Darab (matematika): Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], '''Produkdarab''' adalah hasil dari [[perkalian]], atau ekspresi yang mengidentifikasi [[pembagi|faktor]] yang akanuntuk dikalikan. ContohnyaMisalnya, 30 adalah hasilproduk perkaliandari 6 dan 5 (hasil perkalian), dan <math>x\cdot (2+x)</math> adalah produkhasil darikali <math>x</math> dan <math>(2+x)</math> (menunjukkan bahwa kedua faktor tersebut harus dikalikan bersama).

UrutanDimana bilanganurutan [[bilangan riilreal|riilreal]] atau bilangan [[bilangan kompleks|kompleks]] adalah [[Perkalian|dikalikanperkalian]] tidak adaberpengaruh hubungannyapada dengan produkdarab; hal ini dikenal sebagai [[Komutatif|hukum komutatif]] padadari perkalian. Ketika [[matriks (matematika)|matriks]] atau anggota dari berbagai [[aljabar asosiatif]] lainnya dikalikan, produkdarab biasanya tergantung pada urutan faktor. [[Perkalian matriks]], contohnyamisalnya, bersifatbukan non-komutatif, begitudemikian pulajuga perkalian padadalam aljabar lain padasecara umumnyaumum.

Ada banyak jenis produkdarab dalam matematika: selain dapat mengalikan hanyabilangan bilangansaja, polinomial atau matriks, seseorang juga dapatapabila mendefinisikan hasil kaliproduk pada banyak [[struktur aljabar]] yang berbeda.

==Darab Hasil perkaliandari dua angka bilangan==

{{main|Perkalianperkalian}}

===Darab Hasil perkaliandari dua bilangan asli ===

[[Berkas:Three by Four.svg|thumb|3 kali 4 sama denganadalah 12]]

Menempatkan beberapa batu menjadike dalam pola persegi panjang dengan baris <math>r</math> dan kolom <math>s</math> memberikan

:<math> r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \underbrace{ r+r+\cdots+r }_{s\text{ masakali}}= \sum_{j=1}^r s = \underbrace{ s+s+jsa\cdots+s }_{r\text{ masakali}} </math>

(aturanKaidah ini adalahmerupakan konsekuensi yang diperlukan dari menuntut [[Propertisifat distributif|distributivitas]] perkalian atasterhadap penjumlahan, dan bukan merupakan ''aturankaidah tambahan''.)

SingkatnyaDengan kata-kata, kamikita memiliki:

=== Hasil perkalianPerkalian dua pecahan ===

Dua pecahan dapatapabila dikalikan dengan mengalikan pembilang dan penyebutnya, adalah:

=== Produk dariDarab dua bilangan riilreal ===

Untuk definisi yang tepat dari produk daridarab dua bilangan real, lihat [[Konstruksi bilangan real]].

; Rumus

{{Math theorem|name=[[Pertidaksamaan Young untuk produkdarab|DalilTeorema]]{{sfn | Jarchow | 1981 | pp=47-55}}|math_statement=

mendugaMisalkan {{math|''a'' > 0}} dan {{math|''b'' > 0}}.

BilaJika {{math|1 < ''p'' < ∞}} dan {{math|1=''q'' := {{sfrac|''p''|''p'' - 1}}}} kemudianmaka

Tentukan fungsi nilaibernilai riilreal {{mvar|f}} pada bilangan riilreal positif dengan

:{{math|1=''f'' (''t'') := {{sfrac|''t''&thinsp;^''p'' ''a''&thinsp;^''p''|''p''}} + {{sfrac|''t''&thinsp;^-−''q'' ''b''&thinsp;^''q''|''q''}}}}

untuk setiap {{math|''t'' > 0}} dan kemudianlalu hitung minimumnya.

===Darab Hasil perkaliandari dua bilangan kompleks ===

==== ArtiMakna geometris dari perkalian kompleks ====

Arti geometrisnyageometris adalah bahwa besarannyabesaran dikalikan dan argumennyaargumen ditambahkan.

=== ProdukDarab dari dua angka empat kuaternion===

Produk dari dua [[Quaternion | quaternionsquaternion]]s dapat ditemukan dalamdi artikel di [[quaternions]]. Perhatikan, dalam hal ini, itubahwa <matH>a \cdot b</math> dan <math>b \cdot a</matH> berbeda secara umum berbeda.

