Tindakan grup (matematika): Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], '''grup aksi''' atau disebut juga '''aksitindakan grup''' pada [[ruang (matematika) | ruang]] adalah [[homomorfisme grup]] dari [[grup (matematika) | grup]] tertentu ke dalam grup [[transformasi (geometri) | transformasi]] ruang. Demikian pula, tindakan kelompok pada [[struktur matematika]] adalah kelompok homomorfisme dari suatu kelompok ke dalam [[grup automorfisme]] dari struktur. Dikatakan bahwa grup '' bertindak '' pada ruang atau struktur. Jika suatu grup bertindak pada suatu struktur, biasanya juga akan bertindak atas objek yang dibangun dari struktur. Misalnya, kelompok [[Isometri Euklides | Isometri Euklid]] bekerja pada [[Ruang Euklidean]] dan juga pada gambar yang digambar di dalamnya. Secara khusus, ia bekerja pada himpunan dari semua [[segitiga]]. Demikian pula, kelompok [[simetri]] dari sebuah [[polihedron]] bekerja pada [[simpul (geometri) | simpul]], [[sisi (geometri) | tepi]], dan [[wajah (geometri) | wajah]] dari polyhedron.

Tindakan grup pada [[ruang vektor]] (berdimensi-hingga)] disebut [[RepresentasiWakilan grup | representasiwakilan]] dari grup. Ini memungkinkan seseorangsalah satunya untuk mengidentifikasi banyak grup dengan subkelompok [[Grup linear umum|{{math|GL(''n'', ''K'')}}]], kelompok [[matriks yang dapat dibalik]] dengan dimensi {{mvar | n}} di atas [[Bidang (matematika) | bidang]] {{mvar | K}}.

[[Grup simetris]] {{mvar|S{{sub|n}}}} bertindak pada setiap [[himpunan (matematika) | himpunan]] dengan elemen {{mvar | n}} dengan menggunakan elemen himpunan. Meskipun grup dari semua [[permutasi]] dari suatu himpunan secara formal bergantung pada himpunan tersebut, konsep aksitindakan kelompok memungkinkan seseorangsalah satunya untuk mempertimbangkan satu grup untuk mempelajari permutasi dari semua himpunan dengan [[kardinal]] yang sama.

=== GrupTindakan aksigrup kiri ===

Jika {{mvar | G}} adalah [[grup (matematika) | grup]] dengan elemen identitas {{mvar | e}}, dan {{mvar | X}} adalah himpunan, maka ('' kiri '') '' aksitindakan grup '' {{mvar | α}} dari {{mvar | G}} pada {{mvar | X}} adalah sebuah fungsi

yang memenuhi dua aksiomatindakanoma berikut:<ref>{{cite book|author=Eie & Chang |title=A Course on Abstract Algebra|year=2010|url={{Google books|plainurl=y|id=jozIZ0qrkk8C|page=144|text=group action}}|page=144}}</ref>

Grup {{mvar | G}} dikatakan bertindak atas {{mvar | X}} (dari kiri). Himpunan {{mvar | X}} bersama dengan aksi tindakan{{mvar | G}} disebut ('' kiri '') ''himpunan''-{{mvar | G}} (''kiri'').

Dari dua aksiomatindakanoma ini, dapat disimpulkan bahwa untuk {{mvar | g}} tetap di {{mvar | G}}, fungsi dari {{mvar | X}} ke yang memetakan {{mvar | x}} ke {{math | '' g '' ⋅ '' x ''}} adalah bijeksi, dengan bijeksi terbalik untuk peta yang sesuai {{math|''g''^&minus;1}}. Oleh karena itu, seseorangsalah satunya dapat secara ekivalensetara mendefinisikan aksitindakan grup {{mvar | G}} pada {{mvar | X}} sebagai homomorfisme grup dari {{mvar | G}} ke grup simetris {{math|Sym(''X'')}} dari semua bias dari {{mvar | X}} ke dirinya sendiri.<ref>This is done, for example, by {{cite book|author=Smith |title=Introduction to abstract algebra|year=2008|url={{Google books|plainurl=y|id=PQUAQh04lrUC|page=253|text=group action}}|page=253}}</ref>

