Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/18: Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], '''strip Möbius''' atau '''pita''' '''Möbius''' adalah suatusebuah [[Permukaan (topologi)|permukaan]] yang dapat dibentuk dengan menempel ujung pita tersebut dengan memutarnya sebagian. Sebagai sebuah objek matematika, pita ini ditemukan oleh [[Johann Benedict Listing]] dan [[August Ferdinand Möbius]] pada tahun 1858, namuntetapi pita ini sudah munculditemukan di mosaik [[Romawi Kuno|Roman]] pada abad ketiga masehi. Strip Möbius merupakan permukaan yang [[Keterarahkan|tidaktak dapat diarahkanterarahkan]] (atau permukaantidak takterarahkandapat diarahkan), dalam artian bahwa dalam pita tersebut tidak selalu dapat membedakan [[arah jarum jam]] dengan arah sebaliknya. Setiap permukaan yang tidak dapat diarahkan memuatmengandung sebuah strip Möbius.

Karena berupakan [[ruang topologis]] yang abstrak, strip Möbius dapat dibenamkan menjadi [[ruang Euklides]] berdimensi tiga dalam berbagai cara: sebuah pita yang diputar setengah dengan arah jarum jam berbeda dengan yang diputar setengah dengan arah yang berlawanan, dan strip Möbius dapat dibenamkan dengan jumlah putaran ganjil yang lebih besar dari satu, atau dengan garis tengah yang [[Buhul (matematika)|dibuhul]]. Secara topologis dikatakan [[Isotopi sekitar|ekuivalen]] apabilajika setiap dua pembenaman dengan buhul dalam garis tengah dan jumlah arah putaran yang sama. Semua pembenaman pada strip Möbius hanya memiliki satu sisi, namun pita dapat mempunyai dua sisi bila dibenamkan dalam ruang lain. Pita ini hanya mempunyai sebuah [[Batas (topologi)|kurva batas]] yang tunggal.

Ada beberapa konstruksi geometris strip Möbius yang menyediakannya dengan struktur tambahan. Pita tersebut dapat disapu sebagai permukaan bergaris dengan memutar ruas garis di sebuah bidang yang berputar, dengan atau tanpa menyilang dirinya sendiri. Secarik kertas yang tipis dengan ujungnya yang ditempelkan agar membentuk sebuah strip Möbius dapat dibelokkan dengan lancar sebagai secarik kertas dengan [[Permukaan terkembangkan|permukaan yang dapat dikembangkan]] atau dengan [[Matematika tentang lipatan kertas#Lipatan rata|rata yang terlipat]] (contoh mengenai strip Möbius yang diratakan, seperti [[Fleksagon|triheksafleksagon]]). Strip Möbius Sudan merupakan sebuah permukaan minimal dalam sebuah hiperbola, dan strip Möbius Meeks merupakan permukaan minimal yang memotong diri sendiri dalam ruang Euklides biasa. Strip Möbius Sudan dan strip Möbius yang memotong diri sendiri lainnya (yaitu [[Pita Möbius#Membuat lingkar batas|''cross-cap'']]), mempunyai batas yang melingkar. Sebuah strip Möbius tanpa adanya batas (disebut strip Möbius terbuka) dapat membentuk permukaan dari kurva konstanta. Ruang yang sangat simetris dengan titik-titiknya mewakili garis di bidang mempunyai bentuk strip Möbius.

