Wikipedia

Pengguna:Hadithfajri/Himpunan: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Hadithfajri (bicara | kontrib)
952 suntingan
Hadithfajri (bicara | kontrib)
952 suntingan
 
(12 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Bak_pasir_pribadi}}
<!-- Sunting di bawah ini! -->[[Berkas:Venn A intersect BVenn_A_intersect_B.svg|jmpl|Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan [[diagram Venn]]]]
Dalam [[matematika]], '''himpunan''' (disebut juga '''kumpulan''', '''kelompok''', '''gugus,''' atau '''set''') dapat ''dibayangkan'' sebagai kumpulan benda berbeda yang [[Definisi|terdefinisi]] dengan jelas dan dipandang sebagai satu kesatuan utuh<ref>{{Cite book|last=Afidah Khairunnisa|date=2018|url=https://scholar.google.co.id/citations?view_op=view_citation&hl=en&user=aX8YzqsAAAAJ&citation_for_view=aX8YzqsAAAAJ:roLk4NBRz8UC|title=Matematika Dasar|location=Depok|publisher=Rajawali Pers|isbn=978-979-769-764-8|url-status=live}}</ref>. Dengan terdefinisi yang jelas itu maka dapat ditentukan dengan tegas apakah suatu objek termasuk anggota suatu himpunan atau bukan.
Irisan dari dua himpunan yang dinyatakan dengan [[diagram Venn]]
|244x244px]]
 
Konsep himpunan seperti saat sekarang ini pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Jerman, [[Georg Cantor]], pada akhir [[abad ke-19]]. Cantor mendefinisikan himpunan sebagai "Hasil usaha pengumpulan beberapa benda yang memiliki suatu ciri pembeda tertentu dan dapat-diperbedakan dalam intuisi atau pikiran kita (benda-benda itu disebut 'anggota'), menjadi suatu kesatuan".<ref name=":2">{{Cite book|last=Hakim.|first=Nasoetion, Andi|date=1982|url=http://worldcat.org/oclc/974924773|title=Landasan matematika|publisher=Bhratara Karya Aksara|oclc=974924773}}</ref><ref>{{Cite book|last=Prof. Dr. Wahyudin M.Pd.|date=2019|url=https://pustaka.ut.ac.id/lib/pema4101-hakikat-dan-sejarah-matematika-edisi-2|title=Hakikat dan Sejarah Matematika|location=Tanggerang Selatan|publisher=Universitas Terbuka|url-status=live}}</ref>
Dalam [[matematika]], '''himpunan''' (disebut juga '''kumpulan''', '''kelompok''', '''gugus,''' atau '''set''') dapat dibayangkan sebagai kumpulan objek berbeda yang memiliki sifat yang dapat [[Definisi|didefinisikan]] dengan jelas<ref>{{Cite book|last=Negoro|first=ST|date=1998|url=https://books.google.co.id/books?id=p5REAAAACAAJ|title=Ensiklopedia matematika|location=Ciawi|publisher=Ghalia Indonesia|isbn=978-979-450-133-7|language=id|url-status=live}}</ref>, atau dengan kata lain himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan.<ref name=":1">{{Cite web|title=Set {{!}} mathematics and logic|url=https://www.britannica.com/topic/set-mathematics-and-logic|website=Encyclopedia Britannica|language=en|access-date=2020-08-21}}</ref>
 
