Wikipedia

Pengguna:Hadithfajri/Himpunan: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Hadithfajri (bicara | kontrib)
952 suntingan
Hadithfajri (bicara | kontrib)
952 suntingan
 
(28 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Bak_pasir_pribadi}}
<!-- Sunting di bawah ini! -->[[Berkas:Venn A intersect BVenn_A_intersect_B.svg|jmpl|Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan [[diagram Venn]]]]
Dalam [[matematika]], '''himpunan''' (disebut juga '''kumpulan''', '''kelompok''', '''gugus,''' atau '''set''') dapat ''dibayangkan'' sebagai kumpulan benda berbeda yang [[Definisi|terdefinisi]] dengan jelas dan dipandang sebagai satu kesatuan utuh<ref>{{Cite book|last=Afidah Khairunnisa|date=2018|url=https://scholar.google.co.id/citations?view_op=view_citation&hl=en&user=aX8YzqsAAAAJ&citation_for_view=aX8YzqsAAAAJ:roLk4NBRz8UC|title=Matematika Dasar|location=Depok|publisher=Rajawali Pers|isbn=978-979-769-764-8|url-status=live}}</ref>. Dengan terdefinisi yang jelas itu maka dapat ditentukan dengan tegas apakah suatu objek termasuk anggota suatu himpunan atau bukan.
Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan [[diagram Venn]]
|192x192px]]
 
Konsep himpunan seperti saat sekarang ini pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Jerman, [[Georg Cantor]], pada akhir [[abad ke-19]]. Cantor mendefinisikan himpunan sebagai "Hasil usaha pengumpulan beberapa benda yang memiliki suatu ciri pembeda tertentu dan dapat-diperbedakan dalam intuisi atau pikiran kita (benda-benda itu disebut 'anggota'), menjadi suatu kesatuan".<ref name=":2">{{Cite book|last=Hakim.|first=Nasoetion, Andi|date=1982|url=http://worldcat.org/oclc/974924773|title=Landasan matematika|publisher=Bhratara Karya Aksara|oclc=974924773}}</ref><ref>{{Cite book|last=Prof. Dr. Wahyudin M.Pd.|date=2019|url=https://pustaka.ut.ac.id/lib/pema4101-hakikat-dan-sejarah-matematika-edisi-2|title=Hakikat dan Sejarah Matematika|location=Tanggerang Selatan|publisher=Universitas Terbuka|url-status=live}}</ref>
Dalam [[matematika]], '''himpunan''' (disebut juga '''kumpulan''', '''kelompok''', '''gugus,''' atau '''set''') dapat dibayangkan sebagai kumpulan objek yang memiliki sifat yang dapat didefinisikan dengan jelas, atau lebih jelasnya adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan.<ref>{{Cite web|title=Set {{!}} mathematics and logic|url=https://www.britannica.com/topic/set-mathematics-and-logic|website=Encyclopedia Britannica|language=en|access-date=2020-08-21}}</ref>
 
Himpunan merupakan satu di antara konsep [[Fondasi matematika|dasar]] matematika, karena hampir semua aspek matematika dapat dibangun dengan konsep himpunan ini.<ref>{{Cite book|last=Ferreirós|first=José|date=2020|url=https://plato.stanford.edu/archives/sum2020/entries/settheory-early/|title=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Summer 2020}}</ref> Kajian lebih lanjut mengenai himpunan dipelajari dalam [[teori himpunan]].
Konsep himpunan pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Jerman, [[Georg Cantor]], pada akhir [[abad ke-19]]. Cantor mendefinisikan himpunan sebagai "Hasil usaha penghimpunan beberapa benda yang memiliki suatu ciri pembeda tertentu, menjadi suatu kesatuan".<ref>{{Cite book|last=Hakim.|first=Nasoetion, Andi|date=1982|url=http://worldcat.org/oclc/974924773|title=Landasan matematika|publisher=Bhratara Karya Aksara|oclc=974924773}}</ref>
 