=== GrupTindakan aksigrup kanan ===

Demikian juga, '' aksitindakan kelompok kanan '' dari {{mvar | G}} pada {{mvar | X}} adalah fungsi

yang memenuhi aksiomatindakanoma analogi:

Perbedaan antara aksitindakan kiri dan kanan terletak pada urutan perkalian {{math | '' gh ''}} yang bekerja pada {{mvar | x}}. Untuk aksitindakan kiri, {{mvar | h}} aksitindakan pertama, diikuti oleh {{mvar | g}} detik. Untuk tindakan yang benar, {{mvar | g}} tindakan pertama, diikuti oleh {{mvar | h}} detik. Karena rumusnya {{math|1=(''gh'')⁻¹ = ''h''⁻¹''g''⁻¹}}, aksitindakan kiri dapat dibangun dari aksitindakan kanan dengan menyusun dengan operasi kebalikan dari grup. Juga, aksitindakan kanan grup {{mvar | G}} pada {{mvar | X}} bisa dianggap sebagai aksitindakan kiri dari [[grup berlawanan]] {{math|''G''^op}} pada {{mvar | X}}. Jadi cukup untuk hanya mempertimbangkan aksitindakan kiri tanpa kehilangan keumuman.

== JenisTipe aksitindakan ==

Tindakan '' G '' pada '' X '' disebut:

* ''{{visible anchor|Transitif}}'' jika '' X '' adalah [[himpunan kosong]] dan jika untuk setiap pasangan '' x '', '' y '' pada '' X '' maka '' g '' pada '' G '' dirumuskan {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''y''}}. Misalnya, aksitindakan grup simetris '' X '' bersifat transitif, aksitindakan [[grup linear umum]] atau [[grup linear khusus]] ruang vektor '' V '' pada {{nowrap|''V''∖{0}{{null}}}} bersifat transitif, tetapi aksitindakan [[grup ortogonal]] dari [[ruang Euklides]] '' E '' tidak transitif pada {{nowrap|''E''∖{0}{{null}}}} (ini transitif pada [[unit bola]] dari '' E '', meskipun).

* ''{{visible anchor|Tepat}}'' (atau ''{{visible anchor|efektif}}'') jika untuk setiap dua '' g '' yang berbeda, '' h '' pada '' G '' dengan '' x '' pada '' X '' sehingga {{nowrap|1=''g''⋅''x'' ≠ ''h''⋅''x''}}; atau setara, jika untuk {{nowrap|''g'' ≠ ''e''}} pada '' G '' ada '' x '' di '' X '' seperti itu {{nowrap|''g''⋅''x'' ≠ ''x''}}. Dengan kata lain, dalam aksitindakan kelompok yang setia, elemen '' G '' yang berbeda menyebabkan permutasi yang berbeda dari '' X ''.{{efn|Artinya, representasi permutasi terkait adalah injektif.}} Dalam istilah aljabar, grup '' G '' bertindak tepat pada '' X '' jika dan hanya jika homomorfisme yang sesuai dengan grup simetris, {{nowrap|''G'' → Sym(''X'')}}, memiliki trivial [[kernel (aljabar) | kernel]]. Jadi, untuk tindakan yang setia, '' G '' [[Embedding | embed]] ke [[grup permutasi]] pafa '' X ''; khusus, '' G '' isomorfik untuk citra Sym(''X''). Jika '' G '' tidak beraksibertindakan tepat pada '' X '', kita dapat dengan mudah memodifikasi grup untuk mendapatkan aksitindakan yang tepat. Jika kita mendefinisikan {{nowrap|1=''N'' = {''g'' pada ''G'' : ''g''⋅''x'' = ''x'' untuk ''x'' in ''X''}{{null}}}}, maka '' N '' adalah [[subgrup normal]] dari '' G ''; memang, itu adalah inti dari homomorfisme {{nowrap|''G'' → Sym(''X'')}}. [[Grup faktor]] ''G''/''N'' beraksibertindakan tepat pada '' X '' dengan menyetelmenetapkan {{nowrap|1=(''gN'')⋅''x'' = ''g''⋅''x''}}. Aksitindakan asli '' G '' pada '' X '' setiasesuai jika dan hanya jika {{nowrap|1=''N'' = {''e''}{{null}}}}. Kumpulan terkecil di mana tindakan yang setiasesuai dapat didefinisikan dapat sangat bervariasi untuk grup dengan ukuran yang sama. Sebagai contoh:

** Tiga grup ukuran 120 adalah grup simetris ''S''₅, [[grup ikosahedral]], dan [[grup siklik]] <math>\mathbb{Z}/120\mathbb{Z}</math>. Sethimpunan terkecil di mana tindakan yang setiasesuai dapat didefinisikan masing-masing berukuran 5, 12, dan 16.

** [[Grup abelian]] ukuran 2^{'' n ''} menyertakan grup siklik <math>\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}</math> serta <math>(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n</math> ([[produk langsung]] dari '' n '' salinan <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>), tetapi yang terakhir bertindak dengan setiasesuai pada sethimpunan ukuran 2''n '', sedangkan yang pertama tidak dapat bertindak dengan setiasesuai pada sethimpunan yang lebih kecil dari dirinya sendiri.

* ''{{visible anchor|Bebas}}'' (atau '' semiregular semiberaturan'' atau '' tanpa titik tetap bebas'') jika, diberikan '' g '', '' h '' dengan '' G '', adanya '' x '' in di'' X '' dengan {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''h''⋅''x''}} menyiratkan {{nowrap|1=''g'' = ''h''}}. Setara: jika '' g '' adalah elemen grup dan terdapat '' x '' di '' X '' dengan {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''x''}} (yaitu, jika '' g '' memiliki setidaknya satu titik tetap), maka '' g '' adalah identitasnya. Perhatikan bahwa tindakan bebas pada sethimpunan yang tidak kosong adalah tepat.

* ''{{visible anchor|Biasa}}'' (atau ''{{visible anchor|hanya transitif}}'' atau '' transitif tajam '') jika transitif dan bebas; Ini sama dengan mengatakan bahwa untuk setiap dua '' x '', '' y '' dalam '' X '' tepat ada satu '' g '' dalam '' G '' sehingga {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''y''}}. Dalam hal ini, '' X '' disebut sebagai [[ruang homogen utama]] untuk '' G '' atau torsi '' G ''. Gruptindakan aksigrup '' G '' pada dirinya sendiri dengan perkalian kiri adalah teratur, dan dengan demikian setiasesuai juga. Setiap grup, oleh karena itu, dapat disematkan dalam grup simetris pada elemennya sendiri, Sym('' G ''). Hasil ini dikenal sebagai [[Teorema Cayley]].

* ''{{visible anchor|n-transitif}}'' jika '' X '' memiliki setidaknya '' n '' elemen, dan untuk semua yang berbeda ''x''₁, ..., ''x_n'' dan berbeda ''y''₁, ..., ''y_n'', jika '' g '' pada '' G '' dirumuskan {{nowrap|1=''g''⋅''x_k'' = ''y_k''}} untuk {{nowrap|1 ≤ ''k'' ≤ ''n''}}. Aksitindakan 2-transitif juga disebut ''{{visible anchor|transitif ganda}}'', aksitindakan 3-transitif disebut juga '' triplytransitif transitivetiga kali'', dan seterusnya. Aksitindakan tersebut menentukan kelas menarik dari subkelompok dalam grup simetris: [[Grup 2-transitif]] dan lebih umum [[perkalian grup transitif]]. Tindakan grup simetris pada himpunan dengan elemen '' n '' selalu '' n ''-transitif; aksitindakan dari [[alternatinggrup groupselang-seling]] adalah ('' n '' - 2)-transitif.