Penemuan strip Möbius sebagai objek matematika dihubungkandikaitkan dengan matematikawan Jerman [[Johann Benedict Listing]] dan [[August Ferdinand Möbius]] secara terpisah pada tahun {{nowrap|1858.{{r|pickover}}}} Akan tetapi, pita öbiusiMöbius sudah dtkenal sejak lama sebagai benda fisik dan gambaran artistik. Strip Möbius khususnya dapat dilihat dalam berbagai mosaik Roma pada {{nowrap|abad ketiga masehi.{{r|roman|ancient}}}} Pada umumnya, mosaik tersebut hanya menggambarkan pita yang bergelung sebagai batasnya. Ketika jumlah gelungnya adalah ganjil, pita-pita tersebut merupakan strip Möbius, namuntetapi bilajika jumlahnya adalah genap, pita-pita tersebut secara topologis ekuivalen dengan [[Anulus (matematika)|gelanggang yang tidaktak diputarterpilin]]. Karena itu, pita yang merupakan strip Möbius hanyalah kebetulan, bukan dipilih dengan sengaja. PadaSetidaknya setidaknyaada satu buah kasus<u>,</u> sebuah pita dengan warna yang berbedalain pada sisi yang berbeda digambar dengan putaran gelung yang berjumlahkan ganjil<u>,</u> <u>forcingmemaksa itspelukis artistsehingga tomengakibatkan makekecerobohan, ayakni clumsywarna-warna fixpada atsisi thepita point where the colors did notmenjadi {{nowrap|matchtak upsesuai.{{r|roman}}}}</u> Mosaik lain yang berasal dari kota [[Sentinum]] memperlihatkan gambar seorang dewa [[Aion (dewa)|Aion]] sedang memegang [[zodiak]] sebagai pita yang hanya dengan setengah putaran. Tidak ada bukti jelas yang memihakmengatakan bahwa representasi visual mengenaikesepihakan <u>celestialdari timewaktu wasbenda intentional</u>;alam dibuat dengan sengaja, melainkan representasi itu hanya dapat dipilih sebagai cara untuk membuat semua lambang zodiak muncul pada sisi pita yang terlihat. Ada juga yang mengatakan bahwa beberapa gambaran kuno seperti gambar [[ouroboros]] atau hiasan berbentuk [[Lemniskat|angka delapan]] menggambarkan strip Möbius, namuntetapi belummaksud jelas apakahdari strip Möbius bermaksudyang untuk menggambarmenggambarkan segalasebarang jenis pita yang rata atau bukan masih belum {{nowrap|tidakjelas.{{r|ancient}}}}

Strip Möbius mempunyai beberapa sifat yang aneh. Strip Möbius merupakan [[Keterarahkan|permukaan takterarahkan]], yang berarti bahwa jika sebuah benda dimensi dua asimetris yang meluncur sekali di sekitar pita tersebut, maka benda tersebut kembali ke posisi semula dengan bentuk yang tercermin. Khususnya, sebuah kurva dengan panah yang mengarah ke jarum jam (↻) akan kembali ketika sebuah panah yang mengarah ke arah jarum jam yang berlawanan (↺). Hal ini menyiratkan bahwa dalam strip Möbius mustahil untuk selalu menentukan apakah benda mengarah ke jarum jam atau sebaliknya. Strip Möbius merupakan permukaan takterarahkan yang sederhana, yang mengatakan bahwa setiap permukaan lain adalah takterarahkan jika dan hanya jika permukaan tersebut mempunyai strip Möbius sebagai {{nowrap|subhimpunan.{{r|chirality}}}} <u>Relatedly</u>,Hal ketikaini pembenamannyaberkaitan menjadi [[ruang Euklides]],dengan strip Möbius yang hanya mempunyai satu sisi ketika dibenamkan menjadi [[ruang Euklides]]. Sebuah benda tiga dimensi yang berjalan sekali di sekitar permukaan strip tersebut tidak tercermin, melainkan kembali ke titik yang sama yang muncul di sisi lain. Karena itu, sifat tersebut memperlihatkan bahwa kedua posisinya hanya merupakan bagian dari satu sisi pada strip tersebut. Perilaku pada strip ini berbeda dengan [[permukaan terarahkan]] yang terkenal dalam tiga dimensi seperti strip yang dimodelkan dengan lembaran kertas yang rata, sedotan minuman yang berbentuk tabung, atau bola berongga, yangdengan satu suatubuah sisi permukaannya tidak terhubung dengan yang lain.{{sfnp|Pickover|2005|pp=8–9}} NamunAkan tetapi, perilaku tersebut merupakan sifat pembenaman strip tersebut yang menjadi ruang, bukan sebuah sifat intristik dari strip Möbius sendiri yang mengatakan terdapat ruang topologis lain yang strip Möbius dapat dibenamkan sehingga mempunyai dua {{nowrap|sisi.{{r|woll}}}} Sebagai contoh, jika wajahmuka kubus di depan dan di belakang ditempelkan ke satu sama lain dengan mencerminkan sebelah kiri dan sebelah kanan, maka hasilnya berupakanberbentuk sebuah ruang topologis tiga dimensi tiga (yaitu, [[darab Cartesius]] suatudari strip Möbius dengan sebuah interval) yang bagian atas dan bawah kubus dapat dipisah dari satu sama lain dengan dua sisi pada strip {{nowrap|Möbius.{{efn|Essentially this example, but for a [[Klein bottle]] rather than a Möbius strip, is given by {{harvtxt|Blackett|1982}}.{{r|blackett}}}}}} In contrast to disks, spheres, and cylinders, for which it is possible to simultaneously embed an [[uncountable set]] of [[Disjoint sets|disjoint]] copies into three-dimensional space, only a countable number of Möbius strips can be simultaneously {{nowrap|embedded.{{r|frolkina|defy|melikhov}}}}

