Tindakan grup (matematika): Perbedaan antara revisi

Dalam [[matematika]], '''tindakan grup''' pada[[ruang (matematika) | ruang]] adalah [[homomorfisme grup]] dari [[grup (matematika) |grup]] tertentu ke dalam grup [[transformasi (geometri) |transformasi]] ruang. Demikian pula, tindakan kelompok pada [[struktur matematika]] adalah kelompok homomorfisme dari suatu kelompok ke dalam [[grup automorfisme]] dari struktur. Dikatakan bahwa grup '' bertindak '' pada ruang atau struktur. Jika suatu grup bertindak pada suatu struktur, biasanya juga akan bertindak atas objek yang dibangun dari struktur. Misalnya, kelompok [[Isometri Euklides | Isometri Euklid]] bekerja pada [[Ruang Euklidean]] dan juga pada gambar yang digambar di dalamnya. Secara khusus, ia bekerja pada himpunan dari semua [[segitiga]]. Demikian pula, kelompok [[simetri]] dari sebuah [[polihedron]] bekerja pada [[simpul (geometri) | simpul]], [[sisi (geometri) | tepi]], dan [[wajah (geometri) | wajah]] dari polyhedron.

[[Grup simetris]] {{mvar|S{{sub|n}}}} bertindak pada setiap [[himpunan (matematika) | himpunan]] dengan elemen {{mvar | n}} dengan menggunakan elemen himpunan. Meskipun grup dari semua [[permutasi]] dari suatu himpunan secara formal bergantung pada himpunan tersebut, konsep tindakan kelompok memungkinkan seseorangsalah satunya untuk mempertimbangkan satu grup untuk mempelajari permutasi dari semua himpunan dengan [[kardinal]] yang sama.

Jika{{mvar | G}} adalah [[grup (matematika) | grup]] dengan elemen identitas {{mvar | e}}, dan {{mvar | X}} adalah himpunan, maka ('' kiri '') '' tindakan grup '' {{mvar | α}} dari {{mvar | G}} pada {{mvar | X}} adalah sebuah fungsi

yang memenuhi dua aksiomatindakanoma berikut:<ref>{{cite book|author=Eie & Chang |title=A Course on Abstract Algebra|year=2010|url={{Google books|plainurl=y|id=jozIZ0qrkk8C|page=144|text=group action}}|page=144}}</ref>

Dari dua aksiomatindakanoma ini, dapat disimpulkan bahwa untuk {{mvar | g}} tetap di {{mvar | G}}, fungsi dari {{mvar | X}} ke yang memetakan {{mvar | x}} ke {{math | '' g '' ⋅ '' x ''}} adalah bijeksi, dengan bijeksi terbalik untuk peta yang sesuai {{math|''g''^&minus;1}}. Oleh karena itu, seseorangsalah satunya dapat secara setara mendefinisikan tindakan grup {{mvar | G}} pada {{mvar | X}} sebagai homomorfisme grup dari {{mvar | G}} ke grup simetris {{math|Sym(''X'')}} dari semua bias dari {{mvar | X}} ke dirinya sendiri.<ref>This is done, for example, by {{cite book|author=Smith |title=Introduction to abstract algebra|year=2008|url={{Google books|plainurl=y|id=PQUAQh04lrUC|page=253|text=group action}}|page=253}}</ref>

yang memenuhi aksiomatindakanoma analogi:

