Uji kekonvergenan: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) →Daftar uji kekonvergenan: coba menggunakan daftar berpoin |
Dedhert.Jr (bicara | kontrib) →Daftar uji kekonvergenan: display block |
||
| (5 revisi perantara oleh pengguna yang sama tidak ditampilkan) | |||
Baris 5:
== Daftar uji kekonvergenan ==
* {{anchor|Limit dari jinumlah}}'''Limit dari jinumlah''': Jika limit dari ''jinumlah'' (atau limit dari ''yang dijumlahkan'') tidak dapat didefinisikan atau bukan nol, yaitu <math>\lim_{n \to \infty}a_n \ne 0</math>, maka deret tersebut pasti divergen. Dalam hal ini, jumlah parsial merupakan [[barisan Cauchy]] [[Jika dan hanya jika|hanya jika]] limit ini ada dan sama dengan nol. Uji ini tidak mempunyai kesimpulan jika limit jumlah semua elemen sama dengan nol.
* '''[[Uji rasio]]:''' Uji ini juga dikenal sebagai '''kriteria d'Alembert''' (''d'Alembert's criterion''). Uji ini mengatakan: Misalkan terdapat <math>r</math> sedemikian rupa sehingga<math display="block">\lim_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = r.</math>Jika <math>r < 1</math>, maka deret tersebut konvergen. Jika <math>r > 1</math>, maka deret tersebut divergen. Jika <math>r = 1</math>, maka uji rasio tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.
* '''[[Uji akar]]''': Uji ini juga dikenal sebagai "'''Uji akar ke-n'''" (''n''-th root test)atau '''kriteria Cauchy''' (''Cauchy's criterion'')''.'' Misalkan<math display="block">r = \limsup_{n \to \infty}\sqrt[n]{|a_n|},</math>dengan <math>\lim \sup</math> melambangkan [[limit atas]] (kemungkinannya ∞; jika ada limit, maka itulah nilainya). Jika <math>r < 1</math>, maka deret tersebut konvergen. Jika <math>r > 1</math>, maka deret tersebut divergen. Jika <math>r = 1</math>, maka uji akarnya tidak meyakinkan, dan deret itu bisa saja konvergen atau divergen.
* '''[[Uji integral]]''': Suatu deret dapat dibandingkan dengan suatu integral untuk menguji apakah deret tersebut konvergen atau divergen. Misalkan <math>f:[1,\infty)\to\R_+</math> adalah suatu fungsi positif dan [[Fungsi monoton|menurun secara monoton]] sedemikian rupa sehingga <math>f(n) = a_n</math>. Jika<math display="block">\int_{1}^{\infty} f(x)\, dx = \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} f(x)\, dx < \infty,</math>maka deret tersebut konvergen. Akan tetapi, jika integralnya divergen, maka deret tersebut juga divergen. Dengan kata lain, deret <math>{a_n}</math> konvergen [[jika dan hanya jika]] integralnya konvergen.
** Korolari dari uji integral yang umum dipakai adalah {{anchor|uji deret-p}}'''uji deret-''p''''': Misalkan <math>k > 0</math>, maka <math display="inline">\sum_{n=k}^{\infty} \frac{1}{n^p}</math> konvergen jika <math>p > 1</math>. Kasus <math>p = 1, k = 1</math> untuk uji ini akan menghasilkan deret harmonik yang hasilnya divergen. Kasus <math>p = 2, k = 1</math> adalah [[masalah Basel]] dan deret tersebut konvergen menuju <math display="inline">\frac{\pi^2}{6}</math>. Secara umum, untuk <math>p > 1, k = 1</math>, maka deret tersebut sama dengan [[fungsi zeta Riemann]] dari <math>p</math>, yaitu <math>\zeta(p)</math>.
* '''[[Uji perbandingan langsung]]''': Jika deret <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty b_n</math> merupakan suatu deret [[Kekonvergenan mutlak|konvergen mutlak]] dan <math>|a_n|\le |b_n|</math> untuk <math>n</math> yang cukup besar, maka deret <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty a_n</math> konvergen mutlak.
* '''[[Uji perbandingan limit]]''': Jika <math>\left \{ a_n \right \}, \left \{ b_n \right \} > 0</math>, dan limit <math display="inline">\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}</math> ada, merupakan terhingga dan bukan nol, maka <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty a_n</math> konvergen [[jika dan hanya jika]] <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty b_n</math> konvergen.
* '''[[Uji kondensasi Cauchy]]''': Misalkan <math>\left \{ a_n \right \}</math> adalah barisan positif yang tidak menaik, maka jumlah <math display="inline">A = \sum_{n=1}^\infty a_n</math> adalah konvergen [[jika dan hanya jika]] jumlah <math display="inline">A^* = \sum_{n=0}^\infty 2^n a_{2^n}</math> konvergen. Terlebih lagi, jika jumlah tersebut konvergen, maka berlaku pertidaksamaan <math>A \leq A^* \leq 2A</math>.
* '''[[Uji Abel]]''': Misalnya pernyataan-pernyataan berikut ini benar: <math display="inline">\sum a_n </math> adalah suatu deret konvergen; <math>\{b_n\}</math> adalah suatu urutan monoton; dan <math>\{b_n\}</math> mempunyai batasan (''bounded''). Maka <math display="inline">\sum a_nb_n </math> juga konvergen.
*
*'''[[Uji kekonvergenan Cauchy]]''': Suatu deret <math display="inline">\sum_{i=0}^\infty a_i</math> adalah konvergen jika dan hanya jika untuk setiap <math>\varepsilon>0</math>, terdapat suatu bilangan asli <math>N</math> sehingga<math display="block">|a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots+a_{n+p}|<\varepsilon</math> berlaku untuk semua <math>n > N</math> dan untuk semua <math>p \ge 1</math>.
*'''[[Teorema Stolz–Cesàro]]''': Misalkan <math>(a_n)_{n \geq 1}</math> dan <math>(b_n)_{n \geq 1}</math> adalah dua barisan bilangan real. Asumsi bahwa <math>(b_n)_{n \geq 1}</math> adalah barisan yang [[Fungsi monoton|monoton sempurna]] dan divergen, serta mempunyai nilai limit berikut:<math display="block"> \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l.\ </math>Maka, limit<math display="block"> \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=l.\ </math>
*'''[[Uji-M Weierstrass]]''': Misalkan <math>(f_n)</math> adalah suatu barisan dari fungsi bilangan real atau kompleks yang terdefinisi pada suatu himpunan <math>A</math>, dan misalkan terdapat barisan bilangan non-negatif <math>(M_n)</math> yang memenuhi syarat-syarat: <math>|f_n(x)|\leq M_n</math> untuk semua <math>n \geq 1</math> dan semua <math>x \in A</math>, serta <math display="inline">\sum_{n=1}^{\infty} M_n </math> konvergen. Maka deret <math display="inline">\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)</math> konvergen mutlak dan [[Konvergensi seragam|seragam]] di <math>A</math>.
* '''[[Uji Raabe–Duhamel]]''': Misalkan <math>\{a_n\}</math> adalah barisan bilangan positif. Misalkan terdapat barisan yang didefinisikan dengan <math display="block"> b_n = n \left( \frac{ a_n }{ a_{ n + 1 } } - 1 \right). </math>Jika <math> L = \lim_{ n \to \infty } b_n </math> ada, maka akan ada tiga kemungkinan: Jika <math>L > 1</math>, maka deret itu konvergen; jika <math>L < 1</math>, maka deret itu divergen; dan jika <math>L = 1</math>, maka uji tersebut tidak dapat disimpulkan. Perumusan uji lainnya adalah sebagai berikut: Misalkan <math>\{a_n\}</math> adalah suatu deret bilangan real. Jika terdapat <math>b>1</math> dan <math>K</math> (adalah suatu bilangan asli) sehingga<math display="block"> \left|\frac{ a_{ n + 1 } }{ a_n }\right| \le 1 - \frac{ b }{ n } </math>untuk semua <math>n > K</math>, maka deret <math>\{a_n\}</math> konvergen.
=== Catatan ===
* Untuk sejumlah jenis deret tertentu ada tes konvergensi yang lebih khusus, misalnya untuk [[deret Fourier]] digunakan uji Dini
== Contoh ==
Misalkan, diberikan suatu deret{{NumBlk|:|<math>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}.</math>|{{EquationRef|i}}}}[[Uji kondensasi Cauchy]] menyiratkan bahwa deret di ({{EquationNote|i}}) adalah konvergen terhingga jika{{NumBlk|:|<math> \sum_{n=1}^\infty 2^n \left( \frac 1 {2^n}\right)^\alpha </math>|{{EquationRef|ii}}}}konvergen terhingga. Karena<math display="block">\sum_{n=1}^\infty 2^n \left( \frac 1 {2^n} \right)^\alpha = \sum_{n=1}^\infty 2^{n-n\alpha} = \sum_{n=1}^\infty 2^{(1-\alpha) n}, </math>maka deret di ({{EquationNote|ii}}) adalah deret geometri dengan rasio <math> 2^{(1-\alpha)} </math>. Deret di ({{EquationNote|ii}}) adalah konvergen terhingga jika rasionya lebih kecil dari 1, ditulis {{nowrap|<math>\alpha > 1</math>.}} Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa deret di ({{EquationNote|i}}) adalah konvergen terhingga jika dan hanya jika {{nowrap|<math>\alpha > 1</math>.}}
== Kekonvergenan hasil kali ==
Walaupun kebanyakan uji-uji tersebut berkenaan dengan kekonvergenan dari deret tak terhingga, uji-uji tersebut juga dapat dipakai untuk memperlihatkan kekonvergenan atau kedivergenan dari [[Darab takhingga|hasil kali tak terhingga]]. Hal ini dapat diperoleh dengan menggunakan teorema berikut:
: Misalkan <math>\left \{ a_n \right \}_{n=1}^\infty</math> adalah barisan bilangan positif, maka hasil kali tak terhingga <math display="inline">\prod_{n=1}^\infty (1 + a_n)</math> konvergen jika dan hanya jika deret <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty a_n</math> konvergen. Dengan cara yang serupa, jika berlaku pertidaksamaan <math>0 < a_n < 1</math>, maka <math display="inline">\prod_{n=1}^\infty (1 - a_n)</math> mendekati suatu limit tak nol jika dan hanya jika deret <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty a_n</math> konvergen.
▲Ini dapat dibuktikan dengan mengambil logaritma hasil kali dan menggunakan tes perbandingan limit.<ref>[http://cornellmath.wordpress.com/2008/01/26/convergence-of-infinite-products/ Convergence of Infinite Products]</ref>
== Lihat pula ==
* [[Kaidah L'Hôpital]]
| |||