Darab (matematika): Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Memperbaiki terjemahan |
Tag: Suntingan perangkat seluler Suntingan peramban seluler |
||
(5 revisi perantara oleh 3 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Periksa terjemahan|en|Product (mathematics)}}{{Operasi aritmetika}}
Dalam [[matematika]], '''darab'''
Ada banyak jenis darab dalam matematika: selain dapat mengalikan
==Darab
{{main|
===Darab
[[Berkas:Three by Four.svg|thumb|3 kali 4
Menempatkan beberapa batu
:<math> r \cdot s = \sum_{i=1}^s r = \underbrace{ r+r+\cdots+r }_{s\text{
Bilangan bulat memungkinkan bilangan positif dan negatif.
▲=== Darab dari dua bilangan bulat ===
▲Bilangan bulat memungkinkan bilangan positif dan negatif. darabnya ditentukan oleh hasil kali jumlah positifnya, dikombinasikan dengan tanda yang diturunkan dari aturan berikut:
:<math>\begin{array}{|c|c c|}
Baris 27 ⟶ 25:
+ & - & + \\ \hline
\end{array}</math>
* Minus kali Minus memberi Plus
* Minus kali Plus memberi Minus
Baris 35 ⟶ 33:
* Plus kali Plus memberi Plus
===
Dua pecahan
:<math> \frac{z}{n} \cdot \frac{z'}{n'} = \frac{z\cdot z'}{n\cdot n'}</math>
=== Darab
Untuk definisi yang tepat dari darab
;
{{Math theorem|name=[[Pertidaksamaan Young untuk
:{{math|1=''ab'' = {{underset|{{math|0 < ''t'' < ∞}}|min}} {{sfrac|''t'' <sup>''p''</sup> ''a'' <sup>''p''</sup>|''p''}} + {{sfrac|''t'' <sup>- ''q''</sup> ''b'' <sup>''q''</sup>|''q''}}}}.
}}
{{Math proof|drop=hidden|title=Bukti{{sfn | Jarchow | 1981 | pp=47-55}}|proof=
:{{math|1=''f'' (''t'') := {{sfrac|''t'' <sup>''p''</sup> ''a'' <sup>''p''</sup>|''p''}} + {{sfrac|''t'' <sup>
untuk setiap {{math|''t'' > 0}}
}}
===Darab
Dua bilangan kompleks dapat dikalikan dengan hukum distributif dan fakta bahwa <math> i^2=-1</math>, sebagai berikut:
:<math>\begin{align}
Baris 66 ⟶ 64:
\end{align}</math>
====
[[Berkas:Komplexe zahlenebene.svg|thumb|upright=1.25|Bilangan kompleks dalam koordinat polar.]]
Bilangan kompleks dapat ditulis dalam [[koordinat polar]]:
:<math>a + b\, i = r \cdot ( \cos(\varphi) + i \sin(\varphi) ) = r \cdot e ^{ i \varphi} </math>
Selain itu,
:<math>c + d\, i = s \cdot ( \cos(\psi) + i\sin(\psi) ) = s \cdot e^{i\psi},</math>
apabila memperoleh
:<math>(a \cdot c - b \cdot d) + (a \cdot d + b \cdot c) i = r \cdot s \cdot e^{i(\varphi + \psi)}.</math>
Arti
===
==
{{See also|Perkalian#
Operator perkalian untuk [[Perkalian#Notasi Pi
== Gelanggang komutatif ==
[[Gelanggang komutatif]] memiliki operasi darab.