== JenisTipe aksitindakan ==

* ''{{visible anchor|Tepat}}'' (atau ''{{visible anchor|efektif}}'') jika untuk setiap dua '' g '' yang berbeda, '' h '' pada '' G '' dengan '' x '' pada '' X '' sehingga {{nowrap|1=''g''⋅''x'' ≠ ''h''⋅''x''}}; atau setara, jika untuk {{nowrap|''g'' ≠ ''e''}} pada '' G '' ada '' x '' di '' X '' seperti itu {{nowrap|''g''⋅''x'' ≠ ''x''}}. Dengan kata lain, dalam tindakan kelompok yang setia, elemen '' G '' yang berbeda menyebabkan permutasi yang berbeda dari '' X ''.{{efn|Artinya, representasi permutasi terkait adalah injektif.}} Dalam istilah aljabar, grup '' G '' bertindak tepat pada '' X '' jika dan hanya jika homomorfisme yang sesuai dengan grup simetris, {{nowrap|''G'' → Sym(''X'')}}, memiliki trivial [[kernel (aljabar) | kernel]]. Jadi, untuk tindakan yang setia, '' G '' [[Embedding | embed]] ke [[grup permutasi]] pafa '' X ''; khusus, '' G '' isomorfik untuk citra Sym(''X''). Jika'' G'' tidak bertindakan tepat pada '' X '', kita dapat dengan mudah memodifikasi grup untuk mendapatkan tindakan yang tepat. Jika kita mendefinisikan {{nowrap|1=''N'' = {''g'' pada ''G'' : ''g''⋅''x'' = ''x'' untuk ''x'' in ''X''}{{null}}}}, maka '' N '' adalah [[subgrup normal]] dari '' G ''; memang, itu adalah inti dari homomorfisme {{nowrap|''G'' → Sym(''X'')}}. [[Grup faktor]] ''G''/''N'' bertindakan tepat pada '' X '' dengan menyetelmenetapkan {{nowrap|1=(''gN'')⋅''x'' = ''g''⋅''x''}}. tindakan asli '' G '' pada '' X '' setiasesuai jika dan hanya jika {{nowrap|1=''N'' = {''e''}{{null}}}}. Kumpulan terkecil di mana tindakan yang setiasesuai dapat didefinisikan dapat sangat bervariasi untuk grup dengan ukuran yang sama. Sebagai contoh:

** Tiga grup ukuran 120 adalah grup simetris ''S''₅, [[grup ikosahedral]], dan [[grup siklik]] <math>\mathbb{Z}/120\mathbb{Z}</math>. Sethimpunan terkecil di mana tindakan yang setiasesuai dapat didefinisikan masing-masing berukuran 5, 12, dan 16.

** [[Grup abelian]] ukuran 2^{'' n ''} menyertakan grup siklik <math>\mathbb{Z}/2^n\mathbb{Z}</math> serta <math>(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n</math> ([[produk langsung]] dari '' n '' salinan <math>\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}</math>), tetapi yang terakhir bertindak dengan setiasesuai pada sethimpunan ukuran 2''n '', sedangkan yang pertama tidak dapat bertindak dengan setiasesuai pada sethimpunan yang lebih kecil dari dirinya sendiri.

* ''{{visible anchor|Bebas}}'' (atau '' semiregular semiberaturan'' atau '' tanpa titik tetap bebas'') jika, diberikan '' g '', '' h '' dengan '' G '', adanya '' x '' in di'' X '' dengan {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''h''⋅''x''}} menyiratkan {{nowrap|1=''g'' = ''h''}}. Setara: jika '' g '' adalah elemen grup dan terdapat '' x '' di '' X '' dengan {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''x''}} (yaitu, jika '' g '' memiliki setidaknya satu titik tetap), maka '' g '' adalah identitasnya. Perhatikan bahwa tindakan bebas pada sethimpunan yang tidak kosong adalah tepat.

* ''{{visible anchor|Biasa}}'' (atau ''{{visible anchor|hanya transitif}}'' atau '' transitif tajam '') jika transitif dan bebas; Ini sama dengan mengatakan bahwa untuk setiap dua '' x '', '' y '' dalam '' X '' tepat ada satu '' g '' dalam '' G '' sehingga {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''y''}}. Dalam hal ini, '' X '' disebut sebagai [[ruang homogen utama]] untuk '' G '' atau torsi '' G ''. tindakan grup '' G '' pada dirinya sendiri dengan perkalian kiri adalah teratur, dan dengan demikian setiasesuai juga. Setiap grup, oleh karena itu, dapat disematkan dalam grup simetris pada elemennya sendiri, Sym('' G ''). Hasil ini dikenal sebagai [[Teorema Cayley]].

