Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 01/18: Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], '''strip Möbius''' atau '''pita''' '''Möbius''' adalah sebuah [[Permukaan (topologi)|permukaan]] yang dapat dibentuk dengan menempel ujung pita tersebut dengan memutarnya sebagian. Sebagai sebuah objek matematika, pita ini ditemukan oleh [[Johann Benedict Listing]] dan [[August Ferdinand Möbius]] pada tahun 1858, namuntetapi pita ini sudah munculditemukan di mosaik [[Romawi Kuno|Roman]] pada abad ketiga masehi. Strip Möbius merupakan permukaan yang [[Keterarahkan|tidaktak dapat diarahkanterarahkan]] (atau permukaantidak takterarahkandapat diarahkan), dalam artian bahwa dalam pita tersebut tidak selalu dapat membedakan [[arah jarum jam]] dengan arah sebaliknya. Setiap permukaan yang tidak dapat diarahkan memuatmengandung sebuah strip Möbius.

Penemuan strip Möbius sebagai objek matematika dikaitkan dengan matematikawan Jerman [[Johann Benedict Listing]] dan [[August Ferdinand Möbius]] secara terpisah pada tahun {{nowrap|1858.{{r|pickover}}}} Akan tetapi, pita Möbius sudah dtkenal sejak lama sebagai benda fisik dan gambaran artistik. Strip Möbius khususnya dapat dilihat dalam berbagai mosaik Roma pada {{nowrap|abad ketiga masehi.{{r|roman|ancient}}}} Pada umumnya, mosaik tersebut hanya menggambarkan pita yang bergelung sebagai batasnya. Ketika jumlah gelungnya ganjil, pita-pita tersebut merupakan strip Möbius, tetapi jika jumlahnya genap, pita-pita tersebut secara topologis ekuivalen dengan [[Anulus (matematika)|gelanggang tak terpilin]]. Karena itu, pita yang merupakan strip Möbius hanyalah kebetulan, bukan dipilih dengan sengaja. Setidaknya ada satu buah kasus<u>,</u> sebuah pita dengan warna lain pada sisi yang berbeda digambar dengan putaran gelung yang berjumlahkan ganjil., memaksa pelukis sehingga mengakibatkan kecerobohan, yakni warna-warna pada sisi pita menjadi {{nowrap|tak sesuai.{{r|roman}}}} Mosaik lain yang berasal dari kota [[Sentinum]] memperlihatkan gambar seorang dewa [[Aion (dewa)|Aion]] sedang memegang [[zodiak]] sebagai pita yang hanya dengan setengah putaran. Tidak ada bukti jelas yang mengatakan bahwa representasi visual kesepihakan dari waktu benda alam dibuat dengan sengaja, melainkan representasi itu hanya dapat dipilih sebagai cara untuk membuat semua lambang zodiak muncul pada sisi pita yang terlihat. Ada juga yang mengatakan bahwa beberapa gambaran kuno seperti gambar [[ouroboros]] atau hiasan berbentuk [[Lemniskat|angka delapan]] menggambarkan strip Möbius, tetapi belum jelas maksud dari strip Möbius bermaksudyang untukmenggambarkan menggambar segalasebarang jenis pita yang rata atau bukan masih belum {{nowrap|tidakjelas.{{r|ancient}}}}

Strip Möbius mempunyai beberapa sifat yang aneh. Strip Möbius merupakan [[Keterarahkan|permukaan takterarahkan]], yang berarti bahwa jika sebuah benda dimensi dua asimetris yang meluncur sekali di sekitar pita tersebut, maka benda tersebut kembali ke posisi semula dengan bentuk yang tercermin. Khususnya, sebuah kurva dengan panah yang mengarah ke jarum jam (↻) akan kembali ketika sebuah panah yang mengarah ke arah jarum jam yang berlawanan (↺). Hal ini menyiratkan bahwa dalam strip Möbius mustahil untuk selalu menentukan apakah benda mengarah ke jarum jam atau sebaliknya. Strip Möbius merupakan permukaan takterarahkan yang sederhana, yang mengatakan bahwa setiap permukaan lain adalah takterarahkan jika dan hanya jika permukaan tersebut mempunyai strip Möbius sebagai {{nowrap|subhimpunan.{{r|chirality}}}} Hal ini berkaitan dengan strip Möbius yang hanya mempunyai satu sisi ketika dibenamkan menjadi [[ruang Euklides]]. Sebuah benda tiga dimensi yang berjalan sekali di sekitar permukaan strip tersebut tidak tercermin, melainkan kembali ke titik yang sama yang muncul di sisi lain. Karena itu, sifat tersebut memperlihatkan bahwa kedua posisinya hanya merupakan bagian dari satu sisi pada strip tersebut. Perilaku pada strip ini berbeda dengan [[permukaan terarahkan]] yang terkenal dalam tiga dimensi seperti strip yang dimodelkan dengan lembaran kertas yang rata, sedotan minuman yang berbentuk tabung, atau bola berongga dengan satu buah sisi permukaannya tidak terhubung dengan yang lain.{{sfnp|Pickover|2005|pp=8–9}} NamunAkan tetapi, perilaku tersebut merupakan sifat pembenaman strip tersebut yang menjadi ruang, bukan sebuah sifat intristik dari strip Möbius sendiri yang mengatakan terdapat ruang topologis lain yang strip Möbius dapat dibenamkan sehingga mempunyai dua {{nowrap|sisi.{{r|woll}}}} Sebagai contoh, jika wajahmuka kubus di depan dan di belakang ditempelkan ke satu sama lain dengan mencerminkan sebelah kiri dan sebelah kanan, maka hasilnya berupakanberbentuk sebuah ruang topologis tiga dimensi tiga (yaitu, [[darab Cartesius]] dari strip Möbius dengan sebuah interval) yang bagian atas dan bawah kubus dapat dipisah dari satu sama lain dengan dua sisi pada strip {{nowrap|Möbius.{{efn|Essentially this example, but for a [[Klein bottle]] rather than a Möbius strip, is given by {{harvtxt|Blackett|1982}}.{{r|blackett}}}}}} In contrast to disks, spheres, and cylinders, for which it is possible to simultaneously embed an [[uncountable set]] of [[Disjoint sets|disjoint]] copies into three-dimensional space, only a countable number of Möbius strips can be simultaneously {{nowrap|embedded.{{r|frolkina|defy|melikhov}}}}