{{See also|Perkalian#Produk_urutanDarab barisan}}

Operator perkalian untuk [[Perkalian#Notasi Pi Kapitalkapital|perkaliandarab urutanbarisan]] dilambangkan dengan huruf besar Yunani kapital [[Pi (huruf)|pi]] <span style="font-family: times, serif; font-size:150%">∏</span> (dalam analogi penggunaan modalhuruf kapital Sigma <span style="font-family: times, serif; font-size:150%">∑</span> sebagai simbol [[penjumlahan]]).<ref>{{Cite web|date=2020-03-25|title=Comprehensive List of Algebra Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/algebra-symbols/|access-date=2020-08-16|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=Product|url=https://mathworld.wolfram.com/Product.html|access-date=2020-08-16|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> ContohnyaMisalnya, ekspresi <math>\textstyle \prod_{i=1}^{6}i^2</math>is adalah cara lain untuk menulis <math>1 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 16 \cdot 25 \cdot 36</math>.<ref>{{Cite web|title=Summation and Product Notation|url=https://math.illinoisstate.edu/day/courses/old/305/contentsummationnotation.html|access-date=2020-08-16|website=math.illinoisstate.edu}}</ref>

ProdukDarab dari suatu barisan yang hanya terdiri dari satu bilangan hanyalahadalah bilangan itu sendiri-diri; hasildarab dari kalitidak tanpaada faktor sama sekali dikenal sebagai [[produkdarab kosong]], dan sama dengan 1.

[[Gelanggang komutatif]] memiliki operasi produkdarab.

=== Kelas residu dari bilangan bulat ===

{{Mainmain|kelas residu}}

Kelas residu padadi gelanggang <math>\Z/N\Z</math> bisadapat ditambahkan:

=== Konvolusi ===

{{main|Konvolusikonvolusi}}

[[Gambar:Convolucion Funcion Pi.gif|thumb|upright=1.5|Konvolusi gelombang persegi dengan sendirinyasendiri memberikan fungsi segitiga]]

Dua fungsi dari riilreal ke dirinya sendiri dapatapabila dikalikan dengan cara lain, yang disebut [[konvolusi]].

didefinisikan dengan baikrapi dan disebut konvolusi.

Di bawahDibawah [[Transformasitransformasi Fourier]], konvolusi menjadi perkalian fungsi titik-bijaksanalawan.

=== Gelanggang polinomial ===

{{main|Gelangganggelanggang polinomial}}

ProdukDarab dari dua polinomial diberikan sebagaioleh yang berikut:

== ProdukDarab dalam aljabar linier linear==

Ada banyak jenis hasil kaliproduk dalam aljabar linear. Beberapa di antaranyadiantaranya memiliki nama yang sangat mirip ([[produkdarab luar|darab luar (outer)]], [[produkdarab luar|darab luar (eksterior)]]) dengan arti yang sangat berbeda, sementara yang lain memiliki nama yang sangat berbeda (produkdarab luar, produkdarab tensor, produkdarab Kronecker) namun pada dasarnya menyampaikan ide yang sama. GambaranPenjelasan singkat tentang ini diberikan di bagian berikut.:

=== Perkalian skalar ===

{{main|Perkalianperkalian skalar}}

Dengan definisi ruang vektor, seseorang dapat membentukapabila produk dari setiap skalar dengan vektor apapun, memberikandiberikan peta <math>\R \times V \rightarrow V</math>.

=== ProdukDarab skalar ===

{{main|Produkdarab skalar}}

Sebuah [[produkDarab skalar]] adalah peta bi-linear:

dengan kondisiketentuan sebagai berikut, bahwa <math>v \cdot v > 0</math> untuk semua <math>0 \not= v \in V</math>.

Dari hasil perkalianproduk skalar, seseorang dapatapabila mendefinisikan sebuah [[Norma (matematika)|norma]] dengan membiarkan <math>\|v\| := \sqrt{v \cdot v} </math>.