* ''{{visible anchor|n-transitif}}'' jika '' X '' memiliki setidaknya '' n '' elemen, dan untuk semua yang berbeda ''x''₁, ..., ''x_n'' dan berbeda ''y''₁, ..., ''y_n'', jika '' g '' pada '' G '' dirumuskan {{nowrap|1=''g''⋅''x_k'' = ''y_k''}} untuk {{nowrap|1 ≤ ''k'' ≤ ''n''}}. tindakan 2-transitif juga disebut ''{{visible anchor|transitif ganda}}'', tindakan 3-transitif disebut juga '' triplytransitif transitivetiga kali'', dan seterusnya. tindakan tersebut menentukan kelas menarik dari subkelompok dalam grup simetris: [[Grup 2-transitif]] dan lebih umum [[perkalian grup transitif]]. Tindakan grup simetris pada himpunan dengan elemen '' n '' selalu '' n ''-transitif; tindakan dari [[alternatinggrup groupselang-seling]] adalah ('' n '' - 2)-transitif.

* '' Bebas secara lokal '' jika '' G '' adalah [[grup topologi]], dan ada [[lingkungan (matematika) | lingkungan]] '' U '' dari '' e '' dalam '' G '' sedemikian rupa sehingga pembatasan tindakan menjadi '' U '' bebas; yaitu jika {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''x''}} untuk beberapa '' x '' dan beberapa '' g '' di '' U '' lalu {{nowrap|1=''g'' = ''e''}}.

Selanjutnya, jika '' G '' bekerja pada [[ruang topologi]] '' X '', maka tindakannya adalah:

*''[[himpunan wenderingHimpunan pengembaraan| WenderingPengembaraan]]'' jika setiap titik '' x '' pada '' X '' memiliki lingkungan '' U '' sehingga <math>\{g \in G : g \cdot U \cap U \neq \emptyset\}</math> is finiteterhingga.<ref name="Thurston 1980 p175">{{Citation | last1=Thurston | first1=William | title=The geometry and topology of three-manifolds | url=http://library.msri.org/books/gt3m/ | series=Princeton lecture notes | year=1980 | page=175 | accessdate=2020-12-25 | archive-date=2020-07-27 | archive-url=https://web.archive.org/web/20200727020107/http://library.msri.org/books/gt3m/ | dead-url=yes }}</ref> Misalnya, tindakan <math>\mathbb Z^n</math> pada <math>\mathbb R^n</math> oleh terjemahantranslasi mengembara. tindakan [[grup wanderingpengembaraan]] pada setengah bidang Poincaré juga sedang mengembara.

*Jika '' X '' adalah [[ruang kompak lokal]] dan untuk setiap subsethimpunan bagian kompak ''K''&thinsp;⊂&thinsp;''X'' the setthehimpunan <math>\{g \in G: gK \cap K \neq \emptyset \}</math> terbatas. Tindakan mengembara yang diberikan di atas juga terputus-putus. Di sisi lain, tindakan <math>\mathbb Z</math> pada <math>\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}</math> given by <math>n\cdot (x, y) = (2^n x, 2^{-n} y)</math> wendering dan bebas tetapi tidak terputus-putus dengan benar.{{sfn|Thurston|1980|p=176}}

*''{{visible anchor|Layak}}'' jika '' G '' adalah grup topologi dan peta dari <math>G \times X \rightarrow X \times X : (g,x) \mapsto (g \cdot x,x)</math> adalah [[Peta layak | layak]].<ref name="tom Dieck 1987 p29">{{Citation | last1=tom Dieck | first1=Tammo | title=Transformation groups | url=https://books.google.com/books?id=azcQhi6XeioC | publisher=Walter de Gruyter & Co. | location=Berlin | series=de Gruyter Studies in Mathematics | isbn=978-3-11-009745-0 | mr=889050 | year=1987 | volume=8 | page=29 | doi=10.1515/9783110858372.312}}</ref> Jika '' G '' adalah [[Grup diskrit | diskrit]] maka kesesuaian setara dengan diskontinuitas yang tepat untuk tindakan '' G ''.

Jika '' X '' adalah [[Nol elemen#modul Nol | bukan nol]] [[modul (matematika) | modul]] di atas [[gelanggang (matematika) | gelanggang]] '' R '' dan tindakan '' G '' adalah adalahlinear-'' R ''-linear maka dikatakan

* ''Tidak bisa direduksiTaktereduksikan'' jika tidak ada submodul invarian bukan nol yangwajar tepattaknol.

