Wikipedia

Frustum: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.339 suntingan
nowiki dan templat math yang sedikit merusak templat
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.339 suntingan
Tidak ada ringkasan suntingan
 
(16 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Infobox polyhedron
{{Rough translation|1=en|listed=yes|date=Mei 2020|2=Frustum}}
| name = Kumpulan frustum <math>n</math>-gonal siku-siku berbentuk limas
{{Unreferenced|date=Mei 2020}}{{Infobox polyhedron
| image = [[Berkas:CroppedConePentagonal frustum.svg|110px]][[Berkas:Usech kvadrat piramid.png|110px]]▼
| name = Frustum
| caption = Contoh: Frustum [[pentagonal]] dan [[persegi]] siku-siku<br>({{math|1=''n'' = 5}} dan {{math|1=''n'' = 4}})▼
▲| image = [[Berkas:CroppedCone.svg|110px]][[Berkas:Usech kvadrat piramid.png|110px]]
▲| caption = Contoh: Frustum [[pentagonal]] dan [[persegi]] siku-siku<br>({{math|1=''n''=5}} dan {{math|1=''n''=4}})
| faces = <math>n</math> [[trapesium]] sama kaki, 2 [[poligon beraturan]]
| edges = <math>3n</math>
Baris 11 ⟶ 10:
| properties = cembung
}}
Dalam [[geometri]], '''frustum''' adalah suatu bagian dari [[bangun ruang]] seperti [[kerucut]] atau [[limas]], yang terletak di antara dua [[Bidang (matematika)|bidang]] [[sejajar]] yang memotongnya. Dalam kasus limas, [[Muka (geometri)|muka]] [[Alas (geometri)|alas]] berupa [[poligon]], dan muka [[Sisi (geometri)|sisi]] berupa [[trapesium]]. '''Frustum siku-siku''' adalah pemenggalan [[limas siku-siku]] atau kerucut siku-siku [[Pemenggalan (geometri)|terpenggal]], yang tegak lurus dengan garis sumbunya.<ref>William F. Kern, James R. Bland, ''Solid Mensuration with proofs'', 1938, phlm. 67.</ref> PemenggalanBangun bangunanterpenggal tersebut yang bukantidak siku-sikutegak lurus dengan garis sumbunya disebut '''frustum bukan siku-siku'''.
 
== Rumus frustum kerucut ==
=== Garis pelukis ===
<math>s = \sqrt{(r_1-r_2)^2+t^2}</math>
 
=== Luas alasVolume ===
Rumus [[volume]] frustum persegi berbentuk limas diperkenalkan oleh [[matematika Mesir kuno]], yang dikenal sebagai [[Papirus Matematika Moskwa|Moskow Matematika Papirus]], yang ditulis pada [[Dinasti ke-13 Mesir|dinasti ke-13]] (sekitar 1850 SM):<math display="block">V = \frac{h}{3} (a^2 + a b +b^2).</math>dengan <math>a</math> dan <math>b</math> masing-masing menyatakan panjang [[Alas (geometri)|alas]] dan panjang sisi di atas, serta <math>h</math> menyatakan tinggi. Orang Mesir mengetahui rumus yang tepat untuk volume limas persegi penggal, tetapi belum ada bukti dari persamaan tersebut dalam papirus Moskow.
;bawah
[[Berkas:Frustum_with_symbols.svg|al=Pyramidal frustum|jmpl|224x224px|Frustum limas]]
:<math>L = \pi r_1^2</math>
[[Volume]] frustum [[kerucut]] atau [[limas]] merupakan volume bangun ruang sebelum mengiris bagian puncaknya, yang kemudian dikurangi volume bagian puncak:<math display="block">V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3},</math>dengan <math>B_1</math> menyatakan luas alas, dan <math>B_2</math> menyatakan luas sisi di bagian atas frustum; serta <math>h_1</math> menyatakan garis tinggi yang tegak lurus dari titik puncak ke alas, dan <math>h_2</math> menyatakan garis tinggi yang tegak lurus dari titik puncak ke sisi di bagian atas frustum. Dengan memisalkan bahwa<math display="block">\frac{B_1}{h_1^2}=\frac{B_2}{h_2^2}=\frac{\sqrt{B_1 B_2}}{h_1 h_2} = \alpha,</math>maka rumus volume dapat dinyatakan sebagai sepertiga hasil kali kesebandingan <math>\alpha</math> dan selisih kubik dari <math>h_1</math> dan <math>h_2</math>, yang ditulis sebagai<math display="block">V = \frac{h_1 \alpha h_1^2 - h_2 \alpha h_2^2}{3} = \frac{\alpha}{3}(h_1^3 - h_2^3).</math>Dengan menggunakan identitas <math>a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2)</math>, maka diperoleh <math display="block">V = (h_1 - h_2)\alpha \frac{(h_1^2 + h_1 h_2 + h_2^2)}{3},</math>dengan <math>h = h_1 - h_2</math> menyatakan tinggi frustum. Kemudian, dengan mendistribusikan <math>\alpha</math> dan mensubstitusikan dari definisinya, [[rata-rata Heron]] dari luas <math>B_1</math> dan <math>B_2</math> akan memberikan rumus volume frustum lainnya, yaitu:<math display="block">V = \frac{h}{3}(B_1+\sqrt{B_1 B_2}+B_2).</math>
 
