Pengguna:Dedhert.Jr/Uji halaman 05/2: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
||
| (4 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
Bilangan '''{{pi}}''' (dibaca '''pi''') adalah konstanta matematika yang nilainya kira-kira sama dengan 3,14159. Bilangan ini juga merupakan [[Rasio (matematika)|perbandingan]] antara [[Keliling lingkaran|keliling]] [[lingkaran]] dengan diameter. Bilangan ini ditemukan dalam banyak rumus-rumus di bidang [[matematika]] dan [[fisika]]. {{pi}} adalah [[bilangan irasional]], yang berarti bahwa {{pi}} tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk [[pecahan]], meskipun {{sfrac|22|7}} seringkali dipakai untuk [[Pendekatan nilai π|mendekati nilainya]]. Akibatnya, [[Representasi desimal|representasi bilangan desimal]] {{pi}} tidak pernah berakhir dan [[Representasi desimal|polanya tidak pernah berulang]]. Bilangan {{pi}} juga merupakan [[bilangan transendental]], yang berarti bahwa bilangan yang bukan merupakan [[Akar polinomial|akar]] suatu [[suku banyak]] dengan [[koefisien]] [[bilangan rasional]]. Transendensi {{pi}} menyiratkan bahwa mustahil untuk menyelesaikan tantangan kuno seperti [[Squaring the circle|mempersegikan lingkaran]] dengan [[Konstruksi jangka sorong dan penggaris|jangka sorong dan penggaris]]. Digit desimal (atau [[Radiks|basis lain]]) {{pi}} [[Barisan acak|tersebar secara acak]],{{Efn|Secara khusus, {{pi}} diduga merupakan [[bilangan normal]], yang menyiratkan jenis spesifik dari keacakan statistik pada digitnya di semua basis.}} sayangnya bukti konjektur tersebut masih belum ditemukan.
Selama beribu-ribu tahun, para matematikawan mencoba untuk memperluas pemahamannya akan bilangan π, terkadang dengan menghitung nilainya menjadi sangat akurat. Peradaban kuno seperti [[Matematika Mesir|Mesir]] dan [[Matematika Babilonia|Babilonia]], memerlukan pendekatan yang sangat akurat dalam menghitung nilai {{pi}}. Sekitar 250 BC, [[matematikawan Yunani]], [[Archimedes]], menciptakan algoritma untuk menghitung pendekatan {{pi}} dengan akurasi sembarang. Pada abad ke-5 AD, [[matematika Tiongkok]] menghitung pendekatan {{pi}} sampai tujuh digit dengan metode geometris, sedangkan [[matematika India]] mehghitung pendekatan sampai lima digit dengan metode yang serupa. Rumus menghitung nilai {{pi}} pertama kali didasari dengan [[deret takhingga]], ditemukan seribu tahun kemudian, ketika [[mazhab astronomi dan matematika Kerala]] menemukan [[Rumus Leibniz untuk pi|deret Madhava–Leibniz]] yang dicatat di ''[[Yuktibhāṣā]]'' sekitar tahun 1530.{{sfn|Andrews|Askey|Roy|1999|p=59}}{{sfn|Gupta|1992|pp=68–71}}▼
Penemuan [[kalkulus]] segera mengakibatkan perhitungan ratusan digit {{pi}},
Karena {{pi}} merupakan definisi paling dasar yang berhubungan dengan lingkaran, {{pi}} ditemukan dalam banyak rumus-rumus [[trigonometri]] dan [[geometri]], terutama
▲Peradaban kuno seperti [[Matematika Mesir|Mesir]] dan [[Matematika Babilonia|Babilonia]], memerlukan pendekatan yang sangat akurat dalam menghitung nilai {{pi}}. Sekitar 250 BC, [[matematikawan Yunani]], [[Archimedes]], menciptakan algoritma untuk menghitung pendekatan {{pi}} dengan akurasi sembarang. Pada abad ke-5 AD, [[matematika Tiongkok]] menghitung pendekatan {{pi}} sampai tujuh digit dengan metode geometris, sedangkan [[matematika India]] mehghitung pendekatan sampai lima digit dengan metode yang serupa. Rumus menghitung nilai {{pi}} pertama kali didasari dengan [[deret takhingga]], ditemukan seribu tahun kemudian, ketika [[mazhab astronomi dan matematika Kerala]] menemukan [[Rumus Leibniz untuk pi|deret Madhava–Leibniz]] yang dicatat di ''[[Yuktibhāṣā]]'' sekitar tahun 1530.{{sfn|Andrews|Askey|Roy|1999|p=59}}{{sfn|Gupta|1992|pp=68–71}}
▲Penemuan [[kalkulus]] segera mengakibatkan perhitungan ratusan digit {{pi}}, <u>enough for all practical scientific computations</u>. Namun pada abad ke-20 dan ke-21, para ahli matematika dan [[ilmu komputer]] melanjutkan pendekatan baru yang apabila digabungkan dengan daya perhitungan tinggi, mampu memperluas representasi desimal {{pi}} hingga triliunan digit.<ref>{{cite web|title=π<sup>e</sup> trillion digits of π|url=http://www.pi2e.ch/|website=pi2e.ch|archive-url=https://web.archive.org/web/20161206063441/http://www.pi2e.ch/|archive-date=6 December 2016|url-status=live}} <!