Sifat yang menentukan dari grup menjamin bahwa himpunan orbit (titik '' x '') '' X '' di bawah tindakan '' G '' membentuk [[partisi himpunan | partisi]] ​​daridari ''X''. [[Relasi ekivalen|Relasi setara]] terkait ditentukan dengan mengatakan {{nowrap|''x'' ∼ ''y''}} [[jika dan hanya jika]] terdapat '' g '' di '' G '' dengan {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''y''}}. Orbitnya kemudian [[kelas ekivalen|kelas setara]] es di bawah hubungan ini; dua elemen '' x '' dan '' y '' setara jika dan hanya jika orbitnya sama, yaitu, {{nowrap|1=''G''⋅''x'' = ''G''⋅''y''}}.

Tindakan kelompok adalah [[GrupTindakan aksigrup (matematika)#Jenis aksi | transitif]] jika dan hanya jika ia memiliki tepat satu orbit, yaitu, jika ada '' x '' dalam '' X '' dengan {{nowrap|1=''G''⋅''x'' = ''X''}}. This is the case if and only if {{nowrap|1=''G''⋅''x'' = ''X''}} untuk '' semua '' '' x '' dalam '' X '' (mengingat bahwa '' X '' tidak kosong).

Jika '' Y '' adalah [[himpunan bagian]] dari '' X '', seseorangsalah satunya akan menulis '' GY '' untuk setuntukhimpunan tersebut {{nowrap|{''g''⋅''y'' : ''y'' ∈ ''Y'' dan ''g'' ∈ ''G''}<nowiki/>}}. Himpunan bagian '' Y '' dikatakan '' invarian di bawah G '' jika {{nowrap|1=''G''⋅''Y'' = ''Y''}} (yang setara dengan {{nowrap|''G''⋅''Y'' ⊆ ''Y''}}). Dalam hal ini, '' G '' juga beroperasi pada '' Y '' dengan membatasi aksinyatindakannya menjadi '' Y ''. Himpunan bagian '' Y '' disebut '' tetap di bawah G '' jika {{nowrap|1=''g''⋅''y'' = ''y''}} untuk '' g '' di '' G '' dan semua '' y '' di '' Y ''. Setiap subsethimpunan bagian yang ditetapkan di bawah '' G '' juga invarian di bawah '' G '', tetapi tidak sebaliknya.

Setiap orbit adalah subsethimpunan bagian invarian dari '' X '' di mana ''G'' bertindak [[#Jenis tindakan |secara transitif]]. Sebaliknya, setiap subsethimpunan bagian invarian dari '' X '' adalah gabungan orbit. Tindakan '' G '' pada '' X '' adalah '' transitif '' jika dan hanya jika semua elemen setara, artinya hanya ada satu orbit.

Elemen '' G-invarian '' dari '' X '' adalah {{nowrap|''x'' ∈ ''X''}} dirumuskan {{nowrap|1=''g''⋅''x'' = ''x''}} untuk {{nowrap|''g'' ∈ ''G''}}. Himpunan dari semua '' x '' dilambangkan ''X^G'' dan disebut '' G-invarians '' dari '' X ''. Ketika '' X '' adalah [[Modul-G]], ''X^G'' adalah grup zeroth [[grup kohomologu | kohomologi]] dari '' G '' dengan koefisien dalam '' X '', dan kelompok kohomologi yang lebih tinggi adalah [[functor turunan]] dari [[functor]] dari '' G ''-invarian.

Ini adalah [[subgrup]] dari '' G '', meskipun biasanya bukan yang normal. Tindakan '' G '' pada '' X '' adalah [[#Jenis aksi | bebas]] jika dan hanya jika semua penstabil trivial. Kernel '' N '' dari homomorfisme dengan grup simetris, {{nowrap|''G'' → Sym(''X'')}}, diberikan oleh [[persimpangan (teori himpunan) | persimpangan]] dari penstabil ''G_x'' untuk '' x '' dalam '' X ''. Jika '' N '' sepele, tindakan tersebut dikatakan setiasesuai (atau efektif).

Hal di atas mengatakan bahwa penstabil unsur-unsur dalam orbit yang sama adalah [[kelas konjugasi | konjugasi]] satu sama lain. Jadi, untuk setiap orbit, kita dapat mengasosiasikan [[kelas konjugasi]] dari subkelompok '' G '' (yaitu, himpunan semua konjugasi dari subgrup). Misalkan <math> (H) </math> menunjukkan kelas konjugasi '' H ''. Kemudian orbit '' O '' bertipe <math>(H)</math> jika penstabil <math> G_x </math> dari beberapa/sesuatu '' x '' pada '' O '' milik <math> (H) </math>. Jenis orbit maksimalmtindakanmal sering disebut [[jenis orbit utama]].