[[Heron dari Aleksandria]] adalah seorang matematikawan yang disematkan dengan penemuannya akan rumus volume frustum ini. Dengan menggunakan rumus tersebut, Heron menemukan [[satuan imajiner]], akar kuadrat dari negatif satu.<ref>Nahin, Paul. ''An Imaginary Tale: The story of {{sqrt|−1}}.'' Princeton University Press. 1998</ref>
;atas
:<math>L = \pi r_2^2</math>
 
=== Luas selimut ===
[[Berkas:CroppedCone.svg|jmpl|Frustum pada kerucut]]
[[Berkas:Tronco cono 3D.stl|jmpl|model 3D dari kerucut.]]
 
Untuk frustum berbentuk kerucut melingkar kanan
:<math>\begin{align}L = \pi (r_1+r_2)s = \pi (r_1+r_2) \sqrt{(r_1-r_2)^2+t^2}\end{align}</math>
 
Secara khusus, volume frustum kerucut melingkar dirumuskan sebagai<math display="block">V = \frac{\pi h}{3}(r_1^2+r_1 r_2+r_2^2),</math>dengan <math>\pi</math> adalah konstanta yang bernilai 3,14159265...; serta <math>r_1</math> menyatakan [[jari-jari]] alas, dan <math>r_2</math> menyatakan jari-jari sisi di bagian atas frustum. Volume frustum limas yang alasnya merupakan [[poligon]] (segi-<math>n</math>) beraturan dirumuskan sebagai<math display="block">V= \frac{nh}{12} (a_1^2+a_1a_2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n},</math>dengan <math>a_1</math> menyatakan panjang alas dan <math>a_2</math> menyatakan panjang sisi di bagian atas frustum.
=== Luas permukaan ===
[[Berkas:CroppedCone.svg|jmpl|Frustum kerucut]]Untuk frustum kerucut melingkar siku-siku, dipunyai<ref>{{cite journal|last1=Al-Sammarraie|first1=Ahmed T.|last2=Vafai|first2=Kambiz|date=2017|title=Heat transfer augmentation through convergence angles in a pipe|journal=Numerical Heat Transfer, Part A: Applications|volume=72|issue=3|page=197−214|doi=10.1080/10407782.2017.1372670|s2cid=125509773}}</ref><math display="block">\text{Luas permukaan samping} =\pi\left(r_1+r_2\right)s =\pi\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2},</math>dan<math display="block">\text{Luas permukaan total} = \pi (r_1^2+r_2^2 + (r_1+r_2)s) = \pi \left(r_1^2+r_2^2 + (r_1+r_2) \sqrt{(r_1-r_2)^2+h^2}\right),</math>dengan <math>r_1</math> menyatakan [[jari-jari]] alas, dan <math>r_2</math> menyatakan jari-jari sisi di bagian atas frustum; serta <math>s</math> menyatakan garis tinggi miring frustum. Luas permukaan frustum siku-siku yang alasnya merupakan poligon (segi-<math>n</math>) beraturan dirumuskan sebagai<math display="block">L = \frac{n}{4} \left[(a_1^2+a_2^2) \cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{(a_1^2-a_2^2)^2 \sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2(a_1+a_2)^2} \right],</math>dengan <math>a_1</math> dan <math>a_2</math> menyatakan sisi di dua alas frustum.
:<math>L = L_{ab} + L_{ab} + L_s</math>
:<math>\begin{align} L = \pi (r_1^2+r_2^2 + (r_1+r_2)s)\\
= \pi (r_1^2+r_2^2 + (r_1+r_2) \sqrt{(r_1-r_2)^2+t^2})\end{align}</math>
 
di mana r1 dan r2 adalah jari-jari dasar dan atas, dan s adalah ketinggian miring dari frustum.
 