* '' Bebas secara lokal '' jika '' G '' adalah [[grup topologi]], dan ada [[lingkungan (matematika) | lingkungan]] '' U '' dari '' e '' dalam '' G '' sedemikian rupa sehingga pembatasan aksitindakan menjadi '' U '' bebas; yaitu jika {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''x''}} untuk beberapa '' x '' dan beberapa '' g '' di '' U '' lalu {{nowrap|1=''g'' = ''e''}}.

Selanjutnya, jika '' G '' bekerja pada [[ruang topologi]] '' X '', maka tindakannya adalah:

*''[[himpunan wenderingHimpunan pengembaraan| WenderingPengembaraan]]'' jika setiap titik '' x '' pada '' X '' memiliki lingkungan '' U '' sehingga <math>\{g \in G : g \cdot U \cap U \neq \emptyset\}</math> is finiteterhingga.<ref name="Thurston 1980 p175">{{Citation | last1=Thurston | first1=William | title=The geometry and topology of three-manifolds | url=http://library.msri.org/books/gt3m/ | series=Princeton lecture notes | year=1980 | page=175 | accessdate=2020-12-25 | archive-date=2020-07-27 | archive-url=https://web.archive.org/web/20200727020107/http://library.msri.org/books/gt3m/ | dead-url=yes }}</ref> Misalnya, aksitindakan <math>\mathbb Z^n</math> pada <math>\mathbb R^n</math> oleh terjemahantranslasi mengembara. Aksitindakan [[grup wanderingpengembaraan]] pada setengah bidang Poincaré juga sedang mengembara.

*Jika '' X '' adalah [[ruang kompak lokal]] dan untuk setiap subsethimpunan bagian kompak ''K''&thinsp;⊂&thinsp;''X'' the setthehimpunan <math>\{g \in G: gK \cap K \neq \emptyset \}</math> terbatas. Tindakan mengembara yang diberikan di atas juga terputus-putus. Di sisi lain, aksitindakan <math>\mathbb Z</math> pada <math>\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}</math> given by <math>n\cdot (x, y) = (2^n x, 2^{-n} y)</math> wendering dan bebas tetapi tidak terputus-putus dengan benar.{{sfn|Thurston|1980|p=176}}

*''{{visible anchor|Layak}}'' jika '' G '' adalah grup topologi dan peta dari <math>G \times X \rightarrow X \times X : (g,x) \mapsto (g \cdot x,x)</math> adalah [[Peta layak | layak]].<ref name="tom Dieck 1987 p29">{{Citation | last1=tom Dieck | first1=Tammo | title=Transformation groups | url=https://books.google.com/books?id=azcQhi6XeioC | publisher=Walter de Gruyter & Co. | location=Berlin | series=de Gruyter Studies in Mathematics | isbn=978-3-11-009745-0 | mr=889050 | year=1987 | volume=8 | page=29 | doi=10.1515/9783110858372.312}}</ref> Jika '' G '' adalah [[Grup diskrit | diskrit]] maka kesesuaian setara dengan diskontinuitas yang tepat untuk aksitindakan '' G ''.