Jika '' G '' berhingga maka teorema penstabil orbit, bersama dengan [[Teorema Lagrange (teori grup) | Teorema Lagrange]], memberikan

: '''Contoh:''' Kita dapat menggunakan teorema penstabil orbit untuk menghitung automorfisme dari sebuah [[Graf (matematika diskret)|graf]]. Pertimbangkan [[grafik kubik]] seperti yang digambarkan, dan biarkan '' G '' menunjukkan grup [[Grafik automorfismeGraf keautomorfan| automorfismekeautomorfan]]. Kemudian '' G '' bekerjabertindak pada himpunan simpulverteks {1, 2, ..., 8}, dan tindakan ini bersifat transitif seperti yang dapat dilihat dengan menyusun rotasi di sekitar pusat kubus. Jadi, dengan teorema penstabil orbit, <math>|G| = |G\cdot1||G_1| = 8|G_1|</math>. Menerapkan teorema sekarang ke penstabil '' G ''₁, kita bisa mendapatkan <math>|G_1| = |(G_1)\cdot2||(G_1)_2|</math>. Setiap elemen '' G '' yang menetapkan 1 harus mengirim 2 ke 2, 4, atau 5. Sebagai contoh automorfisme tersebut pertimbangkan rotasi di sekitar sumbu diagonal melalui 1 dan 7 oleh <math>2\pi/3</math> yang membolehkan 2,4,5 dan 3,6,8, dan fix 1 dan 7. Jadi, <math>\left|(G_1)\cdot2\right| = 3</math>. Menerapkan teorema untuk ketiga kalinya memberikan <math>|(G_1)_2| = |((G_1)_2)\cdot3||((G_1)_2)_3|</math>. Setiap elemen '' G '' yang menetapkan 1 dan 2 harus mengirim 3 ke 3 atau 6. Mencerminkan kubus di bidang melalui 1,2,7 dan 8 adalah automorfisme yang mengirim 3 hingga 6, jadi <math>\left|((G_1)_2)\cdot3\right| = 2</math>. SeseorangSalah satunya juga melihat bahwa <math>((G_1)_2)_3</math> hanya terdiri dari automorfisme identitas, karena setiap elemen dari '' G '' yang memperbaiki 1, 2 dan 3 juga harus memperbaiki semua simpul lainnya, karena mereka ditentukan oleh kedekatannya dengan 1, 2 dan 3. Menggabungkan perhitungan sebelumnya, sekarang kita bisa mendapatkan <math>|G| = 8\cdot3\cdot2\cdot1 = 48</math>.

Menetapkan grup ''G '', himpunan perbedaan formal dari'' G'' hingga, himpunan membentuk [[gelanggang (matematika) |gelanggang]] yang disebut [[gelanggang Burnside]] dari ''G '', di mana penjumlahan sesuai dengan [[disjoint union]], dan perkalian dengan [[produk Kartesius]].

* {{Cite book|last1=Aschbacher|first1=Michael|author1-link=Michael Aschbacher|title=Finite Group Theory|url=https://archive.org/details/finitegrouptheor0000asch|publisher=Cambridge University Press|year=2000|mr=1777008 |isbn=978-0-521-78675-1}}

*[http://138.73.27.39/tac/reprints/articles/7/tr7abs.html Categories and groupoids, P.J. Higgins] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20071007143558/http://138.73.27.39/tac/reprints/articles/7/tr7abs.html |date=2007-10-07 }}, downloadable reprint of van Nostrand Notes in Mathematics, 1971, which deal with applications of groupoids in group theory and topology.

* {{cite book |last1=Eie |first1=Minking |last2=Chang |first2=Shou-Te |title=A Course on Abstract Algebra |url=https://archive.org/details/courseonabstract0000eiem |year=2010 |publisher=World Scientific |isbn=978-981-4271-88-2}}

[[Kategori: Teori grup]]

[[Kategori:Tindakan Grup aksigrup (matematika) | ]]

[[Kategori: Teori representasi grup]]

[[Kategori: Simetri]]