Teorema Pompeiu: Perbedaan antara revisi

: ''Diketahui [[segitiga sama sisi]] ABC pada bidang, dan titik P pada bidang segitiga ABC, panjang PA, PB, dan PC membentuk (mungkin, degenerasi) sisi segitiga'' <ref name="Sandor">Jozsef Sandor: [http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200514.pdf ''On the Geometry of Equilateral Triangles'']. Forum Geometricorum, Volume 5 (2005), pp. 107–117 </ref> <ref name="Titu">Titu Andreescu, Razvan Gelca: ''Mathematical Olympiad Challenges''. Springer, 2008, {{ISBN|9780817646110}}, pp. [https://books.google.de/books?id=lhAtVOeYSmQC&pg=PA4 4-5]</ref>

Dimitrie Pompeiu menerbitkan teorema ini pada tahun 1936, akan tetapi matematikawan Jerman [[August Ferdinand Möbius]] telah menerbitkan teorema yang lebih umum tentang empat titik di bidang Euclidean pada tahun 1852. Möbius juga telah menurunkan pernyataan teorema Pompeiu secara eksplisit sebagai suatu kasus istimewa dari teoremanya yang mana lebih umum. Dengan demikian, teorema ini juga dikenal sebagai ''teorema Möbius-Pompeiu'' . <ref>D. MITRINOVIĆ, J. PEČARIĆ, J., V. VOLENEC: '' History, Variations and Generalizations of the Möbius-Neuberg theorem and the Möbius-Ponpeiu''. Bulletin Mathématique De La Société Des Sciences Mathématiques De La République Socialiste De Roumanie, 31 (79), no. 1, 1987, pp. 25–38 ([https://www.jstor.org/stable/43681294 JSTOR])</ref>

Dimisalkan sebuah rotasi 60° searah jarum jam terhadap titik ''B'' suatu segitiga sama sisi. Anggap titik ''A'' memetakan ke titik ''C'', dan titik ''P'' memetakan ke titik ''P''&nbsp;<nowiki>'</nowiki> . Maka <math>\scriptstyle garis\ PB\ =\ garis \ P'B</math>, dan <math>\scriptstyle\angle PBP'\ =\ 60^{\circ}</math> . Sehingga segitiga ''PBP''&nbsp;<nowiki>'</nowiki> berukuran sama sisi dan <math>\scriptstyle garis \ PP'\ =\ garis \ PB</math> dan <math>\scriptstyle PA\ =\ P'C</math> . Jadi, segitiga ''PCP''&nbsp;<nowiki>'</nowiki> memiliki sisi yang sama panjang dengan ''PA'', ''PB'', dan ''PC.'' (''lihat gambar''). <ref name="Sandor">Jozsef Sandor: [http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200514.pdf ''On the Geometry of Equilateral Triangles'']. Forum Geometricorum, Volume 5 (2005), pp. 107–117 </ref> <ref name="Titu">Titu Andreescu, Razvan Gelca: ''Mathematical Olympiad Challenges''. Springer, 2008, {{ISBN|9780817646110}}[[ISBN (identifier)|ISBN]]&nbsp;[[Special:BookSources/9780817646110|9780817646110]], pp. [https://books.google.de/books?id=lhAtVOeYSmQC&pg=PA4 4-5]</ref>

Perhitungan lebih lanjut menjelaskan jika ''titik'' ''P'' tidak terletak di bagian dalam segitiga, melainkan ada di dalam [[Lingkaran luar|lingkaran]], maka ''PA'', ''PB'', ''PC'' membentuk segitiga merosot, dengan sisi yang terbesar sama dengan jumlah yang lain, Hal ini juga dikenal sebagai teorema Van Schooten . <ref name="Sandor">Jozsef Sandor: [http://forumgeom.fau.edu/FG2005volume5/FG200514.pdf ''On the Geometry of Equilateral Triangles'']. Forum Geometricorum, Volume 5 (2005), pp. 107–117 </ref>