Ada berbagai cara dalam mendefinisikan permukaan geometris melalui strip Möbius dalam topologi yang meneghasilkanmeghasilkan realisasi dengan sifat-sifat geometris tambahan.

[[Berkas:Plucker's conoid (n=2).gif|jmpl|[[Konoid Plücker]] disapu dengan gerakan suatuberbeda ruasdari garissebuah yangruas berbedagaris.]]

Cara agar membenamkan strip Möbius dalam ruang Euklides berdimensi tiga adalah dengan menyapu melalui sebuah ruas garis yang memutar di sebuah bidang, yang berputar di sekitar salah satu {{nowrap|garisnya.{{r|maschke}}}} Dalam menyapu suatu permukaan agar bertemu di titik awal setelah melakukan setengah putaran, ruas garisnya memutar di sekitar pusatnya di bidang yang memutar dengan setengah kecepatan sudut. Hal ini dapat dinyatakan sebagai sebuah [[permukaan parametrik]] yang didefinisikanterdefinisi melalui persamaan untuk [[koordinat Kartesius]] dari titiknya,<math display="block">

\end{align}</math>untuk <math>0 \le u< 2\pi</math> dan {{nowrap|<math>-1 \le v\le 1</math>,}} dimanadengan sebuah parameter <math>u</math> menyatakan sudut putaran bidang di sekitar sumbu pusat dan parameter {{nowrap|<math>v</math>}} menyatakan posisi suatu titik di sepanjang ruas garis yang berputar. Hal ini menghasilkan sebuah strip Möbius dengan lebarnya 1, yang pusat lingkarannya mempunyai jari-jari 1, terletak di bidang-<math>xy</math> dan berpusat di {{nowrap|<math>(0, 0, 0)</math>.{{r|parameterization}}}} Metode yang sama dapat menghasilkan strip Möbius dengan setiap setengah putaran yang berjumlahkan ganjil, dengan memutar ruas garis lebih cepat di bidang tersebut. The rotating segment sweeps out a circular disk in the plane that it rotates within, and the Möbius strip that it generates forms a slice through the [[solid torus]] swept out by this disk. Because of the one-sidedness of this slice, the sliced torus remains {{nowrap|connected.{{r|split-tori}}}}

| caption1 = Dengan menempelkan dua strip Möbius, akan membentuk sebuah botol Klein

