Kaidah pendiferensialan: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif

← Revisi sebelumnya

Konten dihapus Konten ditambahkan

VisualTeks wiki

Revisi per 5 Oktober 2016 00.43 sunting Medelam (bicara \| kontrib) Pengecualian blokir IP, Peninjau, Pengembali revisi 291.502 suntingan kTidak ada ringkasan suntingan ← Revisi sebelumnya		Revisi terkini sejak 4 Desember 2022 11.34 sunting balikkan Ariyanto (bicara \| kontrib) Pengurus 67.086 suntingan k Bersih-bersih (via JWB)
(9 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1: {{Calculus\|diferensial}} '''Kaidah ~~diferensiasi~~pendiferensialan''' (atau '''~~Aturan~~aturan ~~diferensiasi~~pendiferensialan'''; {{lang-en\|Rules of differentiation}}) berikut merupakan ringkasan kaidah-kaidah untuk menghitung [[derivatif]] suatu [[fungsi (matematika)\|fungsi]] dalam [[kalkulus]]. Untuk daftar yang lebih lengkap, lihat [[Tabel turunan]]. == Kaidah dasar ~~diferensiasi~~pendiferensialan == Kecuali dinyatakan lain, semua fungsi merupakan fungsi [[bilangan real\|bilangan real ('''R''')]] yang menghasilkan nilai bilangan real; meskipun secara lebih umum, rumus-rumus berikut dapat diterapkan di manapun jika [[:en:well defined\|didefinisikan dengan baik]]<ref>''Calculus (5th edition)'', F. Ayres, E. Mendelson, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.</ref><ref>''Advanced Calculus (3rd edition)'', R. Wrede, M.R. Spiegel, Schuam's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.</ref>— termasuk [[bilangan kompleks\|bilangan kompleks ('''C''')]].<ref>''Complex Variables'', M.R. Speigel, S. Lipschutz, J.J. Schiller, D. Spellman, Schaum's Outlines Series, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161569-3</ref> === ~~Diferensiasi~~Pendiferensialan adalah linier === <!--{{main\|Linearity of differentiation}}--> Baris 58: Kasus-kasus khusus meliputi: * ''Kaidah konstanta'': jika ''f'' ~~merupakan~~adalah fungsi konstanta ''f''(''x'') = ''c'', untuk bilangan ''c'' apapun, maka untuk semua ''x'', ''f′''(''x'') = 0. * jika ''f''(''x'') = ''x'', maka ''f′''(''x'') = 1. Kasus khusus ini dapat digeneralisasi menjadi: : ''Turunan suatu fungsi ''affine'' adalah suatu konstanta'': jika ''f''(''x'') = ''ax'' + ''b'', maka ''f′''(''x'') = ''a''. Baris 64: Penggabungan kaidah ini dengan kelinearan turunan dan kaidah penjumlahan memungkinan penghitungan turunan polinomial apapun. === Kaidah timbal -balik === <!--{{main\|Reciprocal rule}}--> Turunan dari ''h''(''x'') = 1/''f''(''x'') untuk fungsi ''f'' (yang "tidak menghilang"; ''nonvanishing'') manapun adalah: Baris 80: Jika ''f'' dan ''g'' adalah fungsi, maka: :<math>\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\quad</math> ~~dimana~~di mana ''g'' bukan nol. Ini dapat diturunkan dari kaidah timbal balik dan kaidah darab. Sebaliknya (menggunakan kaidah konstanta) kaidah timbal balik dapat diturunkan dari kasus khusus ''f''(''x'') = 1. === Kaidah pemangkatan yang ~~digeneralisasi~~dirampat === {{main\|Kaidah pemangkatan}} Baris 97: == Turunan fungsi eksponensial dan logaritmik == :<math> \frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right) = {c^{ax} \ln c \cdot a } ,\qquad c > 0</math> perhatikan bahwa persamaan di atas adalah benar untuk semua ''c'', tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks. :<math> \frac{d}{dx}\left(e^x\right) = e^x</math> :<math> \frac{d}{dx}\left( \log_c x\right) = {1 \over x \ln c} , \qquad c > 0, c \ne 1</math> persamaan di atas adalah benar untuk semua ''c'', tetapi turunan bagi c < 0 menghasilkan bilangan kompleks. :<math> \frac{d}{dx}\left( \ln x\right) = {1 \over x} ,\qquad x > 0</math> :<math> \frac{d}{dx}\left( \ln \|x\|\right) = {1 \over x}</math> Baris 146: == Turunan fungsi hiperbolik == {\| style="width:100%; background:transparent; margin-left:2em;" \|width=50%\|<math>( \sinh x )'= \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}</math> \|width=50%\|<math>(\operatorname{arsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}</math> \|- \|<math>(\cosh x )'= \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}</math> \|<math>(\operatorname{arcosh}\,x)' = {\frac {1}{\sqrt{x^2-1}}}</math> \|- \|<math>(\tanh x )'= {\operatorname{sech}^2\,x}</math> \|<math>(\operatorname{artanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}</math> \|- Baris 162: \|<math>(\operatorname{arcsch}\,x)' = -{1 \over \|x\|\sqrt{1 + x^2}}</math> \|- \|<math>(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x</math> Baris 186: \|} == ~~Derivatif~~Turunan integral == <!--{{main\|Differentiation under the integral sign}}--> Baris 196: di mana fungsi-fungsi <math>f(x,t)\,</math> dan <math>\frac{\partial}{\partial x}\,f(x,t)\,</math> keduanya kontinu dalam <math>t\,</math> dan <math>x\,</math> dalam wilayah tertentu bidang <math>(t,x)\,</math>, termasuk <math>a(x)\leq t\leq b(x),</math> <math>x_0\leq x\leq x_1\,</math>, dan fungsi-fungsi <math>a(x)\,</math> dan <math>b(x)\,</math> keduanya kontinu dan memiliki turunan kontinu untuk <math>x_0\leq x\leq x_1\,</math>. Maka untuk <math>\,x_0\leq x\leq x_1\,\,</math>: :<math> F'(x) = f(x,b(x))\,b'(x) - f(x,a(x))\,a'(x) + \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x}\, f(x,t)\; dt\,. </math> Rumus ini merupakan bentuk umum dari [[:en:Leibniz integral rule\|kaidah integral Leibniz]] dan dapat diturunkan menggunakan Baris 206: === Rumus Faà di Bruno === <!--{{main\|Faà di Bruno's formula}}--> Jika ''f'' dan ''g'' dapat diturunkan ''n'' kali, maka :<math> \frac{d^n}{d x^n} [f(g(x))]= n! \sum_{\{k_m\}}^{} f^{(r)}(g(x)) \prod_{m=1}^n \frac{1}{k_m!} \left(g^{(m)}(x) \right)^{k_m}</math> Baris 214: === Kaidah Leibniz umum === <!--{{main\|General Leibniz rule}}--> Jika ''f'' dan ''g'' dapat diturunkan ''n'' kali, maka :<math> \frac{d^n}{dx^n}[f(x)g(x)] = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{d^{n-k}}{d x^{n-k}} f(x) \frac{d^k}{d x^k} g(x)</math> Baris 248: [http://www.planetcalc.com/675/ Derivative calculator with formula simplification] * [http://mathmajor.org/calculus-and-analysis/table-of-derivatives/ A Table of Derivatives] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20121031103355/http://mathmajor.org/calculus-and-analysis/table-of-derivatives/ \|date=2012-10-31 }} {{Topik kalkulus}} {{Authority control}} [[Kategori:Matematika]]