== Himpunan dan anggotanya ==
Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber semua matematika diturunkan.<ref>{{Cite book|last=Ferreirós|first=José|date=2020|url=https://plato.stanford.edu/archives/sum2020/entries/settheory-early/|title=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Summer 2020}}</ref>
Himpunan secara sederhana dapat diartikan sebagai kumpulan objek-objek. Pengertian "mengumpulkan" atau "menghimpun" sendiri sudah jelas sebab telah sering dilakukan dalam keseharian''.'' Beberapa organisasi menggunakan kata ''himpunan'' pada namanya menunjukkan hal tersebut <ref>{{Cite book|last=Dumairy|date=2003|title=Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi|location=Yogyakarta|publisher=BPFE|url-status=live}}</ref>. Pengertian himpunan dapat digambarkan sebagai suatu "karung" atau "kotak" yang berisikan unsur-unsurnya<ref>{{Cite book|last=Halmos|first=Paul Richard|date=1960|url=https://books.google.co.id/books?id=-e1LAAAAMAAJ&q=naive+set+theory&dq=naive+set+theory&hl=id&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjNlqHSzqj5AhUi3HMBHc9LDnUQ6AF6BAgDEAI|title=Naive Set Theory|publisher=Van Nostrand|isbn=978-3-540-90092-4|language=en}}</ref>. Penggambaran ini dinisbatkan pada [[Richard Dedekind]] <ref>{{Cite journal|last=Oliver|first=Alex|last2=Smiley|first2=Timothy|date=2006|title=What Are Sets and What Are They For?|url=https://www.jstor.org/stable/4494502|journal=Philosophical Perspectives|volume=20|pages=123–155|issn=1520-8583}}</ref>, dan terlukiskan dengan baik dengan diagram [[Diagram Euler|Euler]]-[[Diagram Venn|Venn]].
{{gallery
|width=160 | height=148
|align=center
|Berkas:Example of a set.svg
|Suatu himpunan [[Poligon|segibanyak]]
|Berkas:Box with polygons.svg
|Himpunan yang sama digambarkan dalam "kotak".
|Berkas:Transparent box with polygons.svg
|Himpunan yang sama digambarkan sebagai "kumpulan benda dalam kotak".
}}
Objek dalam suatu himpunan disebut [[Elemen (matematika)|anggota]] (disebut juga elemen atau unsur). Anggota suatu himpunan dapat berupa apa saja, baik itu bilangan, titik, fungsi, dan lain sebagainya. Himpunan juga boleh jadi berisi objek-objek nyata, seperti sekawanan itik di sawah, semua buku di perpustakaan, sekalian hari dalam sepekan, seluruh huruf dalam alfabet, dan kelimapuluhdua kartu dalam satu set remi..
 
Keanggotaan suatu objek dapat dinyatakan dengan notasi <math>\in</math>. Pernyataan dengan notasi <math>a\in S</math> dapat dibaca sebagai "<math>a</math> anggota <math>S</math> "; "<math>a</math> di dalam <math>S</math> " <ref name=":0" />; "<math>a</math> termasuk dalam <math>S</math> " <ref>{{Cite book|last=Walpole|first=Ronald E.|date=1995|title=Pengantar Statistika|location=Jakarta|publisher=Gramedia Pustaka Utama|translator-last=Ir. Bambang Sumantri|url-status=live}}</ref>; atau "<math>a</math> milik himpunan <math>S</math> " <ref>{{Cite book|last=Dr. Jaka Nugraha|date=2020|title=Pengantar Peluang dan Distribusi|location=Sleman|publisher=Deepublish|url-status=live}}</ref>.
== Lambang himpunan ==
Biasanya, nama himpunan ditulis menggunakan huruf besar, misalnya <math>S</math>'', <math>A</math>'' atau <math>C</math>, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (<math>a</math>, <math>c</math>, ''<math>z</math>''). Cara penulisan ini adalah yang umum dipakai, tetapi tiada ketentuan bahwa setiap himpunan harus ditulis dengan cara seperti itu. Tabel di bawah menunjukkan format penulisan himpunan yang umum dipakai.
{| class="wikitable"
|-
!'''Nama'''!!'''Notasi'''!!'''Contoh'''
|-
| Himpunan
| Huruf besar
| <math>S</math>
|-
| Anggota himpunan
| Huruf kecil (jika merupakan huruf)
| <math>a</math>
|-
| Kelas
| Huruf tulisan tangan
| <math>\mathcal{C}</math>
|}
Himpunan-himpunan bilangan yang cukup dikenal, seperti bilangan kompleks, riil, bulat, dan sebagainya, menggunakan notasi yang khusus.<ref name=":0">{{Cite web|date=2020-04-11|title=Comprehensive List of Set Theory Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/set-theory-symbols/|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2020-08-22}}</ref>
{| class="wikitable"
|-
! Bilangan
| Asli
| Bulat
| Rasional
| Riil
| Kompleks
|-
! Notasi
|<math>\mathbb{N}</math>
|<math>\mathbb{Z}</math>
|<math>\mathbb{Q}</math>
|<math>\mathbb{R}</math>
|<math>\mathbb{C}</math>
|}
 