-- – the exact number of digits increases periodically – it should not be included in this article by citing only a [[WP:PRIMARY|primary reference source]]. --></ref><ref>{{Cite web|last=Haruka Iwao|first=Emma|author-link=Emma Haruka Iwao|date=14 March 2019|title=Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes' constant on Google Cloud|url=https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-31-4-trillion-digits-of-archimedes-constant-on-google-cloud|website=[[Google Cloud Platform]]|archive-url=https://web.archive.org/web/20191019023120/https://cloud.google.com/blog/products/compute/calculating-31-4-trillion-digits-of-archimedes-constant-on-google-cloud|archive-date=19 October 2019|access-date=12 April 2019|url-status=live}}</ref> Alasan utama penghitungan ini adalah mengembangkan algoritma yang efisien untuk menghitung rangkaian bilangan yang panjang, sekaligus memecahkan rekor.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=17}}{{sfn|Bailey|Plouffe|Borwein|Borwein|1997|pp=50–56}} Perhitungan ekstensif ini juga digunakan untuk menguji kemampuan [[superkomputer]] dan [[algoritma]] perkalian presisi tinggi.
▲Karena {{pi}} merupakan definisi paling dasar yang berhubungan dengan lingkaran, {{pi}} ditemukan dalam banyak rumus-rumus [[trigonometri]] dan [[geometri]], terutama yang meloibatkan lingkaran, elips, dan bola. Dalam [[analisis matematika]] yang lebih modern<u>,</u> {{pi}} bahkan didefinisikan sebagai [[eigennilai]] atau [[periode]] dengan menggunakan sifat-sifat spektral dari sistem [[bilangan real]] tanpa mengacu pada geometri. {{pi}} juga muncul dalam cabang matematika dan sains yang sedikit melibatkan lingkaran dalam geometri, seperti [[teori bilangan]] dan [[statistika]], dan hampir semua cabang [[fisika]]. Keberadaan {{pi}} yang sangat umum menjadi salah satu konstanta matematika yang terkenal di dalam dan di luar komunitas ilmiah. Ada beberapa buku yang devoted {{pi}} telah diterbitkan and record-setting calculations of the digits of {{pi}} often result in news headlines.
== Fundamental ==
Baris 23 ⟶ 19:
: <math> \pi = \frac{C}{d}.</math>
Perbandingan {{math|''C''/''d''}}
Keliling lingkaran merupakan [[panjang busur]] di sekitar [[keliling]] lingkaran, dengan jumlah yang dapat didefinisikan geometri secara terpisah melalui
: <math>\pi = \int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.</math>
[[Karl Weierstrass]] mendefinisikan {{pi}} secara langsung melalui integral pada 1841.{{efn|Integral tepat yang dipakai Weierstrass adalah <math>\pi=\int_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2}.</math> {{harvnb|Remmert|2012|p=148}}}} Akan tetapi, {{harvnb|Remmert|2012}} menjelaskan bahwa pengintegralan tersebut tidak lagi dipakai dalam definisi analitik pertama, karena
Pada gagasan yang serupa, {{pi}} dapat didefinisikan melalui sifat dari [[eksponensial kompleks]], katakanlah {{math|exp ''z''}}, dari variabel [[bilangan kompleks]] {{math|''z''}}. Sama halnya dengan kosinus, eksponensial kompleks dapat didefinisikan melalui beberapa cara. Salah satunya adalah himpunan kompleks di {{math|exp ''z''}} yang sama dengannya merupakan barisan aritmetika (imajiner), yang ditulis dalam bentuk:
▲{{harvnb|Remmert|2012}} menjelaskan bahwa pengintegralan tersebut tidak lagi dipakai dalam definisi analitik pertama, karena dalam kurikum universitas, [[kalkulus diferensial]] biasanya mendahului kalkulus integral, <u>so it is desirable to have a definition of {{pi}} that does not rely on the latter</u>. One such definition, due to Richard Baltzer<ref>{{citation|first=Richard|last=Baltzer|title=Die Elemente der Mathematik|language=de|trans-title=The Elements of Mathematics|year=1870|page=195|url=https://archive.org/details/dieelementederm02baltgoog|publisher=Hirzel|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20160914204826/https://archive.org/details/dieelementederm02baltgoog|archive-date=14 September 2016}}</ref> and popularized by [[Edmund Landau]],<ref>{{citation|first=Edmund|last=Landau|author-link=Edmund Landau|title=Einführung in die Differentialrechnung und Integralrechnung|language=de|publisher=Noordoff|year=1934|page=193}}</ref> is the following: {{pi}} is twice the smallest positive number at which the [[cosine]] function equals 0.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=8}}{{sfn|Remmert|2012|p=129}}<ref name="Rudin 1976">{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1976|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|publisher=McGraw-Hill|isbn=978-0-07-054235-8|url-access=registration}}, p. 183.</ref> {{pi}} is also the smallest positive number at which the [[sine]] function equals zero, and the difference between consecutive zeroes of the sine function. The cosine and sine can be defined independently of geometry as a [[power series]],<ref>{{cite book|last=Rudin|first=Walter|year=1986|title=Real and complex analysis|publisher=McGraw-Hill}}, p. 2.</ref> or as the solution of a [[differential equation]].<ref name="Rudin 1976" />