Himpunan merupakan satu di antara konsep [[Fondasi matematika|dasar]] matematika, karena hampir semua aspek matematika dapat dibangun dengan konsep himpunan ini.<ref>{{Cite book|last=Ferreirós|first=José|date=2020|url=https://plato.stanford.edu/archives/sum2020/entries/settheory-early/|title=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Summer 2020}}</ref> Kajian lebih lanjut mengenai himpunan dipelajari dalam [[teori himpunan]].
Konsep himpunan seperti ini pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Jerman, [[Georg Cantor]], pada akhir [[abad ke-19]]. Cantor mendefinisikan himpunan sebagai "Hasil usaha pengumpulan beberapa benda yang memiliki suatu ciri pembeda tertentu dan dapat-diperbedakan dalam intuisi atau pikiran kita (benda-benda itu disebut 'anggota'), menjadi suatu kesatuan".<ref name=":2">{{Cite book|last=Hakim.|first=Nasoetion, Andi|date=1982|url=http://worldcat.org/oclc/974924773|title=Landasan matematika|publisher=Bhratara Karya Aksara|oclc=974924773}}</ref><ref>{{Cite book|last=Prof. Dr. Wahyudin M.Pd.|date=2019|url=https://pustaka.ut.ac.id/lib/pema4101-hakikat-dan-sejarah-matematika-edisi-2|title=Hakikat dan Sejarah Matematika|location=Tanggerang Selatan|publisher=Universitas Terbuka|url-status=live}}</ref>
 
== Himpunan dan anggotanya ==
Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber semua matematika diturunkan.<ref>{{Cite book|last=Ferreirós|first=José|date=2020|url=https://plato.stanford.edu/archives/sum2020/entries/settheory-early/|title=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University|editor-last=Zalta|editor-first=Edward N.|edition=Summer 2020}}</ref>
Himpunan secara sederhana dapat diartikan sebagai kumpulan objek-objek. Pengertian "mengumpulkan" atau "menghimpun" sendiri sudah jelas sebab telah sering dilakukan dalam keseharian''.'' Beberapa organisasi menggunakan kata ''himpunan'' pada namanya menunjukkan hal tersebut <ref>{{Cite book|last=Dumairy|date=2003|title=Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi|location=Yogyakarta|publisher=BPFE|url-status=live}}</ref>. Pengertian himpunan dapat digambarkan sebagai suatu "karung" atau "kotak" yang berisikan unsur-unsurnya<ref>{{Cite book|last=Halmos|first=Paul Richard|date=1960|url=https://books.google.co.id/books?id=-e1LAAAAMAAJ&q=naive+set+theory&dq=naive+set+theory&hl=id&newbks=1&newbks_redir=0&sa=X&ved=2ahUKEwjNlqHSzqj5AhUi3HMBHc9LDnUQ6AF6BAgDEAI|title=Naive Set Theory|publisher=Van Nostrand|isbn=978-3-540-90092-4|language=en}}</ref>. Penggambaran ini dinisbatkan pada [[Richard Dedekind]] <ref>{{Cite journal|last=Oliver|first=Alex|last2=Smiley|first2=Timothy|date=2006|title=What Are Sets and What Are They For?|url=https://www.jstor.org/stable/4494502|journal=Philosophical Perspectives|volume=20|pages=123–155|issn=1520-8583}}</ref>, dan terlukiskan dengan baik dengan diagram [[Diagram Euler|Euler]]-[[Diagram Venn|Venn]].
{{gallery
|width=160 | height=148
|align=center
|Berkas:Example of a set.svg
|Suatu himpunan [[Poligon|segibanyak]]
|Berkas:Box with polygons.svg
|Himpunan yang sama digambarkan dalam "kotak".
|Berkas:Transparent box with polygons.svg
|Himpunan yang sama digambarkan sebagai "kumpulan benda dalam kotak".
}}
Objek dalam suatu himpunan disebut [[Elemen (matematika)|anggota]] (disebut juga elemen atau unsur). Anggota suatu himpunan dapat berupa apa saja, baik itu bilangan, titik, fungsi, dan lain sebagainya. Himpunan juga boleh jadi berisi objek-objek nyata, seperti sekawanan itik di sawah, semua buku di perpustakaan, sekalian hari dalam sepekan, seluruh huruf dalam alfabet, dan kelimapuluhdua kartu dalam satu set remi..
 