Ada berbagai cara dalam mendefinisikan permukaan geometris melalui strip Möbius dalam topologi yang meneghasilkanmeghasilkan realisasi dengan sifat-sifat geometris tambahan.

| caption1 = Dengan menempelkan dua strip Möbius, akan membentuk sebuah botol Klein

Secara topologis, tepi atau [[Batas (topologi)|batas]] suatudari strip Möbius [[Homeomorfik|ekuivalen]] dengan sebuah [[circle|lingkaran]]. Dalam bentuk strip Möbius yang umum, batasnya mempunyai bentuk dari lingkaran yang berbeda, namuntetapi batasnya merupakan strip yang [[Unknot|tidaktak dibuhul]],. andOleh thereforesebab theitu, wholeseluruh permukaan strip candapat beditarik stretchedtanpa withoutberpotongan crossingdiri itselfagar totepinya makemenjadi themelingkar edge perfectlydengan {{nowrap|circularsempurna.{{r|hilbert-cohn-vossen}}}} OneContoh suchtersebut exampledidasari is based on the topology of thepada [[botol Klein bottle]], asebuah one-sidedpermukaan surfacesepihak withtanpa nobatas boundaryyang thattidak cannotdapat bedibenamkan embeddedmenjadi intoruang three-dimensionaldimensi spacetiga, buttetapi can bedapat [[ImmersionCelupan (mathematicsmatematika)|immerseddicelup]] (allowing theyang surfacedapat tomembuat crosspermukaan itselfberpotongan indiri certainmelalui restrictedcara waysterbatas). ABotol Klein bottleadalah ispermukaan theyang surfacedapat thatdihasilkan resultsketika whenada twodua buah strip Möbius stripsditempelkan aredari gluedtepi togetherke edge-to-edgetepi, and{{snd}}reversingdan thatdengan process{{snd}}amembalikkan Kleinproses bottletersebut, cansebuah bebotol slicedKlein alongdapat adiiris carefullydi chosensepanjang cutbagian toyang producedipotong twosehingga Möbiusmenghasilkan dua buah pita {{nowrap|stripsMöbius.{{r|spivak}}}} ForKurva ayang formdiiris ofdi thesepanjang Kleinbentuk bottledari known as Lawson'sbotol Klein bottle,yang thedikenal curvesebagai alongbotol whichKlein itLawson isdapat sliceddibuat canmenjadi be made circularmelingkar, resultingsehingga inmenghasilkan strip Möbius strips withdengan circulartepi yang {{nowrap|edgesmelingkar.{{r|ddg}}}}

Lawson'sBotol Klein bottleLawson is a self-crossingadalah [[minimalpermukaan surfaceminimal]] inyang themenyilang diri dalam [[unithiperbola hyperspheresatuan]] ofdari 4-dimensionalruang space,dimensi theempat. setBentuk oftersebut pointsmempunyai ofhimpunan the formtitik<math display="block">(\cos\theta\cos\phi,\sin\theta\cos\phi,\cos2\theta\sin\phi,\sin2\theta\sin \phi)</math>foruntuk {{nowrap|<math>0\le\theta<\pi,0\le\phi<2\pi</math>.{{r|lawson}}}} HalfSetengah ofdari thisbotol Klein bottletersebut, thesubhimpunan subset withdengan <math>0\le\phi<\pi</math>, givesmemberikan asebuah strip Möbius stripyang embeddeddibenamkan indalam thebentuk hyperspherehiperbola assebagai apermukaan minimal surfacedengan withbatasnya ayang berupa {{nowrap|[[greatlingkaran circlebesar]] as its {{nowrap|boundary.{{r|schleimer-segerman}}}} ThisPembenaman embeddingitu isterkadang sometimes called thedisebut "Sudanesestrip Möbius stripSudan", dinamai dari ahli aftertopologi topologistsbernama Sue Goodman anddan Daniel Asimov, whoyang discoveredmenemukannya itpada in thetahun {{nowrap|1970s1970-an.{{r|sudanese}}}} Geometrically, Lawson's Klein bottle can be constructed by sweeping a great circle through a great-circular motion in the 3-sphere, and the Sudanese Möbius strip is obtained by sweeping a semicircle instead of a circle, or equivalently by slicing the Klein bottle along a circle that is perpendicular to all of the swept {{nowrap|circles.{{r|ddg|franzoni}}}} [[Stereographic projection]] transforms this shape from a three-dimensional spherical space into three-dimensional Euclidean space, preserving the circularity of its {{nowrap|boundary.{{r|ddg}}}} The most symmetric projection is obtained by using a projection point that lies on that great circle that runs through the midpoint of each of the semicircles, but produces an unbounded embedding with the projection point removed from its {{nowrap|centerline.{{r|schleimer-segerman}}}} Instead, leaving the Sudanese Möbius strip unprojected, in the 3-sphere, leaves it with an infinite group of symmetries isomorphic to the [[orthogonal group]] {{nowrap|<math>\mathrm{O}(2)</math>,}} the group of symmetries of a {{nowrap|circle.{{r|lawson}}}}