|
[[Berkas:Möbius_strip.jpg|ka|jmpl|Sebuah strip Möbius yang terbuat dari kertas dan plester.]]
Dalam [[matematika]], '''strip Möbius''' atau '''pita''' '''Möbius''' adalah suatusebuah [[Permukaan (topologi)|permukaan]] yang dapat dibentuk dengan menempel ujung pita tersebut dengan memutarnya sebagian. Sebagai sebuah objek matematika, pita ini ditemukan oleh [[Johann Benedict Listing]] dan [[August Ferdinand Möbius]] pada tahun 1858, namuntetapi pita ini sudah munculditemukan di mosaik [[Romawi Kuno|Roman]] pada abad ketiga masehi. Strip Möbius merupakan permukaan yang [[Keterarahkan|tidaktak dapat diarahkanterarahkan]] (atau permukaantidak takterarahkandapat diarahkan), dalam artian bahwa dalam pita tersebut tidak selalu dapat membedakan [[arah jarum jam]] dengan arah sebaliknya. Setiap permukaan yang tidak dapat diarahkan memuatmengandung sebuah strip Möbius.
Karena berupakan [[ruang topologis]] yang abstrak, strip Möbius dapat dibenamkan menjadi [[ruang Euklides]] berdimensi tiga dalam berbagai cara: sebuah pita yang diputar setengah dengan arah jarum jam berbeda dengan yang diputar setengah dengan arah yang berlawanan, dan strip Möbius dapat dibenamkan dengan jumlah putaran ganjil yang lebih besar dari satu, atau dengan garis tengah yang [[Buhul (matematika)|dibuhul]]. Secara topologis dikatakan [[Isotopi sekitar|ekuivalen]] jika setiap dua pembenaman dengan buhul dalam garis tengah dan jumlah arah putaran yang sama. Semua pembenaman pada strip Möbius hanya memiliki satu sisi, namun pita dapat mempunyai dua sisi bila dibenamkan dalam ruang lain. Pita ini hanya mempunyai sebuah [[Batas (topologi)|kurva batas]] yang tunggal.
| caption2 = Lukisan oleh [[Ismail al-Jazari]] (1206), yang menggambarkan [[pompa rantai]] dengan rantai penggerak Möbius.
}}
Penemuan strip Möbius sebagai objek matematika dikaitkan dengan matematikawan Jerman [[Johann Benedict Listing]] dan [[August Ferdinand Möbius]] secara terpisah pada tahun {{nowrap|1858.{{r|pickover}}}} Akan tetapi, pita Möbius sudah dtkenal sejak lama sebagai benda fisik dan gambaran artistik. Strip Möbius khususnya dapat dilihat dalam berbagai mosaik Roma pada {{nowrap|abad ketiga masehi.{{r|roman|ancient}}}} Pada umumnya, mosaik tersebut hanya menggambarkan pita yang bergelung sebagai batasnya. Ketika jumlah gelungnya ganjil, pita-pita tersebut merupakan strip Möbius, tetapi jika jumlahnya genap, pita-pita tersebut secara topologis ekuivalen dengan [[Anulus (matematika)|gelanggang tak terpilin]]. Karena itu, pita yang merupakan strip Möbius hanyalah kebetulan, bukan dipilih dengan sengaja. Setidaknya ada satu buah kasus<u>,</u> sebuah pita dengan warna lain pada sisi yang berbeda digambar dengan putaran gelung yang berjumlahkan ganjil., memaksa pelukis sehingga mengakibatkan kecerobohan, yakni warna-warna pada sisi pita menjadi {{nowrap|tak sesuai.{{r|roman}}}} Mosaik lain yang berasal dari kota [[Sentinum]] memperlihatkan gambar seorang dewa [[Aion (dewa)|Aion]] sedang memegang [[zodiak]] sebagai pita yang hanya dengan setengah putaran. Tidak ada bukti jelas yang mengatakan bahwa representasi visual kesepihakan dari waktu benda alam dibuat dengan sengaja, melainkan representasi itu hanya dapat dipilih sebagai cara untuk membuat semua lambang zodiak muncul pada sisi pita yang terlihat. Ada juga yang mengatakan bahwa beberapa gambaran kuno seperti gambar [[ouroboros]] atau hiasan berbentuk [[Lemniskat|angka delapan]] menggambarkan strip Möbius, tetapi belum jelas maksud dari strip Möbius bermaksudyang untukmenggambarkan menggambar segalasebarang jenis pita yang rata atau bukan masih belum {{nowrap|tidakjelas.{{r|ancient}}}}
Independently of the mathematical tradition, machinists have long known that [[Belt (mechanical)|mechanical belts]] wear half as quickly when they form Möbius strips, because they use the entire surface of the belt rather than only the inner surface of an untwisted belt.{{r|roman}} Additionally, such a belt may be less prone to curling from side to side. An early written description of this technique dates to 1871, which is after the first mathematical publications regarding the Möbius strip. Much earlier, an image of a [[chain pump]] in a work of [[Ismail al-Jazari]] from 1206 depicts a Möbius strip configuration for its drive {{nowrap|chain.{{r|ancient}}}} Another use of this surface was made by seamstresses in Paris (at an unspecified date): they initiated novices by requiring them to stitch a Möbius strip as a collar onto a {{nowrap|garment.{{r|roman}}}}
== Sifat-sifat ==
[[Berkas:Fiddler_crab_mobius_strip.gif|kiri|jmpl|Sebuah objek dua dimensi bergerak melintang sekali disekitar strip Möbius dan kembali ke posisi semula dalam bentuk yang tercermin.|309x309px]]
Strip Möbius mempunyai beberapa sifat yang aneh. Strip Möbius merupakan [[Keterarahkan|permukaan takterarahkan]], yang berarti bahwa jika sebuah benda dimensi dua asimetris yang meluncur sekali di sekitar pita tersebut, maka benda tersebut kembali ke posisi semula dengan bentuk yang tercermin. Khususnya, sebuah kurva dengan panah yang mengarah ke jarum jam (↻) akan kembali ketika sebuah panah yang mengarah ke arah jarum jam yang berlawanan (↺). Hal ini menyiratkan bahwa dalam strip Möbius mustahil untuk selalu menentukan apakah benda mengarah ke jarum jam atau sebaliknya. Strip Möbius merupakan permukaan takterarahkan yang sederhana, yang mengatakan bahwa setiap permukaan lain adalah takterarahkan jika dan hanya jika permukaan tersebut mempunyai strip Möbius sebagai {{nowrap|subhimpunan.{{r|chirality}}}} <u>Relatedly</u>,Hal ketikaini pembenamannyaberkaitan menjadi [[ruang Euklides]],dengan strip Möbius yang hanya mempunyai satu sisi ketika dibenamkan menjadi [[ruang Euklides]]. Sebuah benda tiga dimensi yang berjalan sekali di sekitar permukaan strip tersebut tidak tercermin, melainkan kembali ke titik yang sama yang muncul di sisi lain. Karena itu, sifat tersebut memperlihatkan bahwa kedua posisinya hanya merupakan bagian dari satu sisi pada strip tersebut. Perilaku pada strip ini berbeda dengan [[permukaan terarahkan]] yang terkenal dalam tiga dimensi seperti strip yang dimodelkan dengan lembaran kertas yang rata, sedotan minuman yang berbentuk tabung, atau bola berongga, yangdengan satu suatubuah sisi permukaannya tidak terhubung dengan yang lain.{{sfnp|Pickover|2005|pp=8–9}} NamunAkan tetapi, perilaku tersebut merupakan sifat pembenaman strip tersebut yang menjadi ruang, bukan sebuah sifat intristik dari strip Möbius sendiri yang mengatakan terdapat ruang topologis lain yang strip Möbius dapat dibenamkan sehingga mempunyai dua {{nowrap|sisi.{{r|woll}}}} Sebagai contoh, jika wajahmuka kubus di depan dan di belakang ditempelkan ke satu sama lain dengan mencerminkan sebelah kiri dan sebelah kanan, maka hasilnya berupakanberbentuk sebuah ruang topologis tiga dimensi tiga (yaitu, [[darab Cartesius]] suatudari strip Möbius dengan sebuah interval) yang bagian atas dan bawah kubus dapat dipisah dari satu sama lain dengan dua sisi pada strip {{nowrap|Möbius.{{efn|Essentially this example, but for a [[Klein bottle]] rather than a Möbius strip, is given by {{harvtxt|Blackett|1982}}.{{r|blackett}}}}}} In contrast to disks, spheres, and cylinders, for which it is possible to simultaneously embed an [[uncountable set]] of [[Disjoint sets|disjoint]] copies into three-dimensional space, only a countable number of Möbius strips can be simultaneously {{nowrap|embedded.{{r|frolkina|defy|melikhov}}}}
A path along the edge of a Möbius strip, traced until it returns to its starting point on the edge, includes all boundary points of the Möbius strip in a single continuous curve. For a Möbius strip formed by gluing and twisting a rectangle, it has twice the length of the centerline of the strip. In this sense, the Möbius strip is different from an untwisted ring and like a circular disk in having only one {{nowrap|boundary.{{sfnp|Pickover|2005|pp=8–9}}}} A Möbius strip in Euclidean space cannot be moved or stretched into its mirror image; it is a [[Chirality (mathematics)|chiral]] object with right- or {{nowrap|left-handedness.{{sfnp|Pickover|2005|p=52}}}} Möbius strips with odd numbers of half-twists greater than one, or that are knotted before gluing, are distinct as embedded subsets of three-dimensional space, even though they are all equivalent as two-dimensional topological {{nowrap|surfaces.{{sfnp|Pickover|2005|p=12}}}} More precisely, two Möbius strips are equivalently embedded in three-dimensional space when their centerlines determine the same knot and they have the same number of twists as each {{nowrap|other.{{r|kyle}}}} With an even number of twists, however, one obtains a different topological surface, called the {{nowrap|[[Annulus (mathematics)|annulus]].{{sfnp|Pickover|2005|p=11}}}}
== Konstruksi ==
Ada berbagai cara dalam mendefinisikan permukaan geometris melalui strip Möbius dalam topologi yang meneghasilkanmeghasilkan realisasi dengan sifat-sifat geometris tambahan.
=== Menyapu sebuah ruas garis ===
[[Berkas:Mobius strip.gif|jmpl|200x200px|Sebuah strip Möbius disapu dengan memutar ruas garis dalam sebuah bidang putaran.]]
[[Berkas:Plucker's conoid (n=2).gif|jmpl|[[Konoid Plücker]] disapu dengan gerakan suatuberbeda ruasdari garissebuah yangruas berbedagaris.]]
Cara agar membenamkan strip Möbius dalam ruang Euklides berdimensi tiga adalah dengan menyapu melalui sebuah ruas garis yang memutar di sebuah bidang, yang berputar di sekitar salah satu {{nowrap|garisnya.{{r|maschke}}}} Dalam menyapu suatu permukaan agar bertemu di titik awal setelah melakukan setengah putaran, ruas garisnya memutar di sekitar pusatnya di bidang yang memutar dengan setengah kecepatan sudut. Hal ini dapat dinyatakan sebagai sebuah [[permukaan parametrik]] yang didefinisikanterdefinisi melalui persamaan untuk [[koordinat Kartesius]] dari titiknya,<math display="block">
\begin{align}
x(u,v)&= \left(1+\frac{v}{2} \cos \frac{u}{2}\right)\cos u\\
y(u,v)&= \left(1+\frac{v}{2} \cos\frac{u}{2}\right)\sin u\\
z(u,v)&= \frac{v}{2}\sin \frac{u}{2}\\
\end{align}</math>untuk <math>0 \le u< 2\pi</math> dan {{nowrap|<math>-1 \le v\le 1</math>,}} dimanadengan sebuah parameter <math>u</math> menyatakan sudut putaran bidang di sekitar sumbu pusat dan parameter {{nowrap|<math>v</math>}} menyatakan posisi suatu titik di sepanjang ruas garis yang berputar. Hal ini menghasilkan sebuah strip Möbius dengan lebarnya 1, yang pusat lingkarannya mempunyai jari-jari 1, terletak di bidang-<math>xy</math> dan berpusat di {{nowrap|<math>(0, 0, 0)</math>.{{r|parameterization}}}} Metode yang sama dapat menghasilkan strip Möbius dengan setiap setengah putaran yang berjumlahkan ganjil, dengan memutar ruas garis lebih cepat di bidang tersebut. The rotating segment sweeps out a circular disk in the plane that it rotates within, and the Möbius strip that it generates forms a slice through the [[solid torus]] swept out by this disk. Because of the one-sidedness of this slice, the sliced torus remains {{nowrap|connected.{{r|split-tori}}}}
A line or line segment swept in a different motion, rotating in a horizontal plane around the origin as it moves up and down, forms [[Plücker's conoid]] or cylindroid, an algebraic [[ruled surface]] in the form of a self-crossing Möbius {{nowrap|strip.{{r|francis}}}} It has applications in the design of {{nowrap|[[gear]]s.{{r|dooner-seirig}}}}
| total_width = 480
| image1 = Mobius to Klein.gif
| caption1 = Dengan menempelkan dua strip Möbius, akan membentuk sebuah botol Klein
| image2 = MobiusStrip-02.png
| caption2 = Sebuah proyeksi dari strip Möbius Sudan
}}
Secara topologis, tepi atau [[Batas (topologi)|batas]] suatudari strip Möbius [[Homeomorfik|ekuivalen]] dengan sebuah [[circle|lingkaran]]. Dalam bentuk strip Möbius yang umum, batasnya mempunyai bentuk dari lingkaran yang berbeda, namuntetapi batasnya merupakan strip yang [[Unknot|tidaktak dibuhul]],. andOleh thereforesebab theitu, wholeseluruh permukaan strip candapat beditarik stretchedtanpa withoutberpotongan crossingdiri itselfagar totepinya makemenjadi themelingkar edge perfectlydengan {{nowrap|circularsempurna.{{r|hilbert-cohn-vossen}}}} OneContoh suchtersebut exampledidasari is based on the topology of thepada [[botol Klein bottle]], asebuah one-sidedpermukaan surfacesepihak withtanpa nobatas boundaryyang thattidak cannotdapat bedibenamkan embeddedmenjadi intoruang three-dimensionaldimensi spacetiga, buttetapi can bedapat [[ImmersionCelupan (mathematicsmatematika)|immerseddicelup]] (allowing theyang surfacedapat tomembuat crosspermukaan itselfberpotongan indiri certainmelalui restrictedcara waysterbatas). ABotol Klein bottleadalah ispermukaan theyang surfacedapat thatdihasilkan resultsketika whenada twodua buah strip Möbius stripsditempelkan aredari gluedtepi togetherke edge-to-edgetepi, and{{snd}}reversingdan thatdengan process{{snd}}amembalikkan Kleinproses bottletersebut, cansebuah bebotol slicedKlein alongdapat adiiris carefullydi chosensepanjang cutbagian toyang producedipotong twosehingga Möbiusmenghasilkan dua buah pita {{nowrap|stripsMöbius.{{r|spivak}}}} ForKurva ayang formdiiris ofdi thesepanjang Kleinbentuk bottledari known as Lawson'sbotol Klein bottle,yang thedikenal curvesebagai alongbotol whichKlein itLawson isdapat sliceddibuat canmenjadi be made circularmelingkar, resultingsehingga inmenghasilkan strip Möbius strips withdengan circulartepi yang {{nowrap|edgesmelingkar.{{r|ddg}}}}
Lawson'sBotol Klein bottleLawson is a self-crossingadalah [[minimalpermukaan surfaceminimal]] inyang themenyilang diri dalam [[unithiperbola hyperspheresatuan]] ofdari 4-dimensionalruang space,dimensi theempat. setBentuk oftersebut pointsmempunyai ofhimpunan the formtitik<math display="block">(\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,\cos2\theta\sin\phi,\sin2\theta\sin \phi)</math>foruntuk {{nowrap|<math>0\le\theta<\pi,0\le\phi<2\pi</math>.{{r|lawson}}}} HalfSetengah ofdari thisbotol Klein bottletersebut, thesubhimpunan subset withdengan <math>0\le\phi<\pi</math>, givesmemberikan asebuah strip Möbius stripyang embeddeddibenamkan indalam thebentuk hyperspherehiperbola assebagai apermukaan minimal surfacedengan withbatasnya ayang berupa {{nowrap|[[greatlingkaran circlebesar]] as its {{nowrap|boundary.{{r|schleimer-segerman}}}} ThisPembenaman embeddingitu isterkadang sometimes called thedisebut "Sudanesestrip Möbius stripSudan", dinamai dari ahli aftertopologi topologistsbernama Sue Goodman anddan Daniel Asimov, whoyang discoveredmenemukannya itpada in thetahun {{nowrap|1970s1970-an.{{r|sudanese}}}} Geometrically, Lawson's Klein bottle can be constructed by sweeping a great circle through a great-circular motion in the 3-sphere, and the Sudanese Möbius strip is obtained by sweeping a semicircle instead of a circle, or equivalently by slicing the Klein bottle along a circle that is perpendicular to all of the swept {{nowrap|circles.{{r|ddg|franzoni}}}} [[Stereographic projection]] transforms this shape from a three-dimensional spherical space into three-dimensional Euclidean space, preserving the circularity of its {{nowrap|boundary.{{r|ddg}}}} The most symmetric projection is obtained by using a projection point that lies on that great circle that runs through the midpoint of each of the semicircles, but produces an unbounded embedding with the projection point removed from its {{nowrap|centerline.{{r|schleimer-segerman}}}} Instead, leaving the Sudanese Möbius strip unprojected, in the 3-sphere, leaves it with an infinite group of symmetries isomorphic to the [[orthogonal group]] {{nowrap|<math>\mathrm{O}(2)</math>,}} the group of symmetries of a {{nowrap|circle.{{r|lawson}}}}
[[Berkas:Cross-cap_level_sets.svg|jmpl|Schematic depiction of a cross-cap with an open bottom, showing its [[Level set|level sets]]. This surface crosses itself along the vertical line segment.]]
The Sudanese Möbius strip extends on all sides of its boundary circle, unavoidably if the surface is to avoid crossing itself. Another form of the Möbius strip, called the '''cross-cap''' or '''crosscap''', also has a circular boundary, but otherwise stays on only one side of the plane of this {{nowrap|circle,{{r|huggett-jordan}}}} making it more convenient for attaching onto circular holes in other surfaces. In order to do so, it crosses itself. It can be formed by removing a [[quadrilateral]] from the top of a hemisphere, orienting the edges of the quadrilateral in alternating directions, and then gluing opposite pairs of these edges consistently with this {{nowrap|orientation.{{r|flapan}}}} The two parts of the surface formed by the two glued pairs of edges cross each other with a [[Pinch point (mathematics)|pinch point]] like that of a [[Whitney umbrella]] at each end of the crossing {{nowrap|segment,{{r|richeson}}}} the same topological structure seen in Plücker's {{nowrap|conoid.{{r|francis}}}}
|
