Wikipedia

Uji kekonvergenan: Perbedaan antara revisi

Jelajahi riwayat secara interaktif
← Revisi sebelumnya
Konten dihapus Konten ditambahkan
VisualTeks wiki
k Robot: Perubahan kosmetika
Dedhert.Jr (bicara | kontrib)
16.164 suntingan
 
(17 revisi perantara oleh 5 pengguna tidak ditampilkan)
Baris 1:
{{Calculus |Deret}}
 
'''TesUji konvergensikekonvergenan''' ('''Uji konvergensi'''; {{lang-en|convergence tests}}) dalam [[matematika]] adalah kumpulan metodametode untuk melakukan tesuji yang berkenaan dengan [[deret konvergen]], [[:en:conditional convergence|konvergensikekonvergenan bersyarat]], [[:en:absolute convergence|konvergensikekonvergenan mutlak]], [[:en:interval of convergence|intervalkekonvergenan konvergensiselang]] atau divergensi suatu [[deret (matematika)|deret tak terhingga]].
 
== Daftar tesuji kekonvergenan ==
 
* {{anchor|Limit dari jinumlah}}'''Limit dari jinumlah''': Jika limit dari ''jinumlah'' (atau limit dari ''yang dijumlahkan'') tidak dapat didefinisikan atau bukan nol, yaitu <math>\lim_{n \to \infty}a_n \ne 0</math>, maka deret tersebut pasti divergen. Dalam hal ini, jumlah parsial merupakan [[barisan Cauchy]] [[Jika dan hanya jika|hanya jika]] limit ini ada dan sama dengan nol. Uji ini tidak mempunyai kesimpulan jika limit jumlah semua elemen sama dengan nol.
=== [[Tes elemen]] ===
* '''[[Uji rasio]]:''' Uji ini juga dikenal sebagai '''kriteria d'Alembert''' (''d'Alembert's criterion''). Uji ini mengatakan: Misalkan terdapat <math>r</math> sedemikian rupa sehingga<math display="block">\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r.</math>Jika <math>r < 1</math>, maka deret tersebut konvergen. Jika <math>r > 1</math>, maka deret tersebut divergen. Jika <math>r = 1</math>, maka uji rasio tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.
Jika limit dari ''summand'' (jumlah semua elemen) tidak dapat didefinisikan atau bukan nol, yaitu <math>\lim_{n \to \infty}a_n \ne 0</math>, maka deret itu pastilah divergen. Dalam hal ini, jumlah parsial merupakan [[:en:Cauchy sequence|Cauchy]] [[:en:only if|hanya jika]] limit ini ada dan sama dengan nol. Tes ini tidak mempunyai kesimpulan (''inconclusive'') jika limit jumlah semua elemen sama dengan nol.
* '''[[Uji akar]]''': Uji ini juga dikenal sebagai "'''Uji akar ke-n'''" (''n''-th root test)atau '''kriteria Cauchy''' (''Cauchy's criterion'')''.'' Misalkan<math display="block">r = \limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|},</math>dengan <math>\lim \sup</math> melambangkan [[limit atas]] (kemungkinannya ∞; jika ada limit, maka itulah nilainya). Jika <math>r < 1</math>, maka deret tersebut konvergen. Jika <math>r > 1</math>, maka deret tersebut divergen. Jika <math>r = 1</math>, maka uji akarnya tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.
 
