_n(\mathbb{C}) \ \mid\ \text{ polos } c : \mathbb{R}\to G, \ c(0) = I \}.</math>}}Braket Lie dari <math>\mathfrak{g}</math> adalah komutator matriks, <math>[X,Y]=XY-YX</math>. Dengan aljabar Lie, kita dapat memulihkan grup Lie sebagai citra pemetaan [[matriks eksponensial]] <math>\exp: M_n(\mathbb{C})\to M_n(\mathbb{C})</math> didefinisikan oleh <math>\exp(X) = I + X + \tfrac{1}{2!}X^2+\cdots</math>, yang menyatu untuk setiap matriks <math> X </math>: yaitu, <math>G=\exp(\mathfrak g)</math>.<ref name="Hall 2015 loc=§3.4">{{harvnb|Hall|2015|loc=§3.4}}</ref>
Berikut ini adalah contoh aljabar Lie dari grup matriks Lie:<ref
* [[Grup linear khusus]] <math>{\rm SL}_n(\mathbb{C})</math> terdiri dari {{math|''n'' × ''n''}} matriks dengan determinan 1. Aljabar Lie <math>\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})</math>terdiri dari {{math|''n'' × ''n''}} matriks dengan entri kompleks dan jejak 0. Demikian pula, mendefinisikan grup Lie riil <math>{\rm SL}_n(\mathbb{R})</math> dan aljabar Lie <math>\mathfrak{sl}_n(\mathbb{R})</math>.
| |||