Kaidah darab: Perbedaan antara revisi

Konten dihapus Konten ditambahkan
Ariyanto (bicara | kontrib)
k Bersih-bersih (via JWB)
 
(33 revisi perantara oleh 21 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{CalculusKalkulus}}
[[Berkas:Produktregel.PNG|thumb|right|Ilustrasi geometri bukti aturan perkalian]]
 
{{about||Aturan rantai Euler terkait turunan parsial dari tiga variabel independen|Aturan perkalian tiga|prinsip penghitungan dalam kombinatorika|Kaidah perkalian|aturan hasil kali umum dalam probabilitas|Kaidah rantai (probabilitas)}}
Dalam [[kalkulus]], '''kaidah darab''' (Bahasa Inggris: '''{{Lang-en|product rule'''}}), atau sering disebut '''hukum Leibniz''' (lihat [[turunan]]), adalah kaidah yang menentukan turunan dari hasil kali (darab) [[fungsi]] yang terdiferensialkan.
 
Kaidah ini dapat dituliskan sebagai:
Baris 12 ⟶ 13:
 
== Penemuan oleh Leibniz ==
Kaidah ini ditemukan oleh [[Gottfried Leibniz]] yang mendemonstrasikannya dengan menggunakan [[diferensial]].<ref>{{cite Argumenjournal|author=Michelle LeibnizCirillo|date=August adalah2007|title=Humanizing sebagaiCalculus|url=http://www.nctm.org/publications/article.aspx?id=19302|journal=The Mathematics Teacher|volume=101|issue=1|pages=23–27|doi=10.5951/MT.101.1.0023|url-access=subscription}}</ref> Argumen Leibniz berikutmengatakan: Jikajika ''u''(''x'') dan ''v''(''x'') adalah dua fungsi ''x'' yang terdiferensialkan., Makamaka diferensial dari ''uv'' adalah
 
: <math>
Baris 21 ⟶ 22:
</math>
 
Oleh karena (''du'')(''dv'') adalah "dapat dihiraukandiabaikan" (i.e. paling tidak [[kuadratis]] pada ''du'' dan ''dv''), Leibniz berkesimpula bahwa
 
:<math>d(uv) = v\,du + u\,dv \,</math>
Baris 35 ⟶ 36:
== Pembuktian kaidah darab ==
 
Pembuktian yang cermat dari kaidah darab dapat diberikan menggunakan sifat-sifat [[limit]] dan definisi turunan sebagai limit dari [[hasil bagi beda]] [[|Isaac Newton|Newton]].
 
Misalkan
Baris 41 ⟶ 42:
:<math> h(x) = f(x)g(x),\,</math>
 
dan ''f'' and ''g'' masing-masing terdiferensialkan pada bilangan tetap ''x''. Maka
 
:<math>h'(x) = \lim_{w\to x}{ h(w) - h(x) \over w - x} = \lim_{w\to x}{f(w)g(w) - f(x)g(x) \over w - x}. \qquad\qquad(1)</math>
Baris 50 ⟶ 51:
 
adalah luas daerah persegi panjang besar dikurangi luas daerah persegi panjang kecil seperti yang digambarkan
[[ImageBerkas:Regladelproducte.png|centerpus|750px]]
Kita ketahui bahwa daerah berbentuk-L di atas dapat dibagi lagi menjadi dua persegi panjang, maka jumlah daerah tersebut dapat ditulis:
 
Baris 71 ⟶ 72:
:<math>\lim_{w\to x}f(x) = f(x)\,</math>
 
karena ''f''(''x'') tetaplah konstan ketika ''w'' &rarr; ''x'';
 
:<math> \lim_{w\to x} {g(w) - g(x) \over w - x} = g'(x) </math>
Baris 102 ⟶ 103:
:<math>{d \over dx} f = v {d \over dx} u + u {d \over dx} v.</math>
 
Pembuktian ini dapat dilihat di [http://planetmath.org/encyclopedia/LogarithmicProofOfProductRule.html] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080117114913/http://planetmath.org/encyclopedia/LogarithmicProofOfProductRule.html |date=2008-01-17 }}. Perlu diperhatikan bahwa karena ''u'', ''v'' haruslah kontinu, asumsi positif tidak akan menghilangkan kerampatan (generality).
 
