Logaritma biner: Perbedaan antara revisi
Konten dihapus Konten ditambahkan
JohnThorne (bicara | kontrib) Tidak ada ringkasan suntingan |
Fitur saranan suntingan: 3 pranala ditambahkan. |
||
| (14 revisi perantara oleh 7 pengguna tidak ditampilkan) | |||
Baris 1:
{{Infobox mathematical function|image=Binary logarithm plot with ticks.svg|name=Logaritma biner|domain=<math> (0,\infty) </math>|kodomain=<math> (-\infty,\infty) </math>|max=Tidak ada|min=Tidak ada|derivative=<math> \frac{1}{x \ln 2} </math>|zero=<math> 1 </math>|fields_of_application=[[Teori musik]]|inverse=<math> x = 2^y </math>}}
'''Logaritma biner''' ({{lang-en|binary logarithm}}) dalam [[matematika]] adalah
:<math>x=\log_2 n \quad\Longleftrightarrow\quad 2^x=n.</math>
Misalnya logaritma biner 1 adalah 0, logaritma biner 2 adalah 1, logaritma biner 4 adalah 2, logaritma biner 8 adalah 3, logaritma biner 16 adalah 4, logaritma biner 32 adalah 5 dan seterusnya.
Logaritma biner terkait erat dengan
== Sejarah ==
[[
Tabel pangkat dua dipublikasikan oleh [[
{{Citation|title = Precalculus mathematics|first1 = Vivian Shaw|last1= Groza |first2= Susanne M. |last2=Shelley|publisher = Holt, Rinehart and Winston|location=New York|year=1972|isbn=978-0-03-077670-0|page = 182|url = http://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182}}.</ref><ref>{{citation
| last = Stifel | first = Michael | author-link = Michael Stifel
Baris 23 ⟶ 16:
| title = Arithmetica integra
| url = http://books.google.com/books?id=fndPsRv08R0C&pg=PA22
| year = 1544}}. A copy of the same table with two more entries appears on p. 237, and another copy extended to negative powers appears on p. 249b.</ref> Aplikasi
| last = Euler | first = Leonhard | author-link = Leonhard Euler
| contribution = Chapter VII. De Variorum Intervallorum Receptis Appelationibus
Baris 33 ⟶ 26:
| year = 1739}}.</ref><ref>{{citation|title=London encyclopaedia; or, Universal dictionary of science, art, literature and practical mechanics: comprising a popular view of the present state of knowledge, Volume 4|first=Thomas|last=Tegg|year=1829|contribution=Binary logarithms|pages=142–143|url=http://books.google.com/books?id=E-ZTAAAAYAAJ&pg=PA142}}.</ref>
== Notasi ==
Dalam matematika,
Sejumlah pengarang menuliskan
| last = Trucco | first = Ernesto
| doi = 10.1007/BF02477836
Baris 52 ⟶ 45:
| title = Computer multiplication and division using binary logarithms
| volume = EC-11
| year = 1962}}.</ref>
| title=Brockhaus Enzyklopädie in zwanzig Bänden | language=de |trans-title=Brockhaus Encyclopedia in Twenty Volumes
| volume=11 | page=554
| publisher=F.A. Brockhaus | location=Wiesbaden
| isbn=978-3-7653-0000-4
| year=1970
}}.</ref><ref>For ISO 31-11 see {{citation
| last1 = Thompson | first1 = Ambler
| last2 = Taylor | first2 = Barry M
| date = March 2008
| page = 33
| publisher = [[NIST]]
| title = Guide for the Use of the International System of Units (SI) — NIST Special Publication 811, 2008 Edition — Second Printing
| url = http://physics.nist.gov/cuu/pdf/sp811.pdf}}.</ref><ref>For ISO 80000-2 see {{citation
| chapter-url=http://www.ise.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf
| title=International Standard ISO 80000-2
| chapter=Quantities and units – Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology
| edition=1st|date=December 1, 2009
| at=Section 12, Exponential and logarithmic functions, p. 18}}.</ref>
==
===
:<math> \lfloor \log_2 n\rfloor + 1. \, </math>
===
[[
Meskipun [[logaritma alami]] lebih penting daripada logaritma biner dalam banyak bidang [[matematika murni]] seperti [[teori bilangan]] dan [[analisis matematis]], logaritma biner memiliki beberapa penerapan dalam [[kombinatorik]]:
*
| last = Leiss | first = Ernst L.