* Dikatakan memiliki '' orbit diskrit '' jika orbit setiap '' x '' dalam '' X '' di bawah aksitindakan '' G '' diskrit dalam '' X ''.<ref name="Thurston 1980 p175" />

*'' Aksitindakan ruang '' jika setiap titik '' x '' di '' X '' memiliki lingkungan '' U '' sedemikian rupa sehingga <math>\{g \in G : g \cdot U \cap U \neq \emptyset\} = \{ e \} </math>.<ref name="Hatcher 2001">{{cite book |last1=Hatcher |first1=Allen |title=Algebraic Topology |date=2002 |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-79540-0| page=72 |url=http://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html}}</ref>

Jika '' X '' adalah [[Nol elemen#modul Nol | bukan nol]] [[modul (matematika) | modul]] di atas [[gelanggang (matematika) | gelanggang]] '' R '' dan aksi tindakan'' G '' adalah adalahlinear-'' R ''-linear maka dikatakan

* ''Tidak bisa direduksiTaktereduksikan'' jika tidak ada submodul invarian bukan nol yangwajar tepattaknol.

==<span id="orbstab"></span><span id="quotient"></span> Orbit dan stabilisatorpenstabil ==<!-- Bagian ini ditautkan dari [[Simetri]] -->

Pertimbangkan grup '' G '' yang beraktingbertindak pada himpunan '' X ''. '' Orbit '' dari suatu elemen '' x '' dalam '' X '' adalah himpunan elemen dalam '' X '' di mana '' x '' dapat dipindahkan oleh elemen '' G '' . Orbit '' x '' adalah dengan:

PropertiSifat yang menentukan dari grup menjamin bahwa himpunan orbit (titik '' x '') '' X '' di bawah aksitindakan '' G '' membentuk [[partisi himpunan | partisi]] ​​daridari ''X''. [[Relasi ekivalen|Relasi setara]] terkait ditentukan dengan mengatakan {{nowrap|''x'' ∼ ''y''}} [[jika dan hanya jika]] terdapat '' g '' di '' G '' dengan {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''y''}}. Orbitnya kemudian [[kelas ekivalen|kelas setara]] es di bawah hubungan ini; dua elemen '' x '' dan '' y '' setara jika dan hanya jika orbitnya sama, yaitu, {{nowrap|1=''G''⋅''x'' = ''G''⋅''y''}}.

Tindakan kelompok adalah [[GrupTindakan aksigrup (matematika)#Jenis aksi | transitif]] jika dan hanya jika ia memiliki tepat satu orbit, yaitu, jika ada '' x '' dalam '' X '' dengan {{nowrap|1=''G''⋅''x'' = ''X''}}. This is the case if and only if {{nowrap|1=''G''⋅''x'' = ''X''}} untuk '' semua '' '' x '' dalam '' X '' (mengingat bahwa '' X '' tidak kosong).

Himpunan semua orbit '' X '' di bawah aksitindakan '' G '' ditulis sebagai ''X''/''G'' (atau, lebih jarang: ''G''\''X''), dan disebut '' hasil bagi '' dari tindakan tersebut. Dalam situasi geometris ini bisa disebut ''{{visible anchor|ruang orbit}}'', sedangkan dalam situasi aljabar itu bisa disebut ruang ''{{visible anchor|konvariat}}'', dan ditulis '' X_G '', berbeda dengan invariantinvarian (titik tetap), dilambangkan ''X^G'': varian koin adalah '' hasil bagi '' sedangkan invariannya adalah '' himpunan bagian. '' Terminologi dan notasi coinvariantkoinvarian digunakan terutama dalam [[kelompok kohomologi]] dan [[grup homologi]], yang menggunakan konvensi superskrip/subskrip yang sama.

Jika '' Y '' adalah [[himpunan bagian]] dari '' X '', seseorangsalah satunya akan menulis '' GY '' untuk setuntukhimpunan tersebut {{nowrap|{''g''⋅''y'' : ''y'' ∈ ''Y'' dan ''g'' ∈ ''G''}<nowiki/>}}. Himpunan bagian '' Y '' dikatakan '' invarian di bawah G '' jika {{nowrap|1=''G''⋅''Y'' = ''Y''}} (yang setara dengan {{nowrap|''G''⋅''Y'' ⊆ ''Y''}}). Dalam hal ini, '' G '' juga beroperasi pada '' Y '' dengan membatasi aksinyatindakannya menjadi '' Y ''. Himpunan bagian '' Y '' disebut '' tetap di bawah G '' jika {{nowrap|1=''g''⋅''y'' = ''y''}} untuk '' g '' di '' G '' dan semua '' y '' di '' Y ''. Setiap subsethimpunan bagian yang ditetapkan di bawah '' G '' juga invarian di bawah '' G '', tetapi tidak sebaliknya.