===
{{
Kelas residu
:<math>(a + N\Z) + (b + N\Z) = a + b + N\Z</math>
Baris 101 ⟶ 99:
:<math>(a + N\Z) \cdot (b + N\Z) = a \cdot b + N\Z</math>
===
{{main|
[[Gambar:Convolucion Funcion Pi.gif|thumb|upright=1.5|Konvolusi gelombang persegi dengan
Dua fungsi dari
Jika
:<math>
\int\limits_{-\infty}^\infty |f(t)|\,\mathrm{d}t < \infty\qquad\mbox{dan}\qquad
Baris 113 ⟶ 111:
</math>
maka integralnya
:<math>(f*g) (t) \;:= \int\limits_{-\infty}^\infty f(\tau)\cdot g(t - \tau)\,\mathrm{d}\tau </math>
didefinisikan dengan
===
{{main|
:<math>\left(\sum_{i=0}^n a_i X^i\right) \cdot \left(\sum_{j=0}^m b_j X^j\right) = \sum_{k=0}^{n+m} c_k X^k </math>
Baris 130 ⟶ 128:
:<math> c_k = \sum_{i+j=k} a_i \cdot b_j </math>
==
Ada banyak jenis
===
{{main|
Dengan definisi ruang vektor,
===
{{main|
:<math>\cdot : V \times V \rightarrow \R </math>
dengan
Dari
:<math>\cos\angle(v, w) = \frac{v \cdot w}{\|v\| \cdot \|w\|}</math>
Dalam ruang
:<math>\left(\sum_{i=1}^n \alpha_i e_i\right) \cdot \left(\sum_{i=1}^n \beta_i e_i\right) = \sum_{i=1}^n \alpha_i\,\beta_i</math>
===
{{main|
[[Perkalian silang]] dari dua vektor dalam 3 dimensi adalah vektor tegak lurus
Perkalian silang juga
:<math>\mathbf{u \times v} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
Baris 166 ⟶ 164:
\end{vmatrix}</math>
===
{{main|
Pemetaan linear
:<math>f(t_1 x_1 + t_2 x_2) = t_1 f(x_1) + t_2 f(x_2), \forall x_1, x_2 \in V, \forall t_1, t_2 \in \mathbb{F}.</math>
:<math>f(\mathbf{v}) = f\left(v_i \mathbf{b_V}^i\right) = v_i f\left(\mathbf{b_V}^i\right) = {f^i}_j v_i \mathbf{b_W}^j,</math>
Sekarang kita
:<math>g \circ f(\mathbf{v}) = g\left({f^i}_j v_i \mathbf{b_W}^j\right) = {g^j}_k {f^i}_j v_i \mathbf{b_U}^k.</math>
Atau dalam bentuk matriks:
:<math>g \circ f(\mathbf{v}) = \mathbf{G} \mathbf{F} \mathbf{v},</math>
di mana elemen kolom ''i''
Komposisi lebih dari dua pemetaan linear
===
{{main|
Diberikan dua matriks
Baris 191 ⟶ 189:
:<math>A = (a_{i,j})_{i=1\ldots s;j=1\ldots r} \in \R^{s\times r}</math> dan <math>B = (b_{j,k})_{j=1\ldots r;k=1\ldots t}\in \R^{r\times t}</math>
darab
:<math>B \cdot A = \left( \sum_{j=1}^r a_{i,j} \cdot b_{j,k} \right)_{i=1\ldots s;k=1\ldots t} \;\in\R^{s\times t}</math>
===
Ada hubungan antara komposisi fungsi
<math>\mathcal U = \{u_1, \ldots, u_r\}</math> menjadi [[basis (aljabar linear)|basis]] dari U,
<math>\mathcal V = \{v_1, \ldots, v_s\}</math>
<math>\mathcal W = \{w_1, \ldots, w_t\}</math> menjadi
<math>A = M^{\mathcal U}_{\mathcal V}(f) \in \R^{s\times r}</math>
menjadi matriks yang mewakili f : U → V
<math>B = M^{\mathcal V}_{\mathcal W}(g) \in \R^{r\times t}</math>
menjadi matriks yang mewakili g : V → W.
:<math>B\cdot A = M^{\mathcal U}_{\mathcal W} (g \circ f) \in \R^{s\times t}</math>
Baris 209 ⟶ 207:
adalah matriks yang mewakili <math>g \circ f : U \rightarrow W</math>.
Dengan kata lain:
===Darab
{{main|
Diberikan dua ruang vektor berdimensi
:<math>V \otimes W(v, m) = V(v) W(w), \forall v \in V^*, \forall w \in W^*,</math>
dimana ''V<sup>*</sup>'' dan ''W<sup>*</sup>'' menunjukkan [[
Untuk ruang vektor
* [[Darab
* [[Darab tensor topologi]].