[[Negasi|Ingkaran]] pernyataan tersebut (<math>a</math> bukan anggota <math>S</math>) dapat ditulis sebagai <math>a\not\in S</math>. <ref name=":0">{{Cite book|last=Lipschutz|first=Seymour|date=1995|title=Teori Himpunan|location=Jakarta|publisher=Erlangga|translator-last=Pantur Silaban|url-status=live}}</ref>
Simbol-simbol khusus yang dipakai dalam teori himpunan adalah:<ref name=":0" />
{| class="wikitable"
|-
! Simbol
! Arti
|-
| <math>\{ \}</math> atau <math>\varnothing</math>
| Himpunan kosong
|-
| <math>\cup</math>
| Operasi gabungan dua himpunan
|-
| <math>\cap</math>
| Operasi irisan dua himpunan
|-
| <math>\subseteq</math>, <math>\subset</math>, <math>\supseteq</math>, <math>\supset</math>
| Subhimpunan, Subhimpunan sejati, Superhimpunan, Superhimpunan sejati
|-
| <math>A^C</math>
| Komplemen
|-
| <math>\mathcal{P}(A)</math>
| Himpunan kuasa
|}
 
Nama himpunan lazim ditulis menggunakan huruf besar, misalnya <math display="inline">S</math>'', <math display="inline">A</math>'' atau <math display="inline">C</math>, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (<math display="inline">a</math>, <math display="inline">c</math>, ''<math display="inline">z</math>'').
== Menyatakan dan menuliskan himpunan ==
Himpunan dapat didefinisikan dengan dua cara, yaitu:
* '''Enumerasi''', yaitu mendaftarkan semua anggota himpunan. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan [[elipsis]] (...).
: <math>B = \{ apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}</math>
: <math>A = \{ a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}</math>
: <math>\mathbb{N} = \{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}</math>
* '''Pembangun himpunan''', tidak dengan mendaftar, tetapi dengan mendeskripsikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut.
: <math>O = \{ u\, |\, u \mbox{ adalah bilangan ganjil} \}</math>
: <math>E = \{ x\, |\, x \in \mathbb{Z} \land (x \mbox{ mod } 2 = 0)\}</math>
: <math>P = \{ p\, |\, p \mbox {adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI} \}</math>
 
=== Menyatakan dan menuliskan himpunan ===
Notasi pembangun himpunan dapat menimbulkan berbagai [[paradoks]], contohnya adalah himpunan berikut:
[[Berkas:Amino Acids Venn Diagram.png|jmpl|Hubungan 8 himpunan [[asam amino]] dengan menggunakan diagram Venn.|222x222px]]Himpunan dapat dinyatakan dan dituliskan secara baku<ref name=":3">{{Cite book|last=Marsudi|date=2010-10-08|url=https://books.google.co.id/books/about/Logika_dan_Teori_Himpunan.html?id=6pK0DwAAQBAJ&redir_esc=y|title=Logika dan Teori Himpunan|publisher=Universitas Brawijaya Press|isbn=978-979-8074-51-6|language=id}}</ref> dengan dua cara.
: <math>A = \{ x\, |\, x \notin A\}</math>
Himpunan A tidak mungkin ada, karena jika A ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin A bisa mengandung anggota tersebut.
 
Pertama, '''cara pendaftaran,''' yaitu dengan menulis semua anggota himpunan dalam [[Tanda kurung|kurung kurawal]], serta antara anggotanya dipisahkan dengan koma. Cara ini baik digunakan untuk himpunan dengan banyak anggota berhingga, terutama juka banyaknya lumayan sedikit. Contohnya himpunan buah<math>B = \{ apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}</math>. Tanda koma dapat diganti dengan tanda titik koma apabila perlu untuk menghindari kekeliruan dengan tanda koma bilangan desimal, seperti <math>K = \{0,2;0,4;0,6\}</math>.
== Himpunan bagian ==
Dari suatu himpunan, misalnya ''A'' = {''apel, jeruk, mangga, pisang''}, dapat dibuat himpunan-himpunan lain yang anggotanya adalah diambil dari himpunan tersebut.
* {''apel, jeruk''}
* {''jeruk, pisang''}
* {''apel, mangga, pisang''}
Ketiga himpunan di atas memiliki sifat umum, yaitu setiap anggota himpunan itu adalah juga anggota himpunan ''A''. Himpunan-himpunan ini disebut sebagai '''himpunan bagian''' dari ''A''. Jadi dapat dirumuskan:
 
Jika terlampau banyak untuk dinyatakan satu-persatu bahkan mungkin tak berhingga, tetapi mengikuti pola tertentu, maka dapat digunakan notasi [[elipsis]] (...). Contohnya himpunan huruf dalam alfabet <math>A = \{ a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}</math> atau himpunan bilangan asli <math>\mathbb{N} = \{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}</math>.
''B adalah himpunan bagian dari A jika setiap anggota B juga terdapat dalam A.''
: <math> B \subseteq A \equiv \forall_x \, x \in B \rightarrow x \in A </math>
Kalimat di atas tetap benar untuk ''B'' himpunan kosong. Maka <math>\varnothing</math> juga subhimpunan dari ''A''.
 