* '''[[Uji integral]]''': Suatu deret dapat dibandingkan dengan suatu integral untuk menguji apakah deret tersebut konvergen atau divergen. Misalkan <math>f:[1,\infty)\to\R_+</math> adalah suatu fungsi positif dan [[Fungsi monoton|menurun secara monoton]] sedemikian rupa sehingga <math>f(n) = a_n</math>. Jika<math display="block">\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx < \infty,</math>maka deret tersebut konvergen. Akan tetapi, jika integralnya divergen, maka deret tersebut juga divergen. Dengan kata lain, deret <math>{a_n}</math> konvergen [[jika dan hanya jika]] integralnya konvergen.
=== [[Tes rasio]] ===
** Korolari dari uji integral yang umum dipakai adalah {{anchor|uji deret-p}}'''uji deret-''p''''': Misalkan <math>k > 0</math>, maka <math display="inline">\sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n^p}</math> konvergen jika <math>p > 1</math>. Kasus <math>p = 1, k = 1</math> untuk uji ini akan menghasilkan deret harmonik yang hasilnya divergen. Kasus <math>p = 2, k = 1</math> adalah [[masalah Basel]] dan deret tersebut konvergen menuju <math display="inline">\frac{\pi^2}{6}</math>. Secara umum, untuk <math>p > 1, k = 1</math>, maka deret tersebut sama dengan [[fungsi zeta Riemann]] dari <math>p</math>, yaitu <math>\zeta(p)</math>.
Juga dikenal sebagai "'''Kriteria D'Alembert'''" (''D'Alembert's criterion''). Misalnya ada <math>r</math> sedemikian sehingga
* '''[[Uji perbandingan langsung]]''': Jika deret <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty b_n</math> merupakan suatu deret [[Kekonvergenan mutlak|konvergen mutlak]] dan <math>|a_n|\le |b_n|</math> untuk <math>n</math> yang cukup besar, maka deret <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty a_n</math> konvergen mutlak.
:<math>\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r.</math>
* '''[[Uji perbandingan limit]]''': Jika <math>\left \{ a_n \right \}, \left \{ b_n \right \} > 0</math>, dan limit <math display="inline">\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}</math> ada, merupakan terhingga dan bukan nol, maka <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty a_n</math> konvergen [[jika dan hanya jika]] <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty b_n</math> konvergen.
:Jika ''r'' < 1, maka deret itu konvergen.
* '''[[Uji kondensasi Cauchy]]''': Misalkan <math>\left \{ a_n \right \}</math> adalah barisan positif yang tidak menaik, maka jumlah <math display="inline">A = \sum_{n=1}^\infty a_n</math> adalah konvergen [[jika dan hanya jika]] jumlah <math display="inline">A^* = \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n}</math> konvergen. Terlebih lagi, jika jumlah tersebut konvergen, maka berlaku pertidaksamaan <math>A \leq A^* \leq 2A</math>.
:Jika ''r'' > 1, maka deret itu divergen.
* '''[[Uji Abel]]''': Misalnya pernyataan-pernyataan berikut ini benar: <math display="inline">\sum a_n </math> adalah suatu deret konvergen; <math>\{b_n\}</math> adalah suatu urutan monoton; dan <math>\{b_n\}</math> mempunyai batasan (''bounded''). Maka <math display="inline">\sum a_nb_n </math> juga konvergen.
:Jika ''r'' = 1, tes rasio tidak konklusif, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.
*'''[[Uji Dirichlet]]''': Jika <math>\{a_n\}</math> adalah barisan [[bilangan real]] dan <math>\{b_n\}</math> adalah barisan [[bilangan kompleks]] yang memenuhi syarat bahwa: <math>a_n \geq a_{n+1}</math>, <math display="inline">\lim_{n \rightarrow \infty}a_n = 0</math>, dan <math display="inline">\left|\sum^{N}_{n=1}b_n\right|\leq M</math> untuk setiap bilangan bulat positif <math>N</math> dengan menyatakan suatu konstan, maka deret <math display="inline">\sum^{\infty}_{n=1}a_n b_n</math> konvergen.
 
*'''[[Uji kekonvergenan Cauchy]]''': Suatu deret <math display="inline">\sum_{i=0}^\infty a_i</math> adalah konvergen jika dan hanya jika untuk setiap <math>\varepsilon>0</math>, terdapat suatu bilangan asli <math>N</math> sehingga<math display="block">|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}|<\varepsilon</math> berlaku untuk semua <math>n > N</math> dan untuk semua <math>p \ge 1</math>.
=== [[Tes akar]] ===
*'''[[Teorema Stolz–Cesàro]]''': Misalkan <math>(a_n)_{n \geq 1}</math> dan <math>(b_n)_{n \geq 1}</math> adalah dua barisan bilangan real. Asumsi bahwa <math>(b_n)_{n \geq 1}</math> adalah barisan yang [[Fungsi monoton|monoton sempurna]] dan divergen, serta mempunyai nilai limit berikut:<math display="block"> \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l.\ </math>Maka, limit<math display="block"> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l.\ </math>
 