| isbn = 9781420011708
Baris 75 ⟶ 86:
| url = http://books.google.com/books?id=E6BNGFQ6m_IC&pg=RA2-PA28
| year = 2006}}.</ref>
*
*Every [[partial cube]] with ''n'' vertices has isometric dimension at least <math>\log_2 n</math>, and at most <math>\frac{1}{2}n\log_2 n</math> edges, with equality when the partial cube is a [[hypercube graph]].<ref>{{citation
| last = Eppstein | first = David | authorlink = David Eppstein
Baris 94 ⟶ 105:
| publisher = Wiley-Interscience
| title = Ramsey Theory
| year = 1980}}.</ref>-->
===
[[
Logaritma biner juga sering muncul dalam [[analisis algoritma]],<ref name="gt02"/> bukan hanya karena aritmetika bilangan biner kerap digunakan dalam algoritma, tetapi juga karena logaritma biner muncul dalam analisis algoritma yang menggunakan percabangan dua arah.<ref name="knuth"/> Jika suatu masalah awalnya punya ''<math>n</math>'' pilihan untuk dipilih, dan setiap pengulangan algoritma membagi dua banyak pilihannya, maka banyak pengulangan yang diperlukan untuk mendapatkan satu pilihan adalah bagian bulat dari <math>\log_2 n</math>. Ide ini digunakan dalam menganalisis beberapa [[algoritma]] dan [[struktur data]]. Contohnya, dalam [[pencarian biner]], ukuran masalah dibagi dua pada setiap pengulangannya, sehingga perlu kira-kira <math>\log_2 n</math> pengulangan untuk mendapatkan masalah berukuran 1, yang bisa diselesaikan dalam waktu konstan. Tidak jauh berbeda, [[pohon pencarian biner]] yang seimbang dan memiliki ''n'' element pasti punya tinggi <math>\log_2 n + 1</math>.
Namun, lama waktu dijalankannya algoritma biasanya diekspresikan dalam [[notasi O besar]], yang mengabaikan faktor konstanta. Karena <math>\log_2 n = \frac{\log_k n}{\log_k 2}</math>, dengan <math>k</math> adalah suatu bilangan yang lebih dari 1, algoritma yang berjalan dalam waktu <math>O(\log_2 n)</math> bisa juga dikatakan berjalan dalam waktu <math>O(\log_{13} n)</math>. Jadi basis logaritma dalam ekspresi-ekspresi seperti <math>O(\log n)</math> atau <math>O(n \log n)</math> tidaklah penting.<ref name="clrs"/> Akan tetapi, dalam beberapa konteks, basis logaritma perlu dijelaskan. Contohnya <math>O(2^{\log_2 n})</math> tidak sama dengan <math>O(2^{\ln n})</math> karena yang pertama sama dengan <math>O(n)</math> sedangkan yang kedua sama dengan <math>O(n^{0.6931\dots})</math>.
*[[quicksort|
*
*[[
*[[
===
[[
=== Teori musik===▼
Dalam [[teori musik]], [[Interval (musik)|interval]] atau perbedaan dalam persepsi antara dua nada ditentukan oleh rasio kedua [[frekuensi]]nya. Interval yang datang dari rasio [[bilangan rasional]] dengan numerator dan denominator kecil diterima sebagai sangat ''euphonius''. Interval yang paling sederhana dan paling penting adalah [[oktaf]], suatu rasio frekuensi 2:1. Bilangan oktaf dari perbedaan dua nada merupakan logaritma biner dari rasio frekuensi kedua nada itu.<ref name="mga">{{citation|title=The Musician's Guide to Acoustics|first1=Murray|last1=Campbell|first2=Clive|last2=Greated|publisher=Oxford University Press|year=1994|isbn=9780191591679|page=78|url=http://books.google.com/books?id=iiCZwwFG0x0C&pg=PA78}}.</ref>▼
▲=== Teori musik ===
Untuk mempelajari [[tuning system]] dan aspek lain dari teori musik dibutuhkan pembedaan yang lebih peka antara nada-nada, sehingga diperlukan suatu pengukuran besarnya interval yang lebih halus dari suatu oktaf dan dapat ditambah (sebagaimana suatu [[logaritma) bukannya dikalikan (sebagaimana rasio frekuensi). Jadi, jika nada-nada ''x'', ''y'', dan ''z'' membentuk urutan nada-nada yang menaik, maka ukuran interval dari ''x'' ke ''y'' ditambah ukuran interval dari ''y'' ke ''z'' seharusnya sama dengan ukuran interval dari ''x'' ke ''z''. Pengukuran semacam ini dilakukan dengan satuan [[:en:Cent (music)|''cent'']], yang membagi suatu oktaf menjadi 1200 interval yang sama (12 [[semitone]] yang masing-masing terdiri dari 100 ''cent''). Secara matematis, nada-nada dengan frekuensi ''f''<sub>1</sub> dan ''f''<sub>2</sub>, mempunyai jumlah cent dalam interval dari ''x'' ke ''y'' sebesar<ref name="mga"/>▼
▲Dalam [[teori musik]], [[Interval (musik)|interval]] atau perbedaan dalam persepsi antara dua nada ditentukan oleh rasio kedua [[frekuensi]]nya. Interval yang datang dari rasio [[bilangan rasional]] dengan
▲Untuk mempelajari [[
:<math>\left|1200\log_2\frac{f_1}{f_2}\right|.</math>
Istilah [[
===
Dalam permainan dan olah raga dengan dua pemain atau tim dalam masing-masing permainan atau pertandingannya, logaritma biner menunjukkan banyak babak yang diperlukan untuk menentukan pemengang dalam suatu turnamen dengan [[sistem gugur]]. Sebagai contoh, turnamen dengan 4 pemain perlu log<sub>2</sub>(4) = 2 babak untuk menentukan pemenangnya, turnamen dengan 32 tim memerlukan log<sub>2</sub>(32) = 5 babak, dsb. Dalam kasus di mana terdapat ''n'' pemain/tim dan ''n'' bukan perpangkatan dari 2, log<sub>2</sub>''n'' dibulatkan ke atas karena akan diperlukan paling tidak satu babak di mana tidak semua pesertanya bertanding. Misalnya, log<sub>2</sub>(6) kira-kira sama dengan 2,585, dibulatkan ke atas, menunjukkan bahwa turnamen dengan 6 tim memerlukan 3 babak (bisa jadi 2 tim tidak bermain di babak pertama, atau satu tim tidak bermain di babak kedua). Banyak babak yang sama juga diperlukan untuk menentukan pemenang yang jelas dalam [[turnamen sistem Swiss]].<ref>{{citation|title=Introduction to Physical Education and Sport Science|first=Robert|last=France|publisher=Cengage Learning|year=2008|isbn=9781418055295|page=282|url=http://books.google.com/books?id=dH2nB1CX2SMC&pg=PA282}}.</ref>
In [[photography]], [[exposure value]]s are measured in terms of the binary logarithm of the amount of light reaching the film or sensor, in accordance with the [[Weber–Fechner law]] describing a logarithmic response of the human visual system to light. A single stop of exposure is one unit on a base-2 logarithmic scale.<ref>{{citation|title=The Manual of Photography|first1=Elizabeth|last1=Allen|first2=Sophie|last2=Triantaphillidou|publisher=Taylor & Francis|year=2011|isbn=9780240520377|page=228|url=http://books.google.com/books?id=IfWivY3mIgAC&pg=PA228}}.</ref><ref name="btzs">{{citation|title=Beyond the Zone System|first=Phil|last=Davis|publisher=CRC Press|year=1998|isbn=9781136092947|page=17|url=http://books.google.com/books?id=YaVEAQAAQBAJ&pg=PA17}}.</ref> More precisely, the exposure value of a photograph is defined as▼
=== Fotografi ===
▲
:<math>\log_2 \frac{N^2}{t}</math>
== Kalkulasi ==
<!-- === Konversi dari basis-basis lain === Suatu cara mudah untuk menghitung <sup>2</sup>log (''n'') pada [[kalkulator]] yang tidak mempunyai fungsi log<sub>2</sub> adalah menggunakan fungsi [[logaritma natural]] (ln) atau [[logaritma umum]] (log), yang biasanya ada pada kebanyakan [[:en:scientific calculator|scientific calculator]]. Rumus [[:en:Logarithm#Change of base|perubahan basis logaritma]] adalah:<ref name="btzs"/><ref>{{citation|title=Secret History: The Story of Cryptology|first=Craig P.|last=Bauer|publisher=CRC Press|year=2013|isbn=9781466561861|page=332|url=http://books.google.com/books?id=EBkEGAOlCDsC&pg=PA332}}.</ref>
Baris 144 ⟶ 154:
The binary logarithm can be made into a function from integers and to integers by [[rounding]] it up or down. These two forms of integer binary logarithm are related by this formula:
:<math> \lfloor \log_2(n) \rfloor = \lceil \log_2(n + 1) \rceil - 1, \text{ if }n \ge 1.</math>
The definition can be extended by defining <math> \lfloor \log_2(0) \rfloor = -1</math>. Extended in this way, this function is related to the [[number of leading zeros]] of the 32-bit unsigned binary representation of ''x'', nlz(''x'').
:<math>\lfloor \log_2(n) \rfloor = 31 - \operatorname{nlz}(n).</math><ref name="Hackers" />
Baris 165 ⟶ 175:
# Compute the fractional part (the characteristic of the logarithm)
Computing the integral part is straightforward. For any ''x'' > 0, there exists a unique integer ''n'' such that 2<sup>''n''</sup> ≤ ''x'' < 2<sup>''n''+1</sup>, or equivalently 1 ≤ 2<sup>
:<math>\log_2 x = n + \log_2 y \quad\text{where } y = 2^{-n}x \text{ and } y \in [1,2)</math>
Baris 200 ⟶ 210:
-->
=== Dukungan perpustakaan software ===
Fungsi <code>log2</code> dimasukkan ke dalam [[
== Referensi ==
{{reflist|30em}}{{Daftar fungsi matematika}}
== Pranala luar ==
* {{mathworld|id=BinaryLogarithm|title=Binary Logarithm}}
[[
[[
[[
| |||