Setiap orbit adalah subsethimpunan bagian invarian dari '' X '' di mana '' G '' bertindak [[#Jenis tindakan | secara transitif]]. Sebaliknya, setiap subsethimpunan bagian invarian dari '' X '' adalah gabungan orbit. Tindakan '' G '' pada '' X '' adalah '' transitif '' jika dan hanya jika semua elemen ekivalensetara, artinya hanya ada satu orbit.

Elemen '' G-invarian '' dari '' X '' adalah {{nowrap|''x'' ∈ ''X''}} dirumuskan {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''x''}} untuk {{nowrap|''g'' ∈ ''G''}}. Himpunan dari semua '' x '' dilambangkan ''X^G'' dan disebut '' G-invariantsinvarians '' dari '' X ''. Ketika '' X '' adalah [[Modul-G]], ''X^G'' adalah grup zeroth [[grup kohomologu | kohomologi]] dari '' G '' dengan koefisien dalam '' X '', dan kelompok kohomologi yang lebih tinggi adalah [[functor turunan]] dari [[functor]] dari '' G ''-invarian.

=== Titik tetap dan subgrup stabilisatorpenstabil ===

Ini adalah [[subgrup]] dari '' G '', meskipun biasanya bukan yang normal. Tindakan '' G '' pada '' X '' adalah [[#Jenis aksi | bebas]] jika dan hanya jika semua stabilisatorpenstabil trivial. Kernel '' N '' dari homomorfisme dengan grup simetris, {{nowrap|''G'' → Sym(''X'')}}, diberikan oleh [[persimpangan (teori himpunan) | persimpangan]] dari stabilisatorpenstabil ''G_x'' untuk '' x '' dalam '' X ''. Jika '' N '' sepele, tindakan tersebut dikatakan setiasesuai (atau efektif).

Misalkan '' x '' dan '' y '' menjadi dua elemen dalam '' X '', dan biarkan '' g '' menjadi elemen grup sedemikian rupa sehingga {{nowrap|1=''y'' = ''g''⋅''x''}}. Kemudian dua grup stabilisatorpenstabil ''G_x'' dan ''G_y'' dihubungkan oleh {{nowrap|1=''G_y'' = ''g'' ''G_x'' ''g''⁻¹}}. Bukti: menurut definisi, {{nowrap|''h'' &isin; ''G_y''}} jika dan hanya jika {{nowrap|1=''h''⋅(''g''⋅''x'') = ''g''⋅''x''}}. Menerapkan '' g ''⁻¹ ke kedua sisi persamaan ini akan menghasilkan {{nowrap|1=(''g''⁻¹''hg'')⋅''x'' = ''x''}}; itu adalah, {{nowrap|''g''⁻¹''hg'' &isin; ''G_x''}}. Inklusi yang berlawanan mengikuti dengan cara yang sama dengan mengambil {{nowrap|''h'' &isin; ''G_x''}} dan seandainya {{nowrap|1=''x'' = ''g''⁻¹⋅''y''}}.

Hal di atas mengatakan bahwa stabilisatorpenstabil unsur-unsur dalam orbit yang sama adalah [[kelas konjugasi | konjugasi]] satu sama lain. Jadi, untuk setiap orbit, kita dapat mengasosiasikan [[kelas konjugasi]] dari subkelompok '' G '' (yaitu, himpunan semua konjugasi dari subgrup). Misalkan <math> (H) </math> menunjukkan kelas konjugasi '' H ''. Kemudian orbit '' O '' bertipe <math>(H)</math> jika stabilisatorpenstabil <math> G_x </math> dari beberapa/sesuatu '' x '' pada '' O '' milik <math> (H) </math>. Jenis orbit maksimalmtindakanmal sering disebut [[jenis orbit utama]].