ProdukDarab skalar juga memungkinkan seseorang untuk menentukan sudut antara dua vektor:

Dalam ruang EuklidesEuklidean dimensi-<math>n</math> dimensi, produkdarab skalar standar (disebut [[produkdarab titik]]) diberikan oleh:

=== Perkalian silang dalam ruang 3 dimensi ===

{{main|Produkperkalian silang}}

[[Perkalian silang]] dari dua vektor dalam 3 dimensi adalah vektor tegak lurus keduaterhadap dua faktor, dengan panjang sama dengan luas jajaranjajar genjang yang direntang oleh keduadua faktor tersebut.

Perkalian silang juga dapat dinyatakan sebagai [[kalkulasiperhitungan formal|formal]] {{Efn|Di sini, "formal" berarti bahwa notasi ini memiliki bentuk determinan, tetapi tidak secara ketat mengikutimemenuhi definisi; karena itu adalah mnemonik yang digunakan untuk mengingat perluasan produkperkalian silang.}} [[determinan]]:

=== Komposisi pemetaan linear ===

{{main|Komposisikomposisi fungsi}}

Pemetaan linear dapat didefinisikan sebagai fungsi ''f'' antara dua ruang vektor '' V '' dan ''W'' dengan bidang yang mendasaridasar '''F''', memuaskanyang memenuhi<ref>{{cite book|last1=Clarke|first1=Francis|title=Functional analysis, calculus of variations and optimal control|url=https://archive.org/details/functionalanalys00clar|date=2013|publisher=Springer|location=Dordrecht|isbn=1447148207|pages=9–10[https://archive.org/details/functionalanalys00clar/page/n21 9]–10}}</ref>

Bila seseorangJika hanya mempertimbangkan ruang vektor berdimensidimensi hingga, maka

in whichdimana '''b_V''' dan '''b_W''' menunjukkan [[Basisbasis (aljabar linear)|basis]] dari ''V'' dan ''W'', dan ''v_i'' menunjukkan [[Tensor#Definisi|komponen]] dari '''v''' onpada '''b_V'''^''i'', anddan [[Notasinotasi Einstein|Konvensikonvensi penjumlahan Einstein]] diterapkan.

Sekarang kita perhatikanmempertimbangkan komposisi dua pemetaan linierlinear antara ruang vektor berdimensidimensi hingga. Biarkan pemetaan linearlinier ''f'' petamemetakan ''V'' untukke ''W'', dan biarkan pemetaan linierlinear ''g'' memetakan ''W'' ke ''U''. KemudianApabila seseorangjika bisa mendapatkan

di mana elemen kolom ''i'' - baris, ''j'' - elemen kolom dari '''F''', dilambangkan dengan ''F_ij'', isadalah ''f<sup >j</sup>_i'', dan ''G_ij=g^j_i''.

Komposisi lebih dari dua pemetaan linear dapatdiwakilan direpresentasikandengan secaracara serupayang sama oleh rantaikaidah perkalian matriks.

=== ProdukDarab dari dua matriks ===

{{main|Produkdarab matriks}}

produk merekadarab diberikan oleh

=== Komposisi fungsi linear sebagai hasil perkaliandarab matriks ===

Ada hubungan antara komposisi fungsi linierlinear dan hasil kalidarab dua matriks. Untuk melihat ini, makamisalkan r = dimredup(U), s = dimredup(V) dan t = dimredup(W) menjadi (terbatas)adalah [[dimensi (matematika)|dimensi]] (hingga) dari ruang vektor U, V dan W. MariMaka

<math>\mathcal V = \{v_1, \ldots, v_s\}</math> be amenjadi basis ofdari V and dan

<math>\mathcal W = \{w_1, \ldots, w_t\}</math> menjadi dasarbasis dari W. Dalam hal dasar ini, makamari

menjadi matriks yang mewakili f : U → V and dan

menjadi matriks yang mewakili g : V → W. ThenMaka

Dengan kata lain: perkaliandarab matriks adalah uraiandeskripsi dalam koordinat dari komposisi fungsi linierlinear.