Keanggotaan suatu objek dapat dinyatakan dengan notasi <math>\in</math>. Pernyataan dengan notasi <math>a\in S</math> dapat dibaca sebagai "<math>a</math> anggota <math>S</math> "; "<math>a</math> di dalam <math>S</math> " <ref name=":0" />; "<math>a</math> termasuk dalam <math>S</math> " <ref>{{Cite book|last=Walpole|first=Ronald E.|date=1995|title=Pengantar Statistika|location=Jakarta|publisher=Gramedia Pustaka Utama|translator-last=Ir. Bambang Sumantri|url-status=live}}</ref>; atau "<math>a</math> milik himpunan <math>S</math> " <ref>{{Cite book|last=Dr. Jaka Nugraha|date=2020|title=Pengantar Peluang dan Distribusi|location=Sleman|publisher=Deepublish|url-status=live}}</ref>.
== Menyatakan dan menuliskan himpunan ==
 
[[Berkas:Amino Acids Venn Diagram.png|jmpl|Hubungan 8 himpunan [[asam amino]] dengan menggunakan diagram Venn.]]
Objek dalam suatu himpunan disebut [[Elemen (matematika)|anggota]] (disebut juga elemen atau unsur). Notasi <math>\in</math> digunakan untuk menyatakan keanggotaan himpunan. Misalnya pernyataan " <math>a</math> anggota <math>S</math> " ditulis sebagai <math>a\in S</math>, dan dapat juga dibaca "<math>a</math> di dalam <math>S</math> ". [[Negasi|Ingkaran]] pernyataan itutersebut (<math>a</math> bukan anggota <math>S</math>) dapat ditulis sebagai <math>a\not\in S</math>. <ref name=":0">{{Cite book|last=Lipschutz|first=Seymour|date=1995|title=Teori Himpunan|location=Jakarta|publisher=Erlangga|translator-last=Pantur Silaban|url-status=live}}</ref>
 
Nama himpunan lazim ditulis menggunakan huruf besar, misalnya <math display="inline">S</math>'', <math display="inline">A</math>'' atau <math display="inline">C</math>, sementara anggota himpunan ditulis menggunakan huruf kecil (<math display="inline">a</math>, <math display="inline">c</math>, ''<math display="inline">z</math>'').
 
=== Menyatakan dan menuliskan himpunan ===
Himpunan dapat dinyatakan dan dituliskan secara baku<ref name=":3">{{Cite book|last=Marsudi|date=2010-10-08|url=https://books.google.co.id/books/about/Logika_dan_Teori_Himpunan.html?id=6pK0DwAAQBAJ&redir_esc=y|title=Logika dan Teori Himpunan|publisher=Universitas Brawijaya Press|isbn=978-979-8074-51-6|language=id}}</ref> dengan dua cara berikut, yaitu:
[[Berkas:Amino Acids Venn Diagram.png|jmpl|Hubungan 8 himpunan [[asam amino]] dengan menggunakan diagram Venn.|222x222px]]Himpunan dapat dinyatakan dan dituliskan secara baku<ref name=":3">{{Cite book|last=Marsudi|date=2010-10-08|url=https://books.google.co.id/books/about/Logika_dan_Teori_Himpunan.html?id=6pK0DwAAQBAJ&redir_esc=y|title=Logika dan Teori Himpunan|publisher=Universitas Brawijaya Press|isbn=978-979-8074-51-6|language=id}}</ref> dengan dua cara.
* '''Cara pendaftaran''', yaitu menulis semua anggota himpunan dalam [[Tanda kurung|kurung kurawal]], serta antara anggotanya dipisahkan dengan koma. Jika terlampau banyak tetapi mengikuti pola tertentu, dapat digunakan notasi [[elipsis]] (...).
 