=== {{visible anchor|Teorema penstabil Orbit}} dan lemmalema Burnside ===

Orbit dan stabilisatorpenstabil terkait erat. Untuk tetap '' x '' dalam '' X '', pertimbangkan peta ''f'':''G'' → ''X'' diberikan oleh ''g'' ↦ ''g''·''x''. Menurut definisi gambar ''f''(''G'') dari peta ini adalah orbit '' G ''·'' x ''. Syarat dua elemen untuk memiliki citra yang sama adalah

Dengan kata lain, <math> f(g) = f (h) </math> '' jika dan hanya jika '' <math> g </math> dan <math> h </math> berada di tempat yang sama [[kohimpunan]] untuk subgrup stabilizerpenstabil <math>G_x</math>. Jadi, [[FiberSerat (matematika) | serat]] <math>f^{-1}(\{y\})</math> dari '' f '' di atas setiap '' y '' di '' G '' · '' x '' terkandung dalam cosetkoset tersebut, dan setiap cosetkoset tersebut juga muncul sebagai serat. Oleh karena itu '' f '' mendefinisikan '' bijection bijeksi'' antara himpunan <math> G/G_x </math> kohimpunan untuk subgrup stabilizerpenstabil dan orbit '' G '' · '' x '', yang mengirimkan <math>gG_x \mapsto g \cdot x</math>.<ref>M. Artin, <em>Algebra</em>, Proposition 6.4 on p. 179</ref> Hasil ini dikenal sebagai '' teorema penstabil orbit ''.

Jika '' G '' berhingga maka teorema penstabil orbit, bersama dengan [[Teorema Lagrange (teori grup) | Teorema Lagrange]], memberikan

dengan kata lain panjang orbit '' x '' kali urutan stabilisatornyapenstabilnya adalah urutan grup. Secara khusus yang menyiratkan bahwa panjang orbit adalah pembagi dari ordo grup.

: '''Contoh:''' Kita dapat menggunakan teorema penstabil orbit untuk menghitung automorfisme dari sebuah [[GrafikGraf (matematika diskritdiskret) | grafikgraf]]. Pertimbangkan [[grafik kubik]] seperti yang digambarkan, dan biarkan '' G '' menunjukkan grup [[Grafik automorfismeGraf keautomorfan| automorfismekeautomorfan]]. Kemudian '' G '' bekerjabertindak pada himpunan simpulverteks {1, 2, ..., 8}, dan tindakan ini bersifat transitif seperti yang dapat dilihat dengan menyusun rotasi di sekitar pusat kubus. Jadi, dengan teorema penstabil orbit, <math>|G| = |G\cdot1||G_1| = 8|G_1|</math>. Menerapkan teorema sekarang ke stabilizerpenstabil '' G ''₁, kita bisa mendapatkan <math>|G_1| = |(G_1)\cdot2||(G_1)_2|</math>. Setiap elemen '' G '' yang menetapkan 1 harus mengirim 2 ke 2, 4, atau 5. Sebagai contoh automorfisme tersebut pertimbangkan rotasi di sekitar sumbu diagonal melalui 1 dan 7 oleh <math>2\pi/3</math> yang membolehkan 2,4,5 dan 3,6,8, dan fix 1 dan 7. Jadi, <math>\left|(G_1)\cdot2\right| = 3</math>. Menerapkan teorema untuk ketiga kalinya memberikan <math>|(G_1)_2| = |((G_1)_2)\cdot3||((G_1)_2)_3|</math>. Setiap elemen '' G '' yang menetapkan 1 dan 2 harus mengirim 3 ke 3 atau 6. Mencerminkan kubus di bidang melalui 1,2,7 dan 8 adalah automorfisme yang mengirim 3 hingga 6, jadi <math>\left|((G_1)_2)\cdot3\right| = 2</math>. SeseorangSalah satunya juga melihat bahwa <math>((G_1)_2)_3</math> hanya terdiri dari automorfisme identitas, karena setiap elemen dari '' G '' yang memperbaiki 1, 2 dan 3 juga harus memperbaiki semua simpul lainnya, karena mereka ditentukan oleh kedekatannya dengan 1, 2 dan 3. Menggabungkan perhitungan sebelumnya, sekarang kita bisa mendapatkan <math>|G| = 8\cdot3\cdot2\cdot1 = 48</math>.