Secara topologis, tepi atau [[Batas (topologi)|batas]] suatudari strip Möbius [[Homeomorfik|ekuivalen]] dengan sebuah [[circle|lingkaran]]. Dalam bentuk strip Möbius yang umum, batasnya mempunyai bentuk dari lingkaran yang berbeda, namuntetapi batasnya merupakan strip yang [[Unknot|tidaktak dibuhul]],. andOleh thereforesebab theitu, wholeseluruh permukaan strip candapat beditarik stretchedtanpa withoutberpotongan crossingdiri itselfagar totepinya makemenjadi themelingkar edge perfectlydengan {{nowrap|circularsempurna.{{r|hilbert-cohn-vossen}}}} OneContoh suchtersebut exampledidasari is based on the topology of thepada [[botol Klein bottle]], asebuah one-sidedpermukaan surfacesepihak withtanpa nobatas boundaryyang thattidak cannotdapat bedibenamkan embeddedmenjadi intoruang three-dimensionaldimensi spacetiga, buttetapi can bedapat [[ImmersionCelupan (mathematicsmatematika)|immerseddicelup]] (allowing theyang surfacedapat tomembuat crosspermukaan itselfberpotongan indiri certainmelalui restrictedcara waysterbatas). ABotol Klein bottleadalah ispermukaan theyang surfacedapat thatdihasilkan resultsketika whenada twodua buah strip Möbius stripsditempelkan aredari gluedtepi togetherke edge-to-edgetepi, and{{snd}}reversingdan thatdengan process{{snd}}amembalikkan Kleinproses bottletersebut, cansebuah bebotol slicedKlein alongdapat adiiris carefullydi chosensepanjang cutbagian toyang producedipotong twosehingga Möbiusmenghasilkan dua buah pita {{nowrap|stripsMöbius.{{r|spivak}}}} ForKurva ayang formdiiris ofdi thesepanjang Kleinbentuk bottledari known as Lawson'sbotol Klein bottle,yang thedikenal curvesebagai alongbotol whichKlein itLawson isdapat sliceddibuat canmenjadi be made circularmelingkar, resultingsehingga inmenghasilkan strip Möbius strips withdengan circulartepi yang {{nowrap|edgesmelingkar.{{r|ddg}}}}

Lawson'sBotol Klein bottleLawson is a self-crossingadalah [[minimalpermukaan surfaceminimal]] inyang themenyilang diri dalam [[unithiperbola hyperspheresatuan]] ofdari 4-dimensionalruang space,dimensi theempat. setBentuk oftersebut pointsmempunyai ofhimpunan the formtitik<math display="block">(\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,\cos2\theta\sin\phi,\sin2\theta\sin \phi)</math>foruntuk {{nowrap|<math>0\le\theta<\pi,0\le\phi<2\pi</math>.{{r|lawson}}}} HalfSetengah ofdari thisbotol Klein bottletersebut, thesubhimpunan subset withdengan <math>0\le\phi<\pi</math>, givesmemberikan asebuah strip Möbius stripyang embeddeddibenamkan indalam thebentuk hyperspherehiperbola assebagai apermukaan minimal surfacedengan withbatasnya ayang berupa {{nowrap|[[greatlingkaran circlebesar]] as its {{nowrap|boundary.{{r|schleimer-segerman}}}} ThisPembenaman embeddingitu isterkadang sometimes called thedisebut "Sudanesestrip Möbius stripSudan", dinamai dari ahli aftertopologi topologistsbernama Sue Goodman anddan Daniel Asimov, whoyang discoveredmenemukannya itpada in thetahun {{nowrap|1970s1970-an.{{r|sudanese}}}} Geometrically, Lawson's Klein bottle can be constructed by sweeping a great circle through a great-circular motion in the 3-sphere, and the Sudanese Möbius strip is obtained by sweeping a semicircle instead of a circle, or equivalently by slicing the Klein bottle along a circle that is perpendicular to all of the swept {{nowrap|circles.{{r|ddg|franzoni}}}} [[Stereographic projection]] transforms this shape from a three-dimensional spherical space into three-dimensional Euclidean space, preserving the circularity of its {{nowrap|boundary.{{r|ddg}}}} The most symmetric projection is obtained by using a projection point that lies on that great circle that runs through the midpoint of each of the semicircles, but produces an unbounded embedding with the projection point removed from its {{nowrap|centerline.{{r|schleimer-segerman}}}} Instead, leaving the Sudanese Möbius strip unprojected, in the 3-sphere, leaves it with an infinite group of symmetries isomorphic to the [[orthogonal group]] {{nowrap|<math>\mathrm{O}(2)</math>,}} the group of symmetries of a {{nowrap|circle.{{r|lawson}}}}