*'''[[Uji-M Weierstrass]]''': Misalkan <math>(f_n)</math> adalah suatu barisan dari fungsi bilangan real atau kompleks yang terdefinisi pada suatu himpunan <math>A</math>, dan misalkan terdapat barisan bilangan non-negatif <math>(M_n)</math> yang memenuhi syarat-syarat: <math>|f_n(x)|\leq M_n</math> untuk semua <math>n \geq 1</math> dan semua <math>x \in A</math>, serta <math display="inline">\sum_{n=1}^{\infty} M_n </math> konvergen. Maka deret <math display="inline">\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)</math> konvergen mutlak dan [[Konvergensi seragam|seragam]] di <math>A</math>.
Juga dikenal sebagai "'''Test akar ke-n'''" (''n''th root test'' atau "'''Kriteria Cauchy'''", ''Cauchy's criterion''). Diketahui ''r'' didefinisikan sebagai berikut:
* '''[[Uji Raabe–Duhamel]]''': Misalkan <math>\{a_n\}</math> adalah barisan bilangan positif. Misalkan terdapat barisan yang didefinisikan dengan <math display="block"> b_n = n \left( \frac{ a_n }{ a_{ n + 1 } } - 1 \right). </math>Jika <math> L = \lim_{ n \to \infty } b_n </math> ada, maka akan ada tiga kemungkinan: Jika <math>L > 1</math>, maka deret itu konvergen; jika <math>L < 1</math>, maka deret itu divergen; dan jika <math>L = 1</math>, maka uji tersebut tidak dapat disimpulkan. Perumusan uji lainnya adalah sebagai berikut: Misalkan <math>\{a_n\}</math> adalah suatu deret bilangan real. Jika terdapat <math>b>1</math> dan <math>K</math> (adalah suatu bilangan asli) sehingga<math display="block"> \left|\frac{ a_{ n + 1 } }{ a_n }\right| \le 1 - \frac{ b }{ n } </math>untuk semua <math>n > K</math>, maka deret <math>\{a_n\}</math> konvergen.
 
:<math>r = \limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|},</math>
 
:di mana "lim sup" melambangkan [[:en:limit superior|batas atas limit]] (mungkin ∞; jika ada limit, maka itulah nilainya).
 
:Jika ''r'' < 1, maka deret itu konvergen.
:Jika ''r'' > 1, maka deret itu divergen.
:Jika ''r'' = 1, tes akar tidak konklusif, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.
 
=== [[:en:Integral test for convergence|Tes integral]] ===
 
Deret itu dapat dibandingkan dengan suatu integral untuk menguji apakah konvergen atau divergen.
Misalnya <math>f:[1,\infty)\to\R_+</math> adalah suatu fungsi positif dan [[:en:monotonic function|''monotone decreasing'']] sedemikian sehingga <math>f(n) = a_n</math>.
:Jika <math>\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx < \infty,</math> maka deret itu konvergen
:Jika integral itu divergen, maka deret itu juga divergen.
Dengan kata lain, deret <math>{a_n}</math> konvergen [[jika dan hanya jika]] integralnya konvergen.
 
=== [[:en:Direct comparison test|Tes perbandingan langsung]] ===
 
Jika deret <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math> merupakan suatu deret [[:en:absolutely convergent|konvergen mutlak]] dan <math>|a_n|\le |b_n|</math> untuk ''n''&nbsp;yang cukup besar, maka deret <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> mutlak konvergen (''absolutely convergent'').
 
=== [[:en:Limit comparison test|Tes perbandingan limit]] ===
 
Jika <math>\left \{ a_n \right \}, \left \{ b_n \right \} > 0</math>, dan limit <math>\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}</math> ada, finit dan bukan nol, maka <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> konvergen [[jika dan hanya jika]] <math>\sum_{n=1}^\infty b_n</math> konvergen.
'''
 
=== [[:en:Cauchy condensation test|Tes kondensasi Cauchy]] ===
 
Misalkan <math>\left \{ a_n \right \}</math> adalah urutan positif yang tidak meningkat. Maka jumlah <math>A = \sum_{n=1}^\infty a_n</math> adalah konvergen [[jika dan hanya jika]] jumlah <math>A^* = \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n}</math> konvergen. Lagi pual, jika konvergen, maka <math>A \leq A^* \leq 2A</math> berlaku.
 