Luas permukaan dari frustum hak yang basis reguler mirip n- sisi [[poligon]] [luas permukaan polihedron sisi-n] adalah
:<math>L = \frac{n}{4} \left[(a_1^2+a_2^2) \cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{(a_1^2-a_2^2)^2 \sec^2 \frac{\pi}{n}+4 t^2(a_1+a_2)^2} \right]</math>
 
=== Volume ===
Rumus volume frustum dari piramida kuadrat diperkenalkan oleh matematika Mesir kuno dalam apa yang disebut Moskow Matematika Papirus, yang ditulis dalam dinasti ke-13 (sekitar 1850 SM):
:<math>V = \frac{1}{3} t(a^2 + a b +b^2).</math>
di mana ''a'' dan ''b'' adalah panjang sisi dasar dan atas dari piramida terpotong, dan t adalah tinggi. Orang Mesir tahu formula yang tepat untuk mendapatkan volume piramida kuadrat terpotong, tetapi tidak ada bukti dari persamaan ini yang diberikan dalam papirus Moskow.
 
[[Volume]] dari frustum [[kerucut]] atau [[limas]] adalah volume padat sebelum mengiris puncak off, dikurangi volume puncak:
:<math>V = \frac{t_1 B_1 - t_2 B_2}{3}</math>
di mana ''B''1 adalah area dari satu basis, ''B''2 adalah area dari basis yang lain, dan ''t''1 , ''t''2 adalah ketinggian tegak lurus dari puncak ke bidang dari dua basis.
 
Mengingat bahwa
:<math>\frac{B_1}{t_1^2}=\frac{B_2}{t_2^2}=\frac{\sqrt{B_1 B_2}}{t_1 t_2} = \alpha</math>,
rumus untuk volume dapat dinyatakan sebagai produk proporsionalitas ini α/3 dan perbedaan kubus dengan ketinggian t1 dan t2 saja.
 
:<math>V = \frac{t_1 \alpha t_1^2 - t_2 \alpha t_2^2}{3} = \frac{\alpha}{3}(t_1^3 - t_2^3)</math>
 
Dengan memfaktorkan perbedaan dua kubus <math>(a^3 - b^3 = (a - b) (a^2 + ab + b^2))</math> seseorang mendapat t1-t2 = t, ketinggian frustum, dan <math>\alpha \times \frac{(t_1^2 + t_1 t_2 + t_2^2)}{3}</math>.
 
Mendistribusikan α dan menggantikannya dari definisinya, rata Heronian dari daerah B1 dan B2 diperoleh. Karena itu, formula alternatifnya
 
:<math>V = \frac{t}{3}(B_1+\sqrt{B_1 B_2}+B_2)</math>.
 
Bangau Aleksandria terkenal karena menurunkan formula ini dan dengan itu berhadapan dengan bilangan imajiner, akar kuadrat dari bilangan negatif.
 
Secara khusus, volume frustum kerucut melingkar adalah
:<math>V = \frac{\pi t}{3}(r_1^2+r_1 r_2+r_2^2)</math>
di mana [[π]] adalah 3.14159265 ..., dan r1, r2 adalah [[jari - jari]] kedua pangkalan.
 
[[Berkas:Frustum with symbols.svg|ka|x400px|Pyramidal frustum]]
 
Volume dari suatu piramidal frustum yang basisnya adalah n- sisi [volume polihedron sisi-n] adalah poligon reguler
:<math>V= \frac{nt}{12} (a_1^2+a_1a_2+a_2^2)\cot \frac{\pi}{n}</math>
 
== Contoh ==
[[Berkas:Rolo-Candies-US.jpg|jmpl|200px|[[Rolo]] brand chocolates approximate a right circular conic frustum, although not flat on top. ]]
 
== Lihat pula ==
* [[Frustum bola]]
* [[Frustum limas]]
* [[Frustum polihedron]]
 
== Referensi ==
 
{{reflist|30em}}
[[Kategori:Polihedron]]
[[Kategori:Polihedron prisamtoid]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Frustum"