Kedua, '''cara merumuskan''', yaitu dengan mendefinisikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut. Untuk cara ini syarat tersebut dapat langsung diperkatakan atau ditulis menggunakan [[Notasi ungkapan himpunan|notasi pembentuk himpunan]].
''Untuk sembarang himpunan A,''
: <math>O = \varnothing{ u\subseteq, A|\, u \mbox{ adalah bilangan ganjil} \}</math>
: <math>E = \{ x\, |\, x \in \mathbb{Z} \land (x \mbox{ mod } 2 = 0)\}</math>
: <math>P = \{ p\, |\, p \mbox { adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI} \}</math>
== Kesamaan dua himpunan ==
Himpunan didefinisikan berdasar objek-objek yang termasuk di dalamnya. Dua himpunan bisa saja sama walau disajikan dengan cara yang berbeda<ref name=":1">{{Cite book|last=Rinaldi Munir|date=2010|title=Matematika Diskrit|location=Bandung|publisher=Informatika Bandung|url-status=live}}</ref>, seperti urutan anggotanya tidak sama atau dua himpunan itu dinyatakan dengan penggambaran yang berbeda. Himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>'' disebut ''[[Kesamaan|sama]]'', jika keduanya memiliki anggota yang sama<ref>{{Cite book|last=Julan Hernadi|date=2021|title=Fondasi Matematika & Metode Pembuktian|location=Ponorogo|publisher=UMPO Press|url-status=live}}</ref>, dengan kata lain: setiap anggota ''<math>A</math>'' adalah anggota ''<math>B</math>'' dan sebaliknya, setiap anggota ''<math>B</math>'' adalah anggota ''<math>A</math>''.
: <math>A = B \equiv \forall_x\; x \in {\displaystyle A} \leftrightarrow x \in B</math>.
Prinsip kesamaan dua himpunan seperti ini, yakni dengan "membuka seluas-luasnya" kedua himpunan itu sehingga tampak semua anggotanya baru kemudian diperbandingkan, sering dirumuskan sebagai [[aksioma perluasan]]<ref name=":0" />. Dengan prinsip ini kesamaan <math>\{a,b,c \}=\{b,c,a\}</math> dan <math>\{a,b,c\}=\{a,b,b,c,c,c\}</math> dapat diketahui. Perhatikan bahwa urutan tidak berpengaruh dalam himpunan, dan perulangan anggota yang sama hanya dihitung satu kali. Contoh lainnya, kita dapat mengatakan bahwa himpunan tiga bilangan prima pertama sama dengan himpunan akar-akar persamaan <math>x^3-10x^2+31x-30=0</math>. Apabila seluruh anggota kedua himpunan itu didaftarkan, keduanya sama-sama <math>\{2,3,5\}</math>.
 
=== Himpunan bagian ===
Definisi di atas juga mencakup kemungkinan bahwa himpunan bagian dari ''A'' adalah ''A'' sendiri.
[[Berkas:Set_subsetBofA.svg|jmpl|<math>B</math> himpunan bagian (sejati) dari <math>A</math>]]{{utama|Himpunan bagian}}
Jika setiap anggota <math>B</math> termasuk dalam <math>A</math>, maka himpunan <math>B</math> dikatakan himpunan bagian dari himpunan <math>A</math>, ditulis sebagai <math>B\subseteq A</math>. Secara formal, definisi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:<blockquote><math> B \subseteq {\displaystyle A} \equiv \forall_x \, x \in B \rightarrow x \in {\displaystyle A} </math>.</blockquote>Dengan menggunakan definisi himpunan bagian, kesamaan dua himpunan juga dapat dinyatakan sebagai berikut:
: <math>A = B \equiv {\displaystyle A} \subseteq B \wedge B \subseteq A</math>.
Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan <math>A</math> dan ''<math>B</math>'' adalah sama. Pertama, buktikan dahulu <math>A</math> adalah himpunan bagian ''<math>B</math>'', kemudian buktikan bahwa ''<math>B</math>'' adalah himpunan bagian <math>A</math>.
 
''Untuk== sembarangBanyak anggota himpunan A,''==
{{utama|Kardinalitas}}
: <math>A \subseteq A</math>
 
Kardinalitas suatu himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang ada dalam himpunan tersebut.
Istilah ''subhimpunan'' dari ''A'' biasanya berarti mencakup ''A'' sebagai himpunan bagiannya sendiri. Kadang-kadang istilah ini juga dipakai untuk menyebut himpunan bagian dari ''A'', tetapi bukan ''A'' sendiri. Pengertian mana yang digunakan biasanya jelas dari konteksnya.
 