=== [[Tes Abel]] ===
 
Misalnya pernyataan-pernyataan berikut ini benar:
 
# <math>\sum a_n </math> adalah suatu deret konvergen,
# {''b''<sub>''n''</sub>} adalah suatu urutan monoton, dan
# {''b''<sub>''n''</sub>} mempunyai batasan (''bounded'').
 
Maka <math>\sum a_nb_n </math> juga konvergen.
 
=== [[:en:Alternative series test|Tes deret berseling]] ===
 
<!--This is also known as the Leibniz criterion. If <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> is a series whose terms alternative from positive to negative, and if the limit as n approaches infinity of <math> a_n </math> is zero and the absolute value of each term is less than the absolute value of the previous term, then <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> is konvergen.
-->
=== [[Dirichlet test|Tes Dirichlet]] ===
 
=== [[Tes Raabe-Duhamel]] ===
 
Misalkan { ''a''<sub>n</sub> } > 0.
 
Definisikan
 
<math> b_n = n \left( \frac{ a_n }{ a_{ n + 1 } } - 1 \right ) </math>.
 
Jika <math> L = \lim_{ n \to \infty } b_n </math> ada, maka ada tiga kemungkinan:
 
* Jika ''L'' > 1 deret itu konvergen
* Jika ''L'' < 1 deret itu divergen
* Jika ''L'' = 1 tes itu tidak konklusif.
 
Suatu rumus alternatif tes ini adalah sebagai berikut. Misalkan { ''a''<sub>n</sub> } adalah suatu deret bilangan real. Maka jika ''b'' > 1 dan K (sebuah bilangan asli) ada sedemikian sehingga
 
<math> |\frac{ a_{ n + 1 } }{ a_n }| \le 1 - \frac{ b }{ n } </math>
 
untuk semua ''n'' > ''K'' maka deret { ''a''<sub>n</sub> } itu konvergen.
 
=== Catatan ===
 
* Untuk sejumlah jenis deret tertentu ada tes konvergensi yang lebih khusus, misalnya untuk [[deret Fourier]] digunakan [[:en:Dini test|tesuji Dini]]
 
== Perbandingan ==
Tes akar lebih kuat dari tes rasio (lebih kuat karena syarat yang dibutuhkan lebih lemah): bilamana tes rasio menentukan suatu deret tak terhingga itu konvergen atau divergen, maka hasil yang sama didapat dari tes akar, tetapi sebaliknya tidak selalu demikian.<ref>[http://www.mathcs.org/analysis/reals/numser/t_ratio.html Tes Rasio]</ref>
 
Contohnya, untuk deret
 
:1 + 1 + 0.5 + 0.5 + 0.25 + 0.25 + 0.125 + 0.125 + ...=4
 
konvergen menurut tes akar tetapi tidak konvergen menurut tes rasio.
 
== Contoh ==
Misalkan, diberikan suatu deret{{NumBlk|:|<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}.</math>|{{EquationRef|i}}}}[[Uji kondensasi Cauchy]] menyiratkan bahwa deret di ({{EquationNote|i}}) adalah konvergen terhingga jika{{NumBlk|:|<math> \sum_{n=1}^\infty 2^n \left( \frac 1 {2^n}\right)^\alpha </math>|{{EquationRef|ii}}}}konvergen terhingga. Karena<math display="block">\sum_{n=1}^\infty 2^n \left( \frac 1 {2^n} \right)^\alpha = \sum_{n=1}^\infty 2^{n-n\alpha} = \sum_{n=1}^\infty 2^{(1-\alpha) n}, </math>maka deret di ({{EquationNote|ii}}) adalah deret geometri dengan rasio <math> 2^{(1-\alpha)} </math>. Deret di ({{EquationNote|ii}}) adalah konvergen terhingga jika rasionya lebih kecil dari 1, ditulis {{nowrap|<math>\alpha > 1</math>.}} Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa deret di ({{EquationNote|i}}) adalah konvergen terhingga jika dan hanya jika {{nowrap|<math>\alpha > 1</math>.}}
Pertimbangkan deret
 
