Urutan total: Perbedaan antara revisi

Jumlah tatanan terkadang disebut '''sederhana''',{{sfn|Birkhoff|1967|p=2}} '''koneks''',{{sfn|Schmidt|Ströhlein|1993|p=32}} atau '''tatanan penuh'''.{{sfn|Fuchs|1963|p=2}}

# Bukan <math>a < a</math> (bukan merupakan [[Relasi irrefleksif|tidak refleksifirrefleksif]]).

# Jika <math>a < b</math> dan <math>b < c</math> maka <math>a < c</math> (merupakan [[relasi transitif|transitif]]).

# Jika <math>a \neq b</math>, maka <math>a < b</math> atau <math>b < a</math> (merupakan [[relasi terhubung|terhubung]]).

Untuk setiap totalurutan pesanantotal (non-batasan) <math>\leq</math> berada dalam relasi yangterkait terkaitdengan <math><</math>, yang disebut ''urutan total batasan'' <math>\leq</math> yanguntuk mendefinisikan dalam dua cara yang setara:

* Himpunan [[bilangan riil]] yang diurutkan oleh hubungan biasa "kurang dari atau sama dengan" (≤) atau "lebih besar dari atau sama dengan" (≥) diurutkan total, dan karenanya himpunan bagian dari [[bilangan asli]], [[bilangan bulat]], dan [[bilangan rasional]]. Masing-masing dapat ditampilkan sebagai "contoh awal" unik sebagai [[tatanan isomorfisma]] hingga dari himpunan tatanan total dengan sifat tertentu, tatanan total {{math|''A''}} adalah ''inisial'' untuk sifat, jika, setiap {{math|''B''}} memiliki sifat, dan tatanan isomorfisme dari {{math|''A''}} ke himpunan bagian dari {{math|''B''}}:<ref> Definisi ini mirip dengan [[objek awal]] dari [[kategori (matematika)|kategori]], namuntetapi nilai tersebut lemah.</ref>{{cn|reason=sifat yang tidak terbukti tersebut harus bersumber; lihat halaman pembicaraan|date=Maret 2021}}

Istilah '''kaidah''' terkadang didefinisikan sebagai sinonim untuk himpunan tatanan total, namun umumnya digunakan untuk merujuk ke [[himpunan bagian]] dari [[himpunan terurut sebagian]] tatanan total untuk urutan induksi.<ref>{{cite book | author=Paul R. Halmos | author-link=Paul R. Halmos | title=Naive Set Theory | location=Princeton | publisher=Nostrand | year=1968 }} Here: Chapter 14</ref> <ref>{{cite book | url=https://www.elsevier.com/books/theory-of-relations/fraisse/978-0-444-50542-2 | isbn=978-0-444-50542-2 | author=Roland Fraïssé | author-link=Roland Fraïssé| title=Theory of Relations | location= | publisher=Elsevier | series=Studies in Logic and the Foundations of Mathematics | volume=145 | edition=1st | date=Dec 2000 }} Di hlm. 35</ref> Biasanya, himpunan parsial diurutkan sebagian adalah himpunan bagian dari himpunan tertentu yang diurutkan dengan penyertaan, dan istilah tersebut digunakan untuk menyatakan sifat dari rangkaian kaidah. Jumlah himpunan bertingkat yang tinggi ini menjelaskan kegunaan istilah tersