Wikipedia

Pengguna:Hadithfajri/Himpunan: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Hadithfajri (bicara | kontrib)
952 suntingan
Tidak ada ringkasan suntingan
Hadithfajri (bicara | kontrib)
952 suntingan
 
(4 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan)
Baris 19:
|Himpunan yang sama digambarkan sebagai "kumpulan benda dalam kotak".
}}
Objek dalam suatu himpunan disebut [[Elemen (matematika)|anggota]] (disebut juga elemen atau unsur). Anggota suatu himpunan dapat berupa apa saja, baik itu bilangan, titik, fungsi, dan lain sebagainya. TermasukHimpunan juga boleh jadi berisi objek-objek nyata, seperti sekawanan itik di sawah, semua buku di perpustakaan, sekalian hari dalam sepekan, seluruh huruf dalam alfabet, dan kelimapuluhdua kartu dalam satu set remi..
 
Keanggotaan suatu objek dapat dinyatakan dengan notasi <math>\in</math>. Pernyataan dengan notasi <math>a\in S</math> dapat dibaca sebagai "<math>a</math> anggota <math>S</math> "; "<math>a</math> di dalam <math>S</math> " <ref name=":0" />; "<math>a</math> termasuk dalam <math>S</math> " <ref>{{Cite book|last=Walpole|first=Ronald E.|date=1995|title=Pengantar Statistika|location=Jakarta|publisher=Gramedia Pustaka Utama|translator-last=Ir. Bambang Sumantri|url-status=live}}</ref>; atau "<math>a</math> milik himpunan <math>S</math> " <ref>{{Cite book|last=Dr. Jaka Nugraha|date=2020|title=Pengantar Peluang dan Distribusi|location=Sleman|publisher=Deepublish|url-status=live}}</ref>.
Keanggotaan suatu objek dapat dinyatakan dengan notasi <math>\in</math>. Pernyataan dengan notasi <math>a\in S</math> dapat dibaca:
 
* "<math>a</math> anggota <math>S</math> ";▼
* "<math>a</math> di dalam <math>S</math> " <ref name=":0" />;
* "<math>a</math> termasuk dalam <math>S</math> " <ref>{{Cite book|last=Walpole|first=Ronald E.|date=1995|title=Pengantar Statistika|location=Jakarta|publisher=Gramedia Pustaka Utama|translator-last=Ir. Bambang Sumantri|url-status=live}}</ref>;
* "<math>a</math> milik himpunan <math>S</math> " <ref>{{Cite book|last=Dr. Jaka Nugraha|date=2020|title=Pengantar Peluang dan Distribusi|location=Sleman|publisher=Deepublish|url-status=live}}</ref>.
 
[[Negasi|Ingkaran]] pernyataan tersebut (<math>a</math> bukan anggota <math>S</math>) dapat ditulis sebagai <math>a\not\in S</math>. <ref name=":0">{{Cite book|last=Lipschutz|first=Seymour|date=1995|title=Teori Himpunan|location=Jakarta|publisher=Erlangga|translator-last=Pantur Silaban|url-status=live}}</ref>
Baris 39 ⟶ 34:
Jika terlampau banyak untuk dinyatakan satu-persatu bahkan mungkin tak berhingga, tetapi mengikuti pola tertentu, maka dapat digunakan notasi [[elipsis]] (...). Contohnya himpunan huruf dalam alfabet <math>A = \{ a,\,b,\,c,\,...,\,y,\,z\}</math> atau himpunan bilangan asli <math>\mathbb{N} = \{1,\,2,\,3,\,4,\,...\}</math>.
 
Kedua, '''cara merumuskan''', yaitu dengan mendefinisikan sifat-sifat yang harus dipenuhi oleh setiap anggota himpunan tersebut. Untuk cara ini digunakansyarat tersebut dapat langsung diperkatakan atau ditulis menggunakan [[Notasi ungkapan himpunan|notasi pembentuk himpunan]].
: <math>O = \{ u\, |\, u \mbox{ adalah bilangan ganjil} \}</math>
: <math>E = \{ x\, |\, x \in \mathbb{Z} \land (x \mbox{ mod } 2 = 0)\}</math>
Baris 46 ⟶ 41:
Himpunan didefinisikan berdasar objek-objek yang termasuk di dalamnya. Dua himpunan bisa saja sama walau disajikan dengan cara yang berbeda<ref name=":1">{{Cite book|last=Rinaldi Munir|date=2010|title=Matematika Diskrit|location=Bandung|publisher=Informatika Bandung|url-status=live}}</ref>, seperti urutan anggotanya tidak sama atau dua himpunan itu dinyatakan dengan penggambaran yang berbeda. Himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>'' disebut ''[[Kesamaan|sama]]'', jika keduanya memiliki anggota yang sama<ref>{{Cite book|last=Julan Hernadi|date=2021|title=Fondasi Matematika & Metode Pembuktian|location=Ponorogo|publisher=UMPO Press|url-status=live}}</ref>, dengan kata lain: setiap anggota ''<math>A</math>'' adalah anggota ''<math>B</math>'' dan sebaliknya, setiap anggota ''<math>B</math>'' adalah anggota ''<math>A</math>''.
: <math>A = B \equiv \forall_x\; x \in {\displaystyle A} \leftrightarrow x \in B</math>.
Prinsip kesamaan dua himpunan seperti ini, yakni dengan "membuka seluas-luasnya" kedua himpunan itu sehingga tampak semua anggotanya baru kemudian diperbandingkan, sering dirumuskan sebagai [[aksioma perluasan]]<ref name=":0" />. Dengan prinsip ini kesamaan <math>\{a,b,c \}=\{b,c,a\}</math> dan <math>\{a,b,c\}=\{a,b,b,c,c,c\}</math> dapat diketahui. Perhatikan bahwa urutan tidak berpengaruh dalam himpunan, dan perulangan anggota yang sama hanya dihitung satu kali. Contoh lainnya, kita dapat mengatakan bahwa himpunan tiga bilangan prima pertama sama dengan himpunan akar-akar persamaan <math>x^3-10x^2+31x-30=0</math>. Apabila seluruh anggota kedua himpunan itu didaftarkan, keduanya sama-sama <math>\{2,3,5\}</math>.
Prinsip kesamaan dua himpunan setelah keduanya "dibuka seluas-luasnya" sehingga tampaklah semua anggotanya seperti ini sering dirumuskan sebagai [[aksioma perluasan]]<ref name=":0" />.
 
=== Himpunan bagian ===▼
Dengan prinsip ini dapat kita mengetahui kesamaan <math>\{a,b,c \}=\{b,c,a\}</math> dan <math>\{a,b,c\}=\{a,b,b,c,c,c\}</math>. Catat bahwa urutan tidak berpengaruh dalam himpunan, dan perulangan anggota yang sama hanya dihitung satu.
[[Berkas:Set subsetBofASet_subsetBofA.svg|jmpl|<math>B</math> himpunan bagian (sejati) dari <math>A</math>]]{{utama|Himpunan bagian}}▼
 
HimpunanJika setiap anggota <math>B</math> dikatakantermasuk himpunan bagian dari himpunandalam <math>A</math>, ditulismaka sebagaihimpunan <math>B\subseteq A</math>, jikadikatakan setiaphimpunan anggotabagian dari himpunan <math>BA</math>, terdapatditulis dalamsebagai <math>B\subseteq A</math>. Secara formal, definisi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:<blockquote><math> B \subseteq {\displaystyle A} \equiv \forall_x \, x \in B \rightarrow x \in {\displaystyle A} </math>.</blockquote>NotasiDengan <math>B\subseteqmenggunakan A</math>definisi jugahimpunan dapatbagian, dibacakesamaan "Himpunan <math>B</math> termuat<ref name=":3" /> dalamdua himpunan <math>A</math>"juga ataudapat "Himpunandinyatakan <math>B</math>sebagai tercakup<ref name="berikut:2" /> dalam himpunan <math>A</math>"▼
Contoh lainnya, kita dapat mengatakan bahwa himpunan tiga bilangan prima pertama sama dengan himpunan akar-akar persamaan <math>x^3-10x^2+31x-30=0</math>. Apabila seluruh anggota kedua himpunan itu didaftarkan, keduanya sama-sama <math>\{2,3,5\}</math>.
 