Hasil yang terkait erat dengan teorema penstabil orbit adalah [[Lemmalema Burnside]]:

dimana ''X''^g himpunan pointitik yang ditetapkantetap oleh '' g ''. Hasil ini terutama digunakan ketika '' G '' dan '' X '' terbatas, bila dapat diartikan sebagai berikut: jumlah orbit sama dengan jumlah rata-rata titik yang ditetapkan per elemen grup.

MemperbaikiMenetapkan grup '' G '', himpunan perbedaan formal dari '' G '' hingga, himpunan membentuk [[gelanggang (matematika) | gelanggang]] yang disebut [[cincingelanggang Burnside]] dari '' G '', di mana penjumlahan sesuai dengan [[disjoint union]], dan perkalian dengan [[produk Kartesius]].

== GrupTindakan aksigrup dan grupoid ==

Gagasan aksitindakan kelompok dapat diletakkan dalam konteks yang lebih luas dengan menggunakan '' aksitindakan [[groupoid]] '' <math>G'=G \ltimes X</math> terkait dengan tindakan kelompok, sehingga memungkinkan teknik dari teori groupoidgrupoid seperti presentasi dan [[fibrasi]]. Selanjutnya, penstabil aksitindakan adalah kelompok puncak, dan orbit aksitindakan adalah komponen, dari aksitindakan grupoid. Untuk lebih jelasnya, lihat buku '' Topologi dan groupoids '' yang direferensikan di bawah ini

Aksitindakan groupoid ini hadir dengan morfisme '' p '': '' G ′ '' → '' G '' yang merupakan '' morfisme yang menutupi groupoids grupoid''. Hal ini memungkinkan adanya hubungan antara morfisme tersebut dan [[peta penutuppeliputan]] dalam topologi.

* [[GrupTindakan aksigrup measurabelterukurkan]]

* [[grafikGraf Gaingain|Graf ''gain'']]

* [[MonoidTindakan aksimonoid]]

* {{Cite book|last1=Aschbacher|first1=Michael|author1-link=Michael Aschbacher|title=Finite Group Theory|url=https://archive.org/details/finitegrouptheor0000asch|publisher=Cambridge University Press|year=2000|mr=1777008 |isbn=978-0-521-78675-1}}

*[http://138.73.27.39/tac/reprints/articles/7/tr7abs.html Categories and groupoids, P.J. Higgins] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071007143558/http://138.73.27.39/tac/reprints/articles/7/tr7abs.html |date=2007-10-07 }}, downloadable reprint of van Nostrand Notes in Mathematics, 1971, which deal with applications of groupoids in group theory and topology.

* {{cite book |last1=Eie |first1=Minking |last2=Chang |first2=Shou-Te |title=A Course on Abstract Algebra |url=https://archive.org/details/courseonabstract0000eiem |year=2010 |publisher=World Scientific |isbn=978-981-4271-88-2}}

[[Kategori: Teori grup]]

[[Kategori:Tindakan Grup aksigrup (matematika) | ]]

[[Kategori: Teori representasi grup]]

[[Kategori: Simetri]]