== Kekonvergenan hasil kali ==
<math>(*) \;\;\; \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}</math>.
Walaupun kebanyakan uji-uji tersebut berkenaan dengan kekonvergenan dari deret tak terhingga, uji-uji tersebut juga dapat dipakai untuk memperlihatkan kekonvergenan atau kedivergenan dari [[Darab takhingga|hasil kali tak terhingga]]. Hal ini dapat diperoleh dengan menggunakan teorema berikut:
 
: Misalkan <math>\left \{ a_n \right \}_{n=1}^\infty</math> adalah barisan bilangan positif, maka hasil kali tak terhingga <math display="inline">\prod_{n=1}^\infty (1 + a_n)</math> konvergen jika dan hanya jika deret <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty a_n</math> konvergen. Dengan cara yang serupa, jika berlaku pertidaksamaan <math>0 < a_n < 1</math>, maka <math display="inline">\prod_{n=1}^\infty (1 - a_n)</math> mendekati suatu limit tak nol jika dan hanya jika deret <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty a_n</math> konvergen.
[[:en:Cauchy condensation test|Tes kondensasi Cauchy]] menyiratkan bahwa (*) konvergen secara finit jika
 
Teorema tersebut dapat dibuktikan dengan mengambil logaritma dari hasil kali dan menggunakan uji perbandingan limit.<ref>{{cite web|last=Belk|first=Jim|date=26 January 2008|title=Convergence of Infinite Products|url=https://cornellmath.wordpress.com/2008/01/26/convergence-of-infinite-products/}}</ref>
<math> (**) \;\;\; \sum_{n=1}^{\infty} 2^n \left ( \frac{1}{2^n}\right )^\alpha </math>
 
secara finit konvergen. Karena
 
<math>\sum_{n=1}^{\infty} 2^n \left ( \frac{1}{2^n}\right )^\alpha =
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n-n\alpha} =
\sum_{n=1}^{\infty} 2^{(1-\alpha) n} </math>
 
(**) merupakan [[deret geometri]] dengan rasio <math> 2^{(1-\alpha)} </math>. (**) secara finit konvergen jika rasionya kurang dari satu (yaitu <math>\alpha > 1</math>). Jadi, (*) secara finit konvergen [[jika dan hanya jika]] <math> \alpha > 1 </math>.
<!--
== Konvergensi hasil perkalian ==
While most of the tests deal with the convergence of infinite series, they can also be used to show the convergence or divergence of infinite products. This can be achieved using following theorem: Let <math>\left \{ a_n \right \}_{n=1}^\infty</math> be a sequence of positive numbers. Then the infinite product <math>\prod_{n=1}^\infty (1 + a_n)</math> converges [[jika dan hanya jika]] the series <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> converges. Also similarly, if <math>0 < a_n < 1</math> holds, then <math>\prod_{n=1}^\infty (1 - a_n)</math> approaches a non-zero limit jika dan hanya jika the series <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> converges .
 
Ini dapat dibuktikan dengan mengambil logaritma hasil kali dan menggunakan tes perbandingan limit.<ref>[http://cornellmath.wordpress.com/2008/01/26/convergence-of-infinite-products/ Convergence of Infinite Products]</ref>
-->
== Lihat pula ==
* [[:en:L'Hôpital's rule|Kaidah L'Hôpital]]
* [[:en:Shift rule|Kaidah geser]]
 
== Referensi ==
Baris 127 ⟶ 42:
 
== Pranala luar ==
* [http://www.math.tamu.edu/~austin/serieschart.pdf Flowchart for choosing convergence test] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100808034427/http://www.math.tamu.edu/~austin/serieschart.pdf |date=2010-08-08 }}
 
{{Authority control}}
 
[[Kategori:Matematika]]
[[Kategori:Tes konvergensi| ]]
[[Kategori:Matematika]]
Diperoleh dari "https://wiki-indonesia.club/wiki/Uji_kekonvergenan"