▲== Himpunan bagian ==
{{utama|Himpunan bagian}}
▲[[Berkas:Set subsetBofA.svg|jmpl|<math>B</math> himpunan bagian (sejati) dari <math>A</math>]]
▲Himpunan <math>B</math> dikatakan himpunan bagian dari himpunan <math>A</math>, ditulis sebagai <math>B\subseteq A</math>, jika setiap anggota <math>B</math> terdapat dalam <math>A</math>. Secara formal, definisi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:<blockquote><math> B \subseteq {\displaystyle A} \equiv \forall_x \, x \in B \rightarrow x \in {\displaystyle A} </math>.</blockquote>Notasi <math>B\subseteq A</math> juga dapat dibaca "Himpunan <math>B</math> termuat<ref name=":3" /> dalam himpunan <math>A</math>" atau "Himpunan <math>B</math> tercakup<ref name=":2" /> dalam himpunan <math>A</math>"
 
Definisi di atas tetap benar untuk <math>B</math> himpunan kosong dan <math>A</math> sebarang himpunan. Sehingga dapat dikatakan himpunan kosong adalah himpunan bagian dari sebarang himpunan <math>A</math>, ditulis <math>\varnothing \subseteq A</math>. Definisi di atas juga membenarkan benar bahwa sebarang himpunan <math>A</math> adalah himpunan bagian dari dirinya sendiri, ditulis <math>A \subseteq A</math>
 
''Himpunan bagian sejati'' dari ''<math>A</math>'' menunjuk pada ''himpunan bagian'' dari ''<math>A</math>'', tetapi tidak mencakup ''<math>A</math>'' sendiri.
: <math>B \subset {\displaystyle A} \equiv B \subseteq {\displaystyle A} \wedge B \neq A</math>
 
Kebalikan dari ''himpunan bagian'' adalah '''superhimpunan''', yaitu himpunan yang lebih besar yang mencakup himpunan tersebut.
: <math>A \supseteq B \equiv B \subseteq A</math>
Dengan menggunakan definisi himpunan bagian, kesamaan dua himpunan juga dapat dinyatakan sebagai berikut:
: <math>A = B \equiv {\displaystyle A} \subseteq B \wedge B \subseteq A</math>.
Definisi di atas sangat berguna untuk membuktikan bahwa dua himpunan <math>A</math> dan ''<math>B</math>'' adalah sama. Pertama, buktikan dahulu <math>A</math> adalah himpunan bagian ''<math>B</math>'', kemudian buktikan bahwa ''<math>B</math>'' adalah himpunan bagian <math>A</math>.
 
== KardinalitasBanyak anggota himpunan ==
{{utama|Kardinalitas}}
 
Kardinalitas suatu himpunan dapat dimengerti sebagai ukuran banyaknya anggota yang ada dalam himpunan tersebut.
 
Secara formal, dua himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>'' memiliki kardinalitas yang sama, jika terdapat korespondensi satu-satu yang memetakan ''<math>A</math>'' pada ''<math>B</math>''.
 
=== Kardinalitas himpunan hingga dan tak hingga ===
Jika suatu himpunan ekivalen dengan himpunan <math>\mathbb{N}</math>, yaitu himpunan semua bilangan asli, maka himpunan tersebut disebut [[Himpunan terhitung|''himpunan terbilang'']].<ref>{{Cite book|last=Hendra Gunawan|date=2017|title=Menuju Tak Terhingga|location=Bandung|publisher=ITB Press|url-status=live}}</ref> Kardinalitas dari himpunan tersebut disebut sebagai kardinalitas <math>\mathfrak{a}</math>. Jika suatu himpunan memiliki kardinalitas yang kurang dari kardinalitas <math>\mathfrak{a}</math>, maka himpunan tersebut adalah ''himpunan berhingga''.
 
Baris 81 ⟶ 62:
Himpunan yang tidak terhitung disebut himpunan ''tak terhitung''. Contoh dari himpunan ini adalah himpunan semua bilangan riil. Kardinalitas dari himpunan jenis ini disebut sebagai kardinalitas <math>\mathfrak{c}</math>. Pembuktian bahwa bilangan riil tidak denumerabel dapat menggunakan pembuktian diagonal. Himpunan bilangan riil dalam interval (0,1) juga memiliki kardinalitas <math>\mathfrak{c}</math>, karena terdapat korespondensi satu-satu dari himpunan tersebut dengan himpunan seluruh bilangan riil, yang salah satunya adalah <math display="inline">y=tan(\pi x - \frac{1}{2}\pi)</math>.
 