Secara formal, dua himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>'' memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat korespondensi satu-satu yang memetakan ''<math>A</math>'' pada ''<math>B</math>''.
''Himpunan bagian sejati'' dari ''A'' menunjuk pada ''himpunan bagian'' dari ''A'', tetapi tidak mencakup ''A'' sendiri.
: <math>B \subset A \equiv B \subseteq A \wedge B \neq A</math>
 
Jika suatu himpunan ekivalen dengan himpunan <math>\mathbb{N}</math>, yaitu himpunan semua bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut [[Himpunan terhitung|''himpunan terbilang'']].<ref>{{Cite book|last=Hendra Gunawan|date=2017|title=Menuju Tak Terhingga|location=Bandung|publisher=ITB Press|url-status=live}}</ref> Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas <math>\mathfrak{a}</math>. Jika suatu himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas <math>\mathfrak{a}</math>, maka himpunan tersebut adalah ''himpunan berhingga''.
Kebalikan dari ''subhimpunan'' adalah '''superhimpunan''', yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.
: <math>A \supseteq B \equiv B \subseteq A</math>
 
Suatu himpunan disebut ''terhitung'' jika himpunan tersebut adalah berhingga atau terbilang.
=== Kesamaan dua himpunan ===
Himpunan ''A'' dan ''B'' disebut sama, jika setiap anggota ''A'' adalah anggota ''B'', dan sebaliknya, setiap anggota ''B'' adalah anggota ''A''.
: <math>A = B \equiv \forall_x\; x \in A \leftrightarrow x \in B</math>
atau
: <math>A = B \equiv A \subseteq B \wedge B \subseteq A</math>
Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan ''A'' dan ''B'' adalah sama. Pertama, buktikan dahulu ''A'' adalah subhimpunan ''B'', kemudian buktikan bahwa ''B'' adalah subhimpunan ''A''.
 
Himpunan yang tidak terhitung disebut himpunan ''tak terhitung''. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas <math>\mathfrak{c}</math>. Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal. Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas <math>\mathfrak{c}</math>, karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah <math display="inline">y=tan(\pi x - \frac{1}{2}\pi)</math>.
== Himpunan ekivalen ==
 
== Syarat keanggotaan himpunan ==
=== Kardinalitas ===
Himpunan dapat didefinisikan dengan merumuskan syarat yang harus dipenuhi seluruh anggotanya. Terkadang syarat ini mengikutkan pula dari himpunan semesta mana anggota himpunan baru itu akan diambil. Dengan notasi pembentuk himpunan, secara umum ditulis sebagai
Kardinalitas dari sebuah himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang dikandung oleh himpunan tersebut. Banyaknya anggota himpunan <math>\{apel, jeruk, mangga, pisang\}</math> adalah 4. Himpunan <math>\{p, q, r, s\}</math> juga memiliki anggota sejumlah 4. Berarti kedua himpunan tersebut ekivalen satu sama lain, atau dikatakan memiliki kardinalitas yang sama.
:<math>A=\{x\in S\mid P(x)\} </math>
 
yang dapat dibaca "''<math display="inline">A</math>'' adalah himpunan semua anggota himpunan <math>S</math> sedemikian rupa sehingga pernyataan <math>P(x)</math> benar berlaku".
Dua buah himpunan ''A'' dan ''B'' memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat fungsi korespondensi satu-satu yang memetakan ''A'' pada ''B''. Karena dengan mudah kita membuat fungsi <math>\{(apel,\,p),\,(jeruk,\,q),\,(mangga,\,r),\,(pisang,\,s)\}</math> yang memetakan satu-satu dan kepada himpunan ''A'' ke ''B'', maka kedua himpunan tersebut memiliki kardinalitas yang sama.
 
==== '''Himpunan Denumerabel''' ====
Jika sebuah himpunan ekivalen dengan himpunan <math>\mathbb{N}</math>, yaitu himpunan bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut [[denumerabel]]. Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas <math>\mathfrak{a}</math>.
 
Himpunan semua bilangan genap positif merupakan himpunan denumerabel, karena memiliki korespondensi satu-satu antara himpunan tersebut dengan himpunan bilangan asli, yang dinyatakan oleh <math>2n\,</math>.
: <math>A = \{ 2,\, 4,\, 6,\, 8,\, ...\}</math>
 
==== Himpunan Berhingga ====
Jika sebuah himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas <math>\mathfrak{a}</math>, maka himpunan tersebut adalah himpunan berhingga.
 
==== Himpunan Tercacah ====
Himpunan disebut tercacah jika himpunan tersebut adalah berhingga atau denumerabel.
 