: <math>B = \{ apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}</math>
Pertama, '''cara pendaftaran,''' yaitu dengan menulis semua anggota himpunan dalam [[Tanda kurung|kurung kurawal]], serta antara anggotanya dipisahkan dengan koma. Cara ini baik digunakan untuk himpunan dengan banyak anggota berhingga, terutama juka banyaknya lumayan sedikit. Contohnya himpunan buah<math>B = \{ apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}</math>. Tanda koma dapat diganti dengan tanda titik koma apabila perlu untuk menghindari kekeliruan dengan tanda koma bilangan desimal, seperti <math>K = \{0,2;0,4;0,6\}</math>.
: <math>A = \{ a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}</math>
 
: <math>\mathbb{N} = \{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}</math>
Jika terlampau banyak untuk dinyatakan satu-persatu bahkan mungkin tak berhingga, tetapi mengikuti pola tertentu, maka dapat digunakan notasi [[elipsis]] (...). Contohnya himpunan huruf dalam alfabet <math>A = \{ a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}</math> atau himpunan bilangan asli <math>\mathbb{N} = \{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}</math>.
* '''Cara merumuskan''', yaitu dengan mendefinisikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut. Untuk cara ini digunakan [[Notasi ungkapan himpunan|notasi pembentuk himpunan]].
 
Kedua, '''cara merumuskan''', yaitu dengan mendefinisikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut. Untuk cara ini syarat tersebut dapat langsung diperkatakan atau ditulis menggunakan [[Notasi ungkapan himpunan|notasi pembentuk himpunan]].
: <math>O = \{ u\, |\, u \mbox{ adalah bilangan ganjil} \}</math>
: <math>E = \{ x\, |\, x \in \mathbb{Z} \land (x \mbox{ mod } 2 = 0)\}</math>
: <math>P = \{ p\, |\, p \mbox { adalah orang yang pernah menjabat sebagai Presiden RI} \}</math>
== Kesamaan dua himpunan ==
Himpunan juga dapat digambarkan dengan [[diagram Venn]].
Himpunan didefinisikan berdasar objek-objek yang termasuk di dalamnya. Dua himpunan bisa saja sama walau disajikan dengan cara yang berbeda<ref name=":1">{{Cite book|last=Rinaldi Munir|date=2010|title=Matematika Diskrit|location=Bandung|publisher=Informatika Bandung|url-status=live}}</ref>, seperti urutan anggotanya tidak sama atau dua himpunan itu dinyatakan dengan penggambaran yang berbeda. Himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>'' disebut ''[[Kesamaan|sama]]'', jika keduanya memiliki anggota yang sama<ref>{{Cite book|last=Julan Hernadi|date=2021|title=Fondasi Matematika & Metode Pembuktian|location=Ponorogo|publisher=UMPO Press|url-status=live}}</ref>, dengan kata lain: setiap anggota ''<math>A</math>'' adalah anggota ''<math>B</math>'' dan sebaliknya, setiap anggota ''<math>B</math>'' adalah anggota ''<math>A</math>''.
== Himpunan kosong ==
: <math>A = B \equiv \forall_x\; x \in {\displaystyle A} \leftrightarrow x \in B</math>.
{{utama|Himpunan kosong}}
Prinsip kesamaan dua himpunan seperti ini, yakni dengan "membuka seluas-luasnya" kedua himpunan itu sehingga tampak semua anggotanya baru kemudian diperbandingkan, sering dirumuskan sebagai [[aksioma perluasan]]<ref name=":0" />. Dengan prinsip ini kesamaan <math>\{a,b,c \}=\{b,c,a\}</math> dan <math>\{a,b,c\}=\{a,b,b,c,c,c\}</math> dapat diketahui. Perhatikan bahwa urutan tidak berpengaruh dalam himpunan, dan perulangan anggota yang sama hanya dihitung satu kali. Contoh lainnya, kita dapat mengatakan bahwa himpunan tiga bilangan prima pertama sama dengan himpunan akar-akar persamaan <math>x^3-10x^2+31x-30=0</math>. Apabila seluruh anggota kedua himpunan itu didaftarkan, keduanya sama-sama <math>\{2,3,5\}</math>.
 
=== Himpunan bagian ===
Himpunan yang tidak memiliki anggota disebut sebagai '''himpunan kosong,''' ditulis sebagai <math>\varnothing</math> atau <math>\{ \}</math>
[[Berkas:Set_subsetBofA.svg|jmpl|<math>B</math> himpunan bagian (sejati) dari <math>A</math>]]{{utama|Himpunan bagian}}
 
Jika setiap anggota <math>B</math> termasuk dalam <math>A</math>, maka himpunan <math>B</math> dikatakan himpunan bagian dari himpunan <math>A</math>, ditulis sebagai <math>B\subseteq A</math>. Secara formal, definisi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:<blockquote><math> B \subseteq {\displaystyle A} \equiv \forall_x \, x \in B \rightarrow x \in {\displaystyle A} </math>.</blockquote>Dengan menggunakan definisi himpunan bagian, kesamaan dua himpunan juga dapat dinyatakan sebagai berikut:
== Himpunan bagian ==
{{utama|Himpunan bagian}}
[[Berkas:Set subsetBofA.svg|jmpl|<math>B</math> himpunan bagian (sejati) dari <math>A</math>]]
Himpunan <math>B</math> dikatakan himpunan bagian dari himpunan <math>A</math>, ditulis sebagai <math>B\subseteq A</math>, jika setiap anggota <math>B</math> terdapat dalam <math>A</math>. Secara formal, definisi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:<blockquote><math> B \subseteq {\displaystyle A} \equiv \forall_x \, x \in B \rightarrow x \in {\displaystyle A} </math>.</blockquote>Notasi <math>B\subseteq A</math> juga dapat dibaca "Himpunan <math>B</math> termuat<ref name=":3" /> dalam himpunan <math>A</math>" atau "Himpunan <math>B</math> tercakup<ref name=":2" /> dalam himpunan <math>A</math>"
 
Definisi di atas tetap benar untuk <math>B</math> himpunan kosong dan <math>A</math> sebarang himpunan. Sehingga dapat dikatakan himpunan kosong adalah himpunan bagian dari sebarang himpunan <math>A</math>, ditulis <math>\varnothing \subseteq A</math>. Definisi di atas juga membenarkan benar bahwa sebarang himpunan <math>A</math> adalah himpunan bagian dari dirinya sendiri, ditulis <math>A \subseteq A</math>
 
''Himpunan bagian sejati'' dari ''<math>A</math>'' menunjuk pada ''himpunan bagian'' dari ''<math>A</math>'', tetapi tidak mencakup ''<math>A</math>'' sendiri.
: <math>B \subset {\displaystyle A} \equiv B \subseteq {\displaystyle A} \wedge B \neq A</math>
 
Kebalikan dari ''himpunan bagian'' adalah '''superhimpunan''', yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.
: <math>A \supseteq B \equiv B \subseteq A</math>
 
=== Kesamaan dua himpunan ===
Himpunan ''<math>A</math>'' dan ''B'' disebut sama, jika setiap anggota ''<math>A</math>'' adalah anggota ''B'', dan sebaliknya, setiap anggota ''B'' adalah anggota ''<math>A</math>''.
: <math>A = B \equiv \forall_x\; x \in {\displaystyle A} \leftrightarrow x \in B</math>.
Dengan menggunakan definisi himpunan bagian, kesamaan dua himpunan juga dapat dinyatakan sebagai berikut:
: <math>A = B \equiv {\displaystyle A} \subseteq B \wedge B \subseteq A</math>.
Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan <math>A</math> dan ''<math>B</math>'' adalah sama. Pertama, buktikan dahulu <math>A</math> adalah himpunan bagian ''<math>B</math>'', kemudian buktikan bahwa ''<math>B</math>'' adalah himpunan bagian <math>A</math>.
 
== KardinalitasBanyak anggota himpunan ==
{{utama|Kardinalitas}}
 
Kardinalitas suatu himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang ada dalam himpunan tersebut.
 
Secara formal, dua himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>'' memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat korespondensi satu-satu yang memetakan ''<math>A</math>'' pada ''<math>B</math>''.
 
=== Kardinalitas himpunan hingga dan tak hingga ===
Jika suatu himpunan ekivalen dengan himpunan <math>\mathbb{N}</math>, yaitu himpunan semua bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut [[Himpunan terhitung|''himpunan terbilang'']].<ref>{{Cite book|last=Hendra Gunawan|date=2017|title=Menuju Tak Terhingga|location=Bandung|publisher=ITB Press|url-status=live}}</ref> Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas <math>\mathfrak{a}</math>. Jika suatu himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas <math>\mathfrak{a}</math>, maka himpunan tersebut adalah ''himpunan berhingga''.
 
Baris 64 ⟶ 62:
Himpunan yang tidak terhitung disebut himpunan ''tak terhitung''. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas <math>\mathfrak{c}</math>. Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal. Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas <math>\mathfrak{c}</math>, karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah <math display="inline">y=tan(\pi x - \frac{1}{2}\pi)</math>.
 
== Syarat keanggotaan himpunan ==
== Himpunan kuasa ==
Himpunan dapat didefinisikan dengan merumuskan syarat yang harus dipenuhi seluruh anggotanya. Terkadang syarat ini mengikutkan pula dari himpunan semesta mana anggota himpunan baru itu akan diambil. Dengan notasi pembentuk himpunan, secara umum ditulis sebagai
{{utama|Himpunan kuasa}}
:<math>A=\{x\in S\mid P(x)\} </math>
'''Himpunan kuasa''' dari himpunan ''<math>A</math>'' adalah himpunan yang terdiri dari seluruh himpunan bagian dari ''<math>A</math>''. Notasinya adalah <math>\mathcal{P}(A)</math>. Banyaknya anggota yang terkandung dalam himpunan kuasa dari ''<math>A</math>'' adalah 2 pangkat banyaknya anggota ''<math>A</math>''.
yang dapat dibaca "''<math display="inline">A</math>'' adalah himpunan semua anggota himpunan <math>S</math> sedemikian rupa sehingga pernyataan <math>P(x)</math> benar berlaku".
: <math>|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}</math>
 
== Himpunan penyelesaian ==
Himpunan penyelesaian adalah himpunan semua nilai yang memenuhi suatu relasi matematika seperti persamaan atau pertidaksamaaan.<ref>{{Cite book|last=Julan Hernadi|date=2021|title=Fondasi Matematika & Metode Pembuktian|location=Ponorogo|publisher=UMPO Press|url-status=live}}</ref>
 
== Himpunan semesta ==
Dalam penerapan teori himpunan,<ref>{{Cite book|last=Setiadji|date=2009|title=Himpunan & Logika Samar serta Aplikasinya|location=Yogyakarta|publisher=Graha Ilmu|isbn=978-979-756-488-9|url-status=live}}</ref> ''himpunan semesta'' atau ''universum'' atau ''semesta pembicaraan'' adalah himpunan semua objek yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta biasa dilambangkan dengan <math>S</math> (dari "semesta") atau <math>U</math> (dari "universum").
 
Dalam [[Teori himpunan#Teori himpunan aksiomatik|teori himpunan aksomatik]], pengertian himpunan semesta ini tidak ada. "Himpunan beranggotakan semua himpunan" dapat menimbulkan berbagai [[paradoks]], contohnya adalah himpunan berikut:
: <math>A = \{ x\, |\, x \notin A\}</math>
Himpunan <math>A</math> tidak mungkin ada, karena jika <math>A</math> ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin <math>A</math> bisa mengandung anggota tersebut.
 