===Darab Hasil kali sensortensor dari ruang vektor ===

{{main|ProdukDarab Tensortensor}}

Diberikan dua ruang vektor berdimensi terbatashingga ''V'' dan ''W'', hasil kali tensornya dapat didefinisikan sebagai tensor-(2,0) -tensor yang memuaskanmemenuhi:

dimana ''V^*'' dan ''W^*'' menunjukkan [[spasiruang ganda]] dari ''V'' dan ''W''.<ref>{{cite book|last1=Boothby|first1=William M.|title=An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry|url=https://archive.org/details/introductiontodi0000boot|url-access=registration|date=1986|publisher=Academic Press|location=Orlando|isbn=0080874398|page=[https://archive.org/details/introductiontodi0000boot/page/200 200]|edition=2ndke-2}}</ref>

Untuk ruang vektor berdimensidimensi tak hingga, satu juga memiliki:

* [[ProdukDarab Tensor daritensor ruang Hilbert]]

* [[ProdukDarab tensor topologi]].

ProdukDarab tensor, [[hasildarab luar]] dan [[produkdarab Kronecker]] semuanya menyampaikan gagasanide umum yang sama. Perbedaan antara ini adalah bahwa produkdarab Kronecker hanyalah produkdarab tensor dari matriks, sehubunganhubungan dengan basis tetapyang ditetapkan sebelumnya, sedangkan produkdarab tensor biasanya diberikan dalam [[tensor (definisi intrinsik)|definisi intrinsik]]. Hasil kaliDarab luar hanyalah hasil kalidarab Kronecker, terbatashingga pada vektor (bukan matriks).

=== Kelas semua objek dengan hasil kalidarab tensor ===

Secara umum, setiap kali seseorang memiliki dua [[objek (teori kategori)|objek]] matematikamatematis yang dapat digabungkan dengansedemikian cararupa yangsehingga berperilakuperilaku seperti hasil kalidarab tensor aljabar linear, maka ini dapat dipahami secara umum sebagai [[produkdarab internal]] dari [[kategori monoid]]. Artinya, kategori monoidal menangkap dengansecara tepat arti dari produkdarab tensor; iniitu menangkap dengan tepat gagasan mengapa produkdarab tensor berperilaku seperti ituperilaku. Lebih tepatnya, kategori monoidalmonoid adalah [[kelas (teori himpunan)|kelas]] dari semua bendahal (dari [[teori tipe|jenistipe]] tertentu) yang memiliki perkaliandarab tensor.

=== ProdukDarab lain dalam aljabar linear ===

Jenis produkdarab lain dalam aljabar linierlinear meliputi:

* [[ProdukDarab Hadamard (matriks)|ProdukDarab Hadamard]]

* [[ProdukDarab Kronecker]]

* ProdukDarab dari [[tensor]]:

** [[Aljabar eksterior|ProdukDarab baji atau produkdarab eksterior]]

** [[ProdukDarab interiordalam]]

** [[ProdukDarab luar]]

** [[ProdukDarab Tensortensor]]

== ProdukDarab Kartesius ==

Dalam [[teori himpunan]], [[perkaliandarab kartesiusKartesius]] adalah [[operasi matematika]] yang mengembalikan [[himpunan (matematika)|himpunan]] (atau '''himpunan produkdarab''') dari beberapa himpunan. Yaitu, untuk himpunan ''A'' dan ''B'', produkdarab kartesiusKartesius {{nowrap|''A'' × ''B''}} adalah himpunan dari semua [[pasangan terurut]] {{nowrap|(a, b)}} dimana—dimana {{nowrap|a ∈ ''A''}} dan {{nowrap|b ∈ ''B''}}.<ref>{{cite book|last1=Moschovakis|first1=Yiannis|title=Notes on set theory|url=https://archive.org/details/notesonsettheory00mosc_805|date=2006|publisher=Springer|location=New York|isbn=0387316094|page=[https://archive.org/details/notesonsettheory00mosc_805/page/n25 13]|edition=2nd}}</ref>

Kelas dari semua benda (dari [[teori tipe|tipejenis]]) tertentu) yang memiliki hasilkalidarab Kartesius disebut [[kategoriKategori monoidalmonoid kartesiusKartesius|kategori kartesiusKartesius]]. Banyak di antaranyadiantaranya adalah [[Kategori tertutup kartesius|Kategori tertutup kartesiusKartesius]]. Himpunan adalah contoh dari objek tersebut.

* {{annotated link|ProdukDesain tensordarab Delignetensor kategori abelian}}

* [[ProdukDarab tidaktak terbatastentu]]

== Referensi ==