Pembuktian ini bergantung pada [[kaidah rantai]] dan sifat-sifat fungsi [[logaritma natural]].
Baris 112 ⟶ 113:
: <math> {d (ab) \over dx} = \frac{\partial(ab)}{\partial a}\frac{da}{dx}+\frac{\partial (ab)}{\partial b}\frac{db}{dx} = b \frac{da}{dx} + a \frac{db}{dx}.</math>
 
== Perumuman ==
== Perampatan (''Generalization'') ==
=== Hasil kali dari lebih dari dua faktor ===
 
Kaidah darab dapat dirampatkandiperumum ke hasil kali yang memiliki lebih dari dua faktor. Misalkan untuk tiga faktor:
 
:<math>\frac{d(uvw)}{dx} = \frac{du}{dx}vw + u\frac{dv}{dx}w + uv\frac{dw}{dx}.</math>
Baris 135 ⟶ 136:
=== Turunan parsial lebih tinggi ===
 
Untuk [[turunan parsial]] lebih tinggi:
 
:<math>{\partial^n \over \partial x_1\,\cdots\,\partial x_n} (uv)
= \sum_S {\partial^{|S|} u \over \prod_{i\in S} \partial x_i} \cdot {\partial^{n-|S|} v \over \prod_{i\not\in S} \partial x_i}</math>
 
dengan indeks ''S'' merupakanadalah deret 2<sup>''n''</sup> dari subhimpunan dari {1,&nbsp;...,&nbsp;''n''}. Misalkan ''n'' =&nbsp;3:
 
:<math>\begin{align} &{}\quad {\partial^3 \over \partial x_1\,\partial x_2\,\partial x_3} (uv) \\ \\
Baris 151 ⟶ 152:
=== Kaidah darab pada ruang Banach ===
 
Jika ''X'', ''Y'', dan ''Z'' adalah [[ruang Banach]] (yang meliputi [[ruang Euclide]]) dan ''B'' : ''X'' &times;× ''Y'' &rarr; ''Z'' adalah [[operator bilinear]] [[kontinu]]. Maka ''B'' terdiferensialkan dan turunannya pada titik (''x'',''y'') di ''X'' &times;× ''Y'' adalah [[peta linear]] ''D''<sub>(''x'',''y'')</sub>''B'' : ''X'' &times;× ''Y'' &rarr; ''Z'' given by
:<math> (D_\left( x,y \right)\,B)\left( u,v \right) = B\left( u,y \right) + B\left( x,v \right)\qquad\forall (u,v)\in X \times Y. </math>
 
=== Turunan dalam aljabar abstrak ===
Baris 165 ⟶ 166:
:<math>(fg)'=f'g+g'f \,</math>, walaupun ini adalah benar pada perkalian skalar.
 
== Lihat pula ==
* [[Kaidah hasil bagi]]
* [[Kaidah timbal balik]]
* [[Kaidah rantai]]
* [[Integrasi parsial]]
* [[Pengintegralan bagian demi bagian]]
* [[Diferensial]]
* [[Turunan (aljabar abstrak)]]
[[Category:Kalkulus]]
[[Category:Matematika]]
 
{{Authority control}}
[[ar:قاعدة الجداء]]
 
[[bs:Pravilo derivacije proizvoda]]
[[CategoryKategori:Kalkulus]]
[[ca:Regla del producte]]
[[CategoryKategori:Matematika]]
[[de:Produktregel]]
[[es:Regla del producto]]
[[en:Product rule]]
[[fr:Règle du produit]]
[[he:כלל לייבניץ]]
[[it:Regola del prodotto]]
[[ko:곱셈 법칙]]
[[nl:Productregel]]
[[pt:Regra do produto]]
[[ru:Правило произведения]]
[[sv:Leibniz lag]]
[[th:กฎผลคูณ]]
[[tr:Çarpma kuralı]]
[[zh:乘法定则]]