: <math>\{\dots,-2\pi i, 0, 2\pi i, 4\pi i,\dots\} = \{2\pi ki\mid k\in\mathbb Z\}</math>
=== Irasionalitas dan normalitas ===
{{pi}} adalah [[bilangan irasional]], dalam artian bahwa {{pi}} tak dapat ditulis sebagai [[Bilangan rasional|perbandingan antara dua bilangan bulat]]. Pecahan seperti {{math|{{sfrac|22|7}}}} dan {{math|{{sfrac|355|113}}}} umumnya dipakai untuk mengaproksimasi {{pi}}, tetapi [[pecahan biasa]] (perbandingan dari bilangan cacah) tak dapat dijadikan sebagai nilai eksak.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=5}} Karena {{pi}} irasional, ia mempunyai jumlah digit yang tak terhingga dalam [[representasi desimal]], dan mempunyai jumlah digit tak terhingga dengan [[Desimal berulang|polanya tidak berulang]]. Terdapat beberapa [[Bukti bahwa π irasional|bukti bahwa {{pi}} adalah irasional]], yang secara umum membutuhkan kalkulus dan bergantung pada teknik ''[[reductio ad absurdum]]''. The degree to which {{pi}} can be approximated by [[Rational number|rational numbers]] (called the [[irrationality measure]]) is not precisely known; estimates have established that the irrationality measure is larger than the measure of {{math|''e''}} or {{math|ln 2}} but smaller than the measure of [[Liouville number|Liouville numbers]].<ref>{{cite journal|last1=Salikhov|first1=V.|year=2008|title=On the Irrationality Measure of pi|journal=Russian Mathematical Surveys|volume=53|issue=3|pages=570–572|bibcode=2008RuMaS..63..570S|doi=10.1070/RM2008v063n03ABEH004543|s2cid=250798202}}</ref>
The digits of {{pi}} have no apparent pattern and have passed tests for [[statistical randomness]], including tests for [[Normal number|normality]]; a number of infinite length is called normal when all possible sequences of digits (of any given length) appear equally often. The conjecture that {{pi}} is [[Normal number|normal]] has not been proven or disproven.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=22–23}}
Since the advent of computers, a large number of digits of {{pi}} have been available on which to perform statistical analysis. [[Yasumasa Kanada]] has performed detailed statistical analyses on the decimal digits of {{pi}}, and found them consistent with normality; for example, the frequencies of the ten digits 0 to 9 were subjected to [[Statistical significance test|statistical significance tests]], and no evidence of a pattern was found.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|pp=22, 28–30}} Any random sequence of digits contains arbitrarily long subsequences that appear non-random, by the [[infinite monkey theorem]]. Thus, because the sequence of {{pi}}'s digits passes statistical tests for randomness, it contains some sequences of digits that may appear non-random, such as a [[Six nines in pi|sequence of six consecutive 9s]] that begins at the 762nd decimal place of the decimal representation of {{pi}}.{{sfn|Arndt|Haenel|2006|p=3}} This is also called the "Feynman point" in [[mathematical folklore]], after [[Richard Feynman]], although no connection to Feynman is known.
▲A variation on the same idea, making use of sophisticated mathematical concepts of [[topology]] and [[algebra]], is the following theorem:<ref>{{citation|last=Bourbaki|first=Nicolas|author-link=Nicolas Bourbaki|title=Topologie generale|publisher=Springer|year=1981}}, §VIII.2.</ref> there is a unique ([[up to]] [[automorphism]]) [[Continuous function|continuous]] [[isomorphism]] from the [[Group (mathematics)|group]] '''R'''/'''Z''' of real numbers under addition [[Quotient group|modulo]] integers (the [[circle group]]), onto the multiplicative group of [[complex numbers]] of [[absolute value]] one. The number {{pi}} is then defined as half the magnitude of the derivative of this homomorphism.<ref name="Nicolas Bourbaki">{{citation|last=Bourbaki|first=Nicolas|author-link=Nicolas Bourbaki|title=Fonctions d'une variable réelle|language=fr|publisher=Springer|year=1979}}, §II.3.</ref>
== Rujukan ==
| |||