==== Himpunan Non-Denumerabel ====
Himpunan yang tidak tercacah disebut himpunan non-denumerabel. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas <math>\mathfrak{c}</math>. Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal.
 
Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas <math>\mathfrak{c}</math>, karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah <math>y=tan(\pi x - \frac{1}{2}\pi)</math>.
 
== Himpunan kosong ==
Himpunan {''apel, jeruk, mangga, pisang''} memiliki anggota-anggota ''apel'', ''jeruk'', ''mangga'', dan ''pisang''. Himpunan lain, semisal {5, 6} memiliki dua anggota, yaitu bilangan 5 dan 6. Kita boleh mendefinisikan sebuah himpunan yang tidak memiliki anggota apa pun. Himpunan ini disebut sebagai '''himpunan kosong'''.
 
Himpunan kosong tidak memiliki anggota apa pun, ditulis sebagai:
: <math>\varnothing = \{ \, \}</math>
 
== Himpunan lepas ==
 
== Himpunan penyelesaian ==
 
== Himpunan semesta ==
 
== Operasi himpunan ==
Baris 160 ⟶ 71:
=== Gabungan ===
{{utama|Gabungan (teori himpunan)}}
[[Berkas:Venn0111.svg|ka|jmpl|200px|Gabungan antara himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>''.]]
 
Gabungan himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>''. adalah himpunan yang anggotanya adalah anggota ''A'' [[Logika disjungsi|'''atau''']] ''B.'' Dinotasikan <math>A\cup B</math>.
Dua himpunan atau lebih yang digabungkan bersama-sama. Operasi gabungan {{nowrap|1=''A'' ∪ ''B''}} setara dengan ''A'' '''atau''' ''B'', dan anggota himpunannya adalah semua anggota yang termasuk himpunan ''A'' ataupun ''B''.
 
Contoh:
Baris 170 ⟶ 81:
 
Beberapa sifat dasar gabungan:
:* {{nowrap|1=''A'' ∪ ''B'' = ''B'' ∪ ''A''.}}
:* {{nowrap|1=''A'' ∪ (''B'' ∪ ''C'') = (''A'' ∪ ''B'') ∪ ''C''.}}
:* {{nowrap|1=''A'' ⊆ (''A'' ∪ ''B'').}}
:* {{nowrap|1=''A'' ∪ ''A'' = ''A''.}}
:* {{nowrap|1=''A'' ∪ ∅ = ''A''.}}
:* {{nowrap|''A'' ⊆ ''B''}} [[jika dan hanya jika]] {{nowrap|1=''A'' ∪ ''B'' = ''B''.}}
 
=== Irisan ===
{{utama|Irisan (teori himpunan)}}
[[Berkas:Venn0001.svg|ka|jmpl|200px|Irisan antara himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>''.]]
OperasiIrisan irisanhimpunan {{nowrap|1=''<math>A</math>'' ∩ ''B''}} setara dengan ''A'' '''dan''' ''<math>B</math>''. Irisan merupakanadalah himpunan baru yang anggotanya terdiri dariadalah anggota yang dimiliki bersama antara dua atau lebih himpunan yang terhubung. Jika {{nowrap|1=''A'' ∩ ''B''[[Logika = ∅}}, maka konjungsi|dan]]''A'' dan ''B.'' dapatDinotasikan dikatakan<math>A\cap ''disjoint''B</math>. (terpisah).
 
Jika <math>A\cap B=\varnothing</math>, maka ''A'' dan ''B'' dapat dikatakan [[Himpunan saling lepas|saling pisah]].
 
Contoh:
Baris 189 ⟶ 98:
 
Beberapa sifat dasar irisan:
* {{nowrap|1=''A'' ∩ ''B'' = ''B'' ∩ ''A''.}}
:* {{nowrap|1=''A'' ∩ (''B'' ∩ ''C'') = (''A'' ∩ ''B'') ∩ ''C''.}}
:* {{nowrap|''A'' ∩ ''B'' ⊆ ''A''.}}
:* {{nowrap|1=''A'' ∩ ''A'' = ''A''.}}
:* {{nowrap|1=''A'' ∩ ∅ = ∅.}}
:* {{nowrap|''A'' ⊂ ''B''}} [[jika dan hanya jika]] {{nowrap|1=''A'' ∩ ''B'' = ''A''.}}
 
=== Komplemen ===
{{utama|Komplemen (teori himpunan)}}
 
[[Berkas:Venn0100.svg|ka|jmpl|200px|Komplemen B terhadap A.]]
Pelengkap (komplemen) himpunan <math>A</math> adalah himpunan yang anggotanya [[Negasi|bukan]] anggota <math>A</math>. Dinotasikan <math>A^c</math> atau <math>A'</math>.
[[Berkas:Venn1010.svg|ka|jmpl|200px|Komplemen A terhadap U.]]
[[Berkas:Venn0110.svg|ka|jmpl|200px|Beda setangkup himpunan ''A'' dan ''B''.]]
Operasi pelengkap {{nowrap|1=A^C}} setara dengan '''bukan''' ''A'' atau {{nowrap|1=A'}}. Operasi komplemen merupakan operasi yang anggotanya terdiri dari anggota di luar himpunan tersebut.
 
