Logaritma biner: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
k Robot: Perubahan kosmetika |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (12 revisi perantara oleh 6 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Infobox mathematical function|image=Binary logarithm plot with ticks.svg|name=Logaritma biner|domain=<math> (0,\infty) </math>|kodomain=<math> (-\infty,\infty) </math>|max=Tidak ada|min=Tidak ada|derivative=<math> \frac{1}{x \ln 2} </math>|zero=<math> 1 </math>|fields_of_application=[[Teori musik]]|inverse=<math> x = 2^y </math>}}
'''Logaritma biner''' ({{lang-en|binary logarithm}}) dalam [[matematika]] adalah
:<math>x=\log_2 n \quad\Longleftrightarrow\quad 2^x=n.</math>
Misalnya logaritma biner 1 adalah 0, logaritma biner 2 adalah 1, logaritma biner 4 adalah 2, logaritma biner 8 adalah 3, logaritma biner 16 adalah 4, logaritma biner 32 adalah 5 dan seterusnya.
Logaritma biner terkait erat dengan
== Sejarah ==
[[Berkas:
Tabel pangkat dua dipublikasikan oleh [[
{{Citation|title = Precalculus mathematics|first1 = Vivian Shaw|last1= Groza |first2= Susanne M. |last2=Shelley|publisher = Holt, Rinehart and Winston|location=New York|year=1972|isbn=978-0-03-077670-0|page = 182|url = http://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182}}.</ref><ref>{{citation
| last = Stifel | first = Michael | author-link = Michael Stifel
Baris 23 ⟶ 16:
| title = Arithmetica integra
| url = http://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=PA22
| year = 1544}}. A copy of the same table with two more entries appears on p. 237, and another copy extended to negative powers appears on p. 249b.</ref> Aplikasi
| last = Euler | first = Leonhard | author-link = Leonhard Euler
| contribution = Chapter VII. De Variorum Intervallorum Receptis Appelationibus
Baris 34 ⟶ 27:
== Notasi ==
Dalam matematika,
Sejumlah pengarang menuliskan
| last = Trucco | first = Ernesto
| doi = 10.1007/BF02477836
Baris 52 ⟶ 45:
| title = Computer multiplication and division using binary logarithms
| volume = EC-11
| year = 1962}}.</ref>
<!--▼
| title=Brockhaus Enzyklopädie in zwanzig Bänden | language=de |trans-title=Brockhaus Encyclopedia in Twenty Volumes
| volume=11 | page=554
| publisher=F.A. Brockhaus | location=Wiesbaden
| isbn=978-3-7653-0000-4
| year=1970
}}.</ref><ref>For ISO 31-11 see {{citation
| last1 = Thompson | first1 = Ambler
| last2 = Taylor | first2 = Barry M
| date = March 2008
| page = 33
| publisher = [[NIST]]
| title = Guide for the Use of the International System of Units (SI) — NIST Special Publication 811, 2008 Edition — Second Printing
| url = http://physics.nist.gov/cuu/pdf/sp811.pdf}}.</ref><ref>For ISO 80000-2 see {{citation
| chapter-url=http://www.ise.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf
| title=International Standard ISO 80000-2
| chapter=Quantities and units – Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology
| edition=1st|date=December 1, 2009
| at=Section 12, Exponential and logarithmic functions, p. 18}}.</ref>
==
===
:<math> \lfloor \log_2 n\rfloor + 1. \, </math>
===
[[
Meskipun [[logaritma alami]] lebih penting daripada logaritma biner dalam banyak bidang [[matematika murni]] seperti [[teori bilangan]] dan [[analisis matematis]], logaritma biner memiliki beberapa penerapan dalam [[kombinatorik]]:
*
| last = Leiss | first = Ernst L.
| isbn = 9781420011708
Baris 75 ⟶ 86:
| url = http://books.google.com/books?id=E6BNGFQ6m_IC&pg=RA2-PA28
| year = 2006}}.</ref>
*
*Every [[partial cube]] with ''n'' vertices has isometric dimension at least <math>\log_2 n</math>, and at most <math>\frac{1}{2}n\log_2 n</math> edges, with equality when the partial cube is a [[hypercube graph]].<ref>{{citation
| last = Eppstein | first = David | authorlink = David Eppstein
Baris 94 ⟶ 105:
| publisher = Wiley-Interscience
| title = Ramsey Theory
| year = 1980}}.</ref>-->
===
[[
Logaritma biner juga sering muncul dalam [[analisis algoritma]],<ref name="gt02"/> bukan hanya karena aritmetika bilangan biner kerap digunakan dalam algoritma, tetapi juga karena logaritma biner muncul dalam analisis algoritma yang menggunakan percabangan dua arah.<ref name="knuth"/> Jika suatu masalah awalnya punya ''<math>n</math>'' pilihan untuk dipilih, dan setiap pengulangan algoritma membagi dua banyak pilihannya, maka banyak pengulangan yang diperlukan untuk mendapatkan satu pilihan adalah bagian bulat dari <math>\log_2 n</math>. Ide ini digunakan dalam menganalisis beberapa [[algoritma]] dan [[struktur data]]. Contohnya, dalam [[pencarian biner]], ukuran masalah dibagi dua pada setiap pengulangannya, sehingga perlu kira-kira <math>\log_2 n</math> pengulangan untuk mendapatkan masalah berukuran 1, yang bisa diselesaikan dalam waktu konstan. Tidak jauh berbeda, [[pohon pencarian biner]] yang seimbang dan memiliki ''n'' element pasti punya tinggi <math>\log_2 n + 1</math>.
Namun, lama waktu dijalankannya algoritma biasanya diekspresikan dalam [[notasi O besar]], yang mengabaikan faktor konstanta. Karena <math>\log_2 n = \frac{\log_k n}{\log_k 2}</math>, dengan <math>k</math> adalah suatu bilangan yang lebih dari 1, algoritma yang berjalan dalam waktu <math>O(\log_2 n)</math> bisa juga dikatakan berjalan dalam waktu <math>O(\log_{13} n)</math>. Jadi basis logaritma dalam ekspresi-ekspresi seperti <math>O(\log n)</math> atau <math>O(n \log n)</math> tidaklah penting.<ref name="clrs"/> Akan tetapi, dalam beberapa konteks, basis logaritma perlu dijelaskan. Contohnya <math>O(2^{\log_2 n})</math> tidak sama dengan <math>O(2^{\ln n})</math> karena yang pertama sama dengan <math>O(n)</math> sedangkan yang kedua sama dengan <math>O(n^{0.6931\dots})</math>.
*[[quicksort|
*
*[[
*[[
===Bioinformatika===
[[Berkas:Mouse cdna microarray.jpg|thumb|280px|Sebuah data [[mikrolarik]] dari ekspresi kira-kira 8700 gen. Tingkat ekspresi relatif dari gen-gen tersebut direpresentasikan menggunakan logaritma biner.]]
▲In the analysis of [[microarray]] data in [[bioinformatics]], expression rates of genes are often compared by using the binary logarithm of the ratio of expression rates. By using base 2 for the logarithm, a doubled expression rate can be described by a log ratio of 1, a halved expression rate can be described by a log ratio of −1, and an unchanged expression rate can be described by a log ratio of zero, for instance.<ref>{{citation|title=Microarray Gene Expression Data Analysis: A Beginner's Guide|first1=Helen|last1=Causton|first2=John|last2=Quackenbush|first3=Alvis|last3=Brazma|publisher=John Wiley & Sons|year=2009|isbn=9781444311563|pages=49–50|url=http://books.google.com/books?id=bg6D_7mdG70C&pg=PA49}}.</ref> Data points obtained in this way are often visualized as a [[scatterplot]] in which one or both of the coordinate axes are binary logarithms of intensity ratios, or in visualizations such as the [[MA plot]] and [[RA plot]] which rotate and scale these log ratio scatterplots.<ref>{{citation|title=Computational and Statistical Methods for Protein Quantification by Mass Spectrometry|first1=Ingvar|last1=Eidhammer|first2=Harald|last2=Barsnes|first3=Geir Egil|last3=Eide|first4=Lennart|last4=Martens|publisher=John Wiley & Sons|year=2012|isbn=9781118493786|page=105|url=http://books.google.com/books?id=3Z3VbhLz6pMC&pg=PA105}}.</ref>
=== Teori musik ===
Dalam [[teori musik]], [[Interval (musik)|interval]] atau perbedaan dalam persepsi antara dua nada ditentukan oleh rasio kedua [[frekuensi]]nya. Interval yang datang dari rasio [[bilangan rasional]] dengan
Untuk mempelajari [[
:<math>\left|1200\log_2\frac{f_1}{f_2}\right|.</math>
Istilah [[
===
=== Fotografi ===
Dalam [[fotografi]], [[
:<math>\log_2 \frac{N^2}{t}</math>
di mana <math>N</math> adalah [[
Binary logarithms (expressed as stops) are also used in [[densitometry]], to express the [[dynamic range]] of light-sensitive materials or digital sensors.<ref>{{citation|title=Visual Effects Society Handbook: Workflow and Techniques|first1=Susan|last1=Zwerman|first2=Jeffrey A.|last2=Okun|publisher=CRC Press|year=2012|isbn=9781136136146|page=205|url=http://books.google.com/books?id=3rLpAwAAQBAJ&pg=PA205}}.</ref>▼
== Kalkulasi ==▼
▲
▲== Kalkulasi ==
▲<!--
=== Konversi dari basis-basis lain ===
Suatu cara mudah untuk menghitung <sup>2</sup>log (''n'') pada [[kalkulator]] yang tidak mempunyai fungsi log<sub>2</sub> adalah menggunakan fungsi [[logaritma natural]] (ln) atau [[logaritma umum]] (log), yang biasanya ada pada kebanyakan [[:en:scientific calculator|scientific calculator]]. Rumus [[:en:Logarithm#Change of base|perubahan basis logaritma]] adalah:<ref name="btzs"/><ref>{{citation|title=Secret History: The Story of Cryptology|first=Craig P.|last=Bauer|publisher=CRC Press|year=2013|isbn=9781466561861|page=332|url=http://books.google.com/books?id=EBkEGAOlCDsC&pg=PA332}}.</ref>
Baris 144 ⟶ 154:
The binary logarithm can be made into a function from integers and to integers by [[rounding]] it up or down. These two forms of integer binary logarithm are related by this formula:
:<math> \lfloor \log_2(n) \rfloor = \lceil \log_2(n + 1) \rceil - 1, \text{ if }n \ge 1.</math>
The definition can be extended by defining <math> \lfloor \log_2(0) \rfloor = -1</math>. Extended in this way, this function is related to the [[number of leading zeros]] of the 32-bit unsigned binary representation of ''x'', nlz(''x'').
:<math>\lfloor \log_2(n) \rfloor = 31 - \operatorname{nlz}(n).</math><ref name="Hackers" />
Baris 165 ⟶ 175:
# Compute the fractional part (the characteristic of the logarithm)
Computing the integral part is straightforward. For any ''x'' > 0, there exists a unique integer ''n'' such that 2<sup>''n''</sup> ≤ ''x'' < 2<sup>''n''+1</sup>, or equivalently 1 ≤ 2<sup>
:<math>\log_2 x = n + \log_2 y \quad\text{where } y = 2^{-n}x \text{ and } y \in [1,2)</math>
Baris 200 ⟶ 210:
-->
=== Dukungan perpustakaan software ===
Fungsi <code>log2</code> dimasukkan ke dalam [[
== Referensi ==
{{reflist|30em}}{{Daftar fungsi matematika}}
== Pranala luar ==
| |||