== Syarat keanggotaan himpunan ==
== Himpunan semesta ==
Himpunan dapat didefinisikan dengan merumuskan syarat yang harus dipenuhi seluruh anggotanya. Terkadang syarat ini mengikutkan pula dari himpunan semesta mana anggota himpunan baru itu akan diambil. Dengan notasi pembentuk himpunan, secara umum ditulis sebagai
Dalam penerapan teori himpunan,<ref>{{Cite book|last=Setiadji|date=2009|title=Himpunan & Logika Samar serta Aplikasinya|location=Yogyakarta|publisher=Graha Ilmu|isbn=978-979-756-488-9|url-status=live}}</ref> ''himpunan semesta'' atau ''universum'' atau ''semesta pembicaraan'' adalah himpunan semua objek yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta biasa dilambangkan dengan <math>S</math> (dari "semesta") atau <math>U</math> (dari "universum").
: <math>A = \{ x\,in |S\,mid P(x )\notin} A\}</math>▼
 
yang dapat dibaca "''<math display="inline">A</math>'' adalah himpunan semua anggota himpunan <math>S</math> sedemikian rupa sehingga pernyataan <math>P(x)</math> benar berlaku".
Dalam [[Teori himpunan#Teori himpunan aksiomatik|teori himpunan aksomatik]], pengertian himpunan semesta ini tidak ada. "Himpunan beranggotakan semua himpunan" dapat menimbulkan berbagai [[paradoks]], contohnya adalah himpunan berikut:
▲: <math>A = \{ x\, |\, x \notin A\}</math>
Himpunan <math>A</math> tidak mungkin ada, karena jika <math>A</math> ada, berarti harus mengandung anggota yang bukan merupakan anggotanya. Namun jika bukan anggotanya, lalu bagaimana mungkin <math>A</math> bisa mengandung anggota tersebut.
 
== Operasi himpunan ==
Baris 146 ⟶ 125:
Hasil karya al-azhar 29 BSB
-->
{{gallery
|width=160 | height=148
|align=center
|Berkas:Venn0100.svg
▲*|Komplemen "<math>aB</math> anggotaterhadap ''<math>SA</math> ";''.
|Berkas:Venn1010.svg
|[[Berkas:Venn1010.svg|thumb|Komplemen ''<math>A</math>'' terhadap <math>U</math>.|230x230px]]▼
|Berkas:Venn0110.svg
|[[Berkas:Venn0110.svg|thumb|Beda setangkup himpunan ''<math>A</math>'' dan ''<math>B</math>''.|200x200px]]▼
|}}▼
 
=== Hasil Kali Kartesian ===
[[Berkas:Cartesian Product qtl1.svg|right|thumb|200px|Produk kertesian (perkalian himpunan) {\displaystyle A} X B (A dan B) dan anggota himpunan A={x,y,z} dan B={1,2,3}.]]
Hasil Kali Kartesian atau perkalian himpunan merupakan operasi yang menggabungkan anggota suatu himpunan dengan himpunan lainnya. Perkalian himpunan antara ''A'' dan ''B'' didefinisikan dengan ''A'' × ''B''. Anggota himpunan | ''A'' × ''B'' | adalah [[pasangan terurut]] (a,b) dimana a adalah anggota himpunan {\displaystyle A} dan b adalah anggota himpunan B.
 
Contoh:
Baris 159 ⟶ 150:
:* {{nowrap|1=(''A'' ∪ ''B'') × ''C'' = (''A'' × ''C'') ∪ (''B'' × ''C'').}}
:* | ''A'' × ''B'' | = | ''B'' × ''A'' | = | ''A'' | × | ''B'' |.
 