Contoh:
Baris 209 ⟶ 112:
Beberapa sifat dasar komplemen:
:* {{nowrap|1=''A'' \ ''B'' ≠ ''B'' \ ''A''}} untuk {{nowrap|1=''A'' ≠ ''B''}}.
:* {{nowrap|1=''A'' ∪ ''A''′ = ''U''.}}
:* {{nowrap|1=''A'' ∩ ''A''′ = ∅.}}
:* {{nowrap|1=(''A''′)′ = ''A''.}}
:* {{nowrap|1=''A'' \ ''A'' = ∅.}}
:* {{nowrap|1=''U''′ = ∅}} dan {{nowrap|1=∅′ = ''U''.}}
:* {{nowrap|1=''A'' \ ''B'' = ''A'' ∩ ''B''′}}.
 
Ekstensi dariKonsep komplemen adalahdapat diperluas menjadi [[Bedabeda setangkup|diferensi simetris]] (pengurangan himpunan), jika diterapkan untuk himpunan ''A'' dan ''B'' atau {{nowrap|1=''A'' - ''B''}} menghasilkan
:<math>A\,\Delta\,B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A).</math>
 
Baris 224 ⟶ 124:
<!--
Hasil karya al-azhar 29 BSB
-->
[[Berkas:Cartesian Product qtl1.svg|right|thumb|200px|Produk kertesian (perkalian himpunan) A X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.]]
{{gallery
Hasil Kali Kartesian atau perkalian himpunan merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Perkalian himpunan antara ''A'' dan ''B'' didefinisikan dengan ''A'' × ''B''. Anggota himpunan | ''A'' × ''B'' | adalah [[pasangan terurut]] (a,b) dimana a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B.
|width=160 | height=148
|align=center
|Berkas:Venn0100.svg
|Komplemen <math>B</math> terhadap ''<math>A</math>''.
|Berkas:Venn1010.svg
|Komplemen ''<math>A</math>'' terhadap <math>U</math>.
|Berkas:Venn0110.svg
|Beda setangkup himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>''.
}}
 
=== Hasil Kali Kartesian ===
[[Berkas:Cartesian Product qtl1.svg|right|thumb|200px|Produk kertesian (perkalian himpunan) {\displaystyle A} X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.]]
atau perkalian himpunan merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Perkalian himpunan antara ''A'' dan ''B'' didefinisikan dengan ''A'' × ''B''. Anggota himpunan | ''A'' × ''B'' | adalah [[pasangan terurut]] (a,b) dimana a adalah anggota himpunan {\displaystyle A} dan b adalah anggota himpunan B.
 
Contoh:
Baris 237 ⟶ 150:
:* {{nowrap|1=(''A'' ∪ ''B'') × ''C'' = (''A'' × ''C'') ∪ (''B'' × ''C'').}}
:* | ''A'' × ''B'' | = | ''B'' × ''A'' | = | ''A'' | × | ''B'' |.
-->
 
== Lihat juga ==
 
* [[Kelas (teori himpunan)]], himpunan dari himpunan-himpunan.
[[Berkas:Amino Acids Venn Diagram.png|jmpl|Hubungan di antara 8 buah set dengan menggunakan diagram Venn]]
* [[Aljabar himpunan]], sifat-sifat operasi himpunan.
 
* [[Fungsi indikator|Fungsi karakteristik]], fungsi yang menunjukkan apakah sesuatu itu anggota himpunan atau bukan.
== Himpunan kuasa ==
'''Himpunan kuasa''' (''power set'') dari ''A'' adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari ''A''. Notasinya adalah <math>\mathcal{P}(A)</math>.
 
Jika ''A'' = {''apel, jeruk, mangga, pisang''}, maka <math>\mathcal{P}(A)</math>:
{ { },
{''apel''}, {''jeruk''}, {''mangga''}, {''pisang''},
{''apel, jeruk''}, {''apel, mangga''}, {''apel, pisang''},
{''jeruk, mangga''}, {''jeruk, pisang''}, {''mangga, pisang''},
{''apel, jeruk, mangga''}, {''apel, jeruk, pisang''}, {''apel, mangga, pisang''}, {''jeruk, mangga, pisang''},
{''apel, jeruk, mangga, pisang''} }
 
Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari ''A'' adalah 2 pangkat banyaknya anggota ''A''.
: <math>|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}</math>
 
== Kelas ==
Suatu himpunan disebut sebagai '''kelas''', atau '''keluarga himpunan''' jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan <math>A = \{ \{a,\,b\},\, \{c,\,d,\,e,\,f\},\,\{a,\,c\},\,\{,\}\}</math> adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan ''A'', maka himpunan kuasanya, <math>\mathcal{P}(A)</math> adalah sebuah keluarga himpunan.
 
Contoh berikut, <math>P = \{ \{a,\,b\}, c\}</math> bukanlah sebuah kelas, karena mengandung anggota ''c'' yang bukan himpunan.
 
== Fungsi Karakteristik ==
Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah anggota terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.
: <math>\chi_{A}(x) = \begin{cases} 1,\quad\mbox{jika } x \in A \\ 0,\quad\mbox{jika } x \notin A \end{cases}</math>
Jika <math>A = \{apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}</math> maka:
: <math>\chi_A(apel) = 1</math>
: <math>\chi_A(durian) = 0</math>
: <math>\chi_A(utara) = 0</math>
: <math>\chi_A(pisang) = 1</math>
: <math>\chi_A(singa) = 0</math>
Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa <math>\mathcal{P}(S)</math> dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari ''S''. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah anggota dalam himpunan tersebut.
 
=== Representasi Biner ===
Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta ''S'', maka setiap himpunan bagian dari ''S'' bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. [[Bilangan biner]] menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap [[digit]]nya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing anggota ''S'', sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa anggota tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa anggota tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut.
Sebagai contoh, jika himpunan ''S'' = {''a, b, c, d, e, f, g''}, ''A'' = {''a, c, e, f''}, dan B = {''b, c, d, f''}, maka:
 
Himpunan Representasi Biner
---------------------------- -------------------
'''a b c d e f g'''
S = { a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1
A = { a, c, e, f } --> 1 0 1 0 1 1 0
B = { b, c, d, f } --> 0 1 1 1 0 1 0
 
Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti [[union]] (gabungan), [[interseksi]] (irisan), dan [[komplemen]] (pelengkap), karena kita tinggal menggunakan [[operasi bit]] untuk melakukannya. Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler [[Pascal]] dan juga [[Delphi]].
 
== Aljabar himpunan ==
# Hukum komutatif
#* p ∩ q ≡ q ∩ p
#* p ∪ q ≡ q ∪ p
# Hukum asosiatif
#* (p ∩ q) ∩ r ≡ p ∩ (q ∩ r)
#* (p ∪ q) ∪ r ≡ p ∪ (q ∪ r)
# Hukum distributif
#* p ∩ (q ∪ r) ≡ (p ∩ q) ∪ (p ∩ r)
#* p ∪ (q ∩ r) ≡ (p ∪ q) ∩ (p ∪ r)
# Hukum identitas
#* p ∩ S ≡ p
#* p ∪ ∅ ≡ p
# Hukum ikatan
#* p ∩ ∅ ≡ ∅
#* p ∪ S ≡ S
# Hukum negasi
#* p ∩ p' ≡ ∅
#* p ∪ p' ≡ S
# Hukum negasi ganda
#* (p')' ≡ p
# Hukum idempotent
#* p ∩ p ≡ p
#* p ∪ p ≡ p
# Hukum De Morgan
#* (p ∩ q)' ≡ p' ∪ q'
#* (p ∪ q)' ≡ p' ∩ q'
# Hukum penyerapan
#* p ∩ (p ∪ q) ≡ p
#* p ∪ (p ∩ q) ≡ p
# Negasi S dan ∅
#* S' ≡ ∅
#* ∅' ≡ S
 
{{wikibooks|Materi:Himpunan}}
 
== Referensi ==
{{reflist}}
<references />
* Lipschutz, S. ''Set Theory''. McGraw-Hill
* [http://info.borland.com/techpubs/delphi/delphi5/oplg/memory.html Delphi 5 Memory Management] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070805064511/http://info.borland.com/techpubs/delphi/delphi5/oplg/memory.html |date=2007-08-05 }}
 
== Bacaan lanjutan ==
{{Commons|Sets}}
* [[Joseph Dauben|Dauben, Joseph W.]], ''Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite'', Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
* [[Paul Halmos|Halmos, Paul R.]], ''Naive Set Theory'', Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
* Stoll, Robert R., ''Set Theory and Logic'', Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4
* Velleman, Daniel, ''How To Prove It: A Structured Approach'', Cambridge University Press (2006) ISBN 978-0-521-67599-4
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Pengguna:Hadithfajri/Himpunan"