== Operasi himpunan ==
Baris 133 ⟶ 121:
Contohnya, diferensi simetris antara:
* {7, 8, 9, 10} dan {9, 10, 11, 12} adalah {7, 8, 11, 12}.
* {Ana, Budi, Dedi, Felix} dan {Budi, Cici, Dedi, Ela} adalah {Ana, Cici, Ela, Felix}.
<!--
Hasil karya al-azhar 29 BSB
-->
{{gallery
|width=160 | height=148
|align=center
|Berkas:Venn0100.svg
|Komplemen <math>B</math> terhadap ''<math>A</math>''.
|Berkas:Venn1010.svg
|Komplemen ''<math>A</math>'' terhadap <math>U</math>.
|Berkas:Venn0110.svg
|Beda setangkup himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>''.
}}
 
=== Hasil Kali Kartesian ===
[[Berkas:Cartesian Product qtl1.svg|right|thumb|200px|Produk kertesian (perkalian himpunan) {\displaystyle A} X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.]]
Hasil Kali Kartesian atau perkalian himpunan merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Perkalian himpunan antara ''A'' dan ''B'' didefinisikan dengan ''A'' × ''B''. Anggota himpunan | ''A'' × ''B'' | adalah [[pasangan terurut]] (a,b) dimana a adalah anggota himpunan {\displaystyle A} dan b adalah anggota himpunan B.
 
Contoh:
Baris 148 ⟶ 150:
:* {{nowrap|1=(''A'' ∪ ''B'') × ''C'' = (''A'' × ''C'') ∪ (''B'' × ''C'').}}
:* | ''A'' × ''B'' | = | ''B'' × ''A'' | = | ''A'' | × | ''B'' |.
-->
{| style="margin: 0 auto;"
|[[Berkas:Venn0100.svg|thumb|Komplemen B terhadap ''<math>A</math>''.]]
|[[Berkas:Venn1010.svg|thumb|Komplemen ''<math>A</math>'' terhadap U.|230x230px]]
|[[Berkas:Venn0110.svg|thumb|Beda setangkup himpunan ''<math>A</math>'' dan ''B''.|200x200px]]
|}
 
== Aljabar himpunan ==
Operasi antara dua himpunan atau lebih akan mematuhi berbagai hukum yang merupakan identitas. Beberapa hukum operasi himpunan ini mirip dengan hukum yang berlaku pada operasi bilangan riil. Sehingga hukum-hukum ini juga disebut '''hukum aljabar himpunan'''<ref>{{Cite book|last=Rinaldi Munir|date=2010|title=Matematika Diskrit|location=Bandung|publisher=Informatika Bandung|url-status=live}}</ref>'''.'''
# Hukum komutatif
#* p ∩ q ≡ q ∩ p
#* p ∪ q ≡ q ∪ p
# Hukum asosiatif
#* (p ∩ q) ∩ r ≡ p ∩ (q ∩ r)
#* (p ∪ q) ∪ r ≡ p ∪ (q ∪ r)
# Hukum distributif
#* p ∩ (q ∪ r) ≡ (p ∩ q) ∪ (p ∩ r)
#* p ∪ (q ∩ r) ≡ (p ∪ q) ∩ (p ∪ r)
# Hukum identitas
#* p ∩ S ≡ p
#* p ∪ ∅ ≡ p
# Hukum ikatan
#* p ∩ ∅ ≡ ∅
#* p ∪ S ≡ S
# Hukum negasi
#* p ∩ p' ≡ ∅
#* p ∪ p' ≡ S
# Hukum negasi ganda
#* (p')' ≡ p
# Hukum idempotent
#* p ∩ p ≡ p
#* p ∪ p ≡ p
# Hukum De Morgan
#* (p ∩ q)' ≡ p' ∪ q'
#* (p ∪ q)' ≡ p' ∩ q'
# Hukum penyerapan
#* p ∩ (p ∪ q) ≡ p
#* p ∪ (p ∩ q) ≡ p
# Negasi S dan ∅
#* S' ≡ ∅
#* ∅' ≡ S
== Kelas ==
Suatu himpunan disebut sebagai '''kelas''', atau '''keluarga himpunan''' jika himpunan tersebut terdiri dari himpunan-himpunan. Himpunan <math>A = \{ \{a,\,b\},\, \{c,\,d,\,e,\,f\},\,\{a,\,c\},\,\{,\}\}</math> adalah sebuah keluarga himpunan. Perhatikan bahwa untuk sembarang himpunan ''A'', maka himpunan kuasanya, <math>\mathcal{P}(A)</math> adalah sebuah keluarga himpunan.
 