{| style="margin: 0 auto;"
|[[Berkas:Venn0100.svg|thumb|Komplemen B terhadap ''<math>A</math>''.|222x222px]]
▲|[[Berkas:Venn1010.svg|thumb|Komplemen ''<math>A</math>'' terhadap U.|230x230px]]
▲|[[Berkas:Venn0110.svg|thumb|Beda setangkup himpunan ''<math>A</math>'' dan ''B''.|200x200px]]
▲|}
 
<!--
== Fungsi Karakteristik ==
{{utama|Fungsi indikator}}
 
Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah anggota terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.▼
: <math>\chi_{A}(x) = \begin{cases} 1,\quad\mbox{jika } x \in {\displaystyle A} \\ 0,\quad\mbox{jika } x \notin {\displaystyle A} \end{cases}</math>
Jika <math>A = \{apel,\,jeruk,\,mangga,\,pisang\}</math> maka:
: <math>\chi_A(apel) = 1</math>
: <math>\chi_A(durian) = 0</math>
: <math>\chi_A(utara) = 0</math>
: <math>\chi_A(pisang) = 1</math>
: <math>\chi_A(singa) = 0</math>
Terdapat korespondensi satu-satu antara himpunan kuasa <math>\mathcal{P}(S)</math> dengan himpunan dari semua fungsi karakteristik dari ''S''. Hal ini mengakibatkan kita dapat menuliskan himpunan sebagai barisan bilangan 0 dan 1, yang menyatakan ada tidaknya sebuah anggota dalam himpunan tersebut.
 
=== Representasi Biner ===
Jika konteks pembicaraan adalah pada sebuah himpunan semesta ''S'', maka setiap himpunan bagian dari ''S'' bisa dituliskan dalam barisan angka 0 dan 1, atau disebut juga bentuk biner. [[Bilangan biner]] menggunakan angka 1 dan 0 pada setiap [[digit]]nya. Setiap posisi bit dikaitkan dengan masing-masing anggota ''S'', sehingga nilai 1 menunjukkan bahwa anggota tersebut ada, dan nilai 0 menunjukkan bahwa anggota tersebut tidak ada. Dengan kata lain, masing-masing bit merupakan fungsi karakteristik dari himpunan tersebut.
Sebagai contoh, jika himpunan ''S'' = {''a, b, c, d, e, f, g''}, ''A'' = {''a, c, e, f''}, dan B = {''b, c, d, f''}, maka:
 
Himpunan Representasi Biner
---------------------------- -------------------
'''a b c d e f g'''
S = { a, b, c, d, e, f, g } --> 1 1 1 1 1 1 1
A = { a, c, e, f } --> 1 0 1 0 1 1 0
B = { b, c, d, f } --> 0 1 1 1 0 1 0
 
Cara menyatakan himpunan seperti ini sangat menguntungkan untuk melakukan operasi-operasi himpunan, seperti [[union]] (gabungan), [[interseksi]] (irisan), dan [[komplemen]] (pelengkap), karena kita tinggal menggunakan [[operasi bit]] untuk melakukannya. Representasi himpunan dalam bentuk biner dipakai oleh kompiler-kompiler [[Pascal]] dan juga [[Delphi]]<ref>[http://info.borland.com/techpubs/delphi/delphi5/oplg/memory.html Delphi 5 Memory Management] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070805064511/http://info.borland.com/techpubs/delphi/delphi5/oplg/memory.html|date=2007-08-05}}</ref>.
 
-->
 
== Lihat juga ==
 
* [[Kelas (teori himpunan)]], himpunan dari himpunan-himpunan.
* [[Aljabar himpunan]], sifat-sifat operasi himpunan.
▲* [[Fungsi indikator|Fungsi karakteristik]], fungsi yang menunjukkan apakah sebuahsesuatu anggotaitu terdapat dalam sebuahanggota himpunan atau tidakbukan.
 
== Referensi ==
Baris 203 ⟶ 161:
== Bacaan lanjutan ==
{{Commons|Sets}}
* [[Joseph Dauben|Dauben, Joseph W.]], ''Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite'', Boston: Harvard University Press (1979) ISBN 978-0-691-02447-9.
* [[Paul Halmos|Halmos, Paul R.]], ''Naive Set Theory'', Princeton, N.J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
* Stoll, Robert R., ''Set Theory and Logic'', Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4
* Velleman, Daniel, ''How To Prove It: A Structured Approach'', Cambridge University Press (2006) ISBN 978-0-521-67599-4
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Pengguna:Hadithfajri/Himpunan"