===
Secara umum, setiap
===
Jenis darab lain dalam aljabar
* [[Darab Hadamard (matriks)|Darab Hadamard]]
Baris 234 ⟶ 232:
* Darab dari [[tensor]]:
** [[Aljabar eksterior|Darab baji atau darab eksterior]]
** [[Darab
** [[Darab luar]]
** [[
==Darab Kartesius==
Dalam [[teori himpunan]], [[
Kelas
==Darab kosong==
[[Darab kosong]] pada bilangan dan sebagian besar [[struktur aljabar]] bernilai 1 (elemen identitas perkalian), sama seperti [[jumlah kosong]] memiliki nilai 0 (elemen identitas tambahan). Namun, konsep dara kosong lebih umum, dan memerlukan perlakuan khusus dalam [[logika]], [[teori himpunan]], [[pemrograman komputer]] dan [[teori kategori]].
==Darab atas struktur aljabar lainnya==
Darab atas jenis [[struktur aljabar]] lainnya meliputi:
* [[darab Cartesian]] dari himpunan
* [[darab langsung grup]], dan juga [[darab setengah langsung]], [[darab rajutan]] dan [[darab karangan bunga]]
* [[darab bebas]] dari grup
* [[darab gelanggang]]
* [[ranah darab]]
* [[topologi darab|darab ruang topologi]]<ref name=":0" />
* [[darab sumbu]] dari [[variabel acak]]
* [[darab cap|cap]], [[darab cangkir|cangkir]], [[darab Massey|Massey]] dan [[darab miring]] dalam topologi aljabar
* [[darab hancur]] dan [[jumlah sisi]] (terkadang disebut wedge product) di [[homotopi]]
Beberapa darab atas adalah contoh gagasan umum tentang [[darab internal]] dalam [[kategori monoid]]; sisanya dapat dijelaskan dengan gagasan umum tentang [[darab (teori kategori)|darab dalam teori kategori]].
==Darab
Semua contoh sebelumnya adalah kasus khusus atau contoh pengertian umum dari suatu darab. Untuk perlakuan umum pada konsep darab, lihat [[darab (teori kategori)]], yang menjelaskan cara menggabungkan dua [[objek (teori kategori)|objek]] dari beberapa jenis untuk membuat objek, mungkin dari jenis yang berbeda. Namun juga, dalam teori kategori, apabila memiliki:
▲Dalam [[teori himpunan]], [[perkalian kartesius]] adalah [[operasi matematika]] yang mengembalikan [[himpunan (matematika)|himpunan]] (atau '''himpunan darab''') dari beberapa himpunan. Yaitu, untuk himpunan ''A'' dan ''B'', darab kartesius {{nowrap|''A'' × ''B''}} adalah himpunan dari semua [[pasangan terurut]] {{nowrap|(a, b)}} dimana {{nowrap|a ∈ ''A''}} dan {{nowrap|b ∈ ''B''}}.<ref>{{cite book|last1=Moschovakis|first1=Yiannis|title=Notes on set theory|url=https://archive.org/details/notesonsettheory00mosc_805|date=2006|publisher=Springer|location=New York|isbn=0387316094|page=[https://archive.org/details/notesonsettheory00mosc_805/page/n25 13]|edition=2nd}}</ref>
* [[darab serat]] atau halangan,
* [[kategori darab]], kategori yang merupakan darab dari kategori.
* [[ultradarab]], dalam [[teori model]].
* [[darab dalam]] dari [[kategori monoid]], yang menangkap esensi darab tensor.
==Darab lainnya==
▲Kelas dari semua benda (dari [[teori tipe|tipe]]) tertentu yang memiliki hasilkali Kartesius disebut [[kategori monoidal kartesius|kategori kartesius]]. Banyak di antaranya adalah [[Kategori tertutup kartesius]]. Himpunan adalah contoh dari objek tersebut.
* Sebuah [[darab integral]] yang sebagai fungsi ekuivalen kontinu dengan produk barisan atau sebagai versi perkalian dari integral normal/standar/aditif. Darab integral juga dikenal sebagai "darab kontinu" atau "kali".
* [[Perkalian kompleks]], teori kurva eliptik.
== Lihat pula ==
* {{annotated link|
* [[Darab
* [[
* {{annotated link|Operasi biner berulang}}
* {{annotated link|Perkalian}}
Baris 254 ⟶ 280:
{{Notelist}}
==
{{Reflist}}
==
*{{Jarchow Locally Convex Spaces}}
{{DEFAULTSORT:
[[Kategori:Perkalian]]
|