Contoh berikut, <math>P = \{ \{a,\,b\}, c\}</math> bukanlah sebuah kelas, karena mengandung anggota ''c'' yang bukan himpunan.
 
== Fungsi Karakteristik ==
Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah anggota terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.
: <math>\chi_{A}(x) = \begin{cases} 1,\quad\mbox{jika } x \in {\displaystyle A} \\ 0,\quad\mbox{jika } x \notin {\displaystyle A} \end{cases}</math>
Jika <math>A = \{apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}</math> maka:
: <math>\chi_A(apel) = 1</math>
: <math>\chi_A(durian) = 0</math>
: <math>\chi_A(utara) = 0</math>
: <math>\chi_A(pisang) = 1</math>
: <math>\chi_A(singa) = 0</math>
Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa <math>\mathcal{P}(S)</math> dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari ''S''. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah anggota dalam himpunan tersebut.
 
=== Representasi Biner ===
Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta ''S'', maka setiap himpunan bagian dari ''S'' bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. [[Bilangan biner]] menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap [[digit]]nya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing anggota ''S'', sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa anggota tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa anggota tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut.
Sebagai contoh, jika himpunan ''S'' = {''a, b, c, d, e, f, g''}, ''A'' = {''a, c, e, f''}, dan B = {''b, c, d, f''}, maka:
 
== Lihat juga ==
Himpunan Representasi Biner
---------------------------- -------------------
'''a b c d e f g'''
S = { a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1
A = { a, c, e, f } --> 1 0 1 0 1 1 0
B = { b, c, d, f } --> 0 1 1 1 0 1 0
 
* [[Kelas (teori himpunan)]], himpunan dari himpunan-himpunan.
Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti [[union]] (gabungan), [[interseksi]] (irisan), dan [[komplemen]] (pelengkap), karena kita tinggal menggunakan [[operasi bit]] untuk melakukannya. Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler [[Pascal]] dan juga [[Delphi]]<ref>[http://info.borland.com/techpubs/delphi/delphi5/oplg/memory.html Delphi 5 Memory Management] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070805064511/http://info.borland.com/techpubs/delphi/delphi5/oplg/memory.html|date=2007-08-05}}</ref>.
* [[Aljabar himpunan]], sifat-sifat operasi himpunan.
* [[Fungsi indikator|Fungsi karakteristik]], fungsi yang menunjukkan apakah sesuatu itu anggota himpunan atau bukan.
 
{{wikibooks|Materi:Himpunan}}
== Referensi ==
{{reflist}}
== Bacaan lanjutan ==
{{Commons|Sets}}
* [[Joseph Dauben|Dauben, Joseph W.]], ''Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite'', Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
* [[Paul Halmos|Halmos, Paul R.]], ''Naive Set Theory'', Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
* Stoll, Robert R., ''Set Theory and Logic'', Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4
* Velleman, Daniel, ''How To Prove It: {\displaystyle A} Structured Approach'', Cambridge University Press (2006) ISBN 978-0-521-67599-4
 
== Pranala luar ==
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Pengguna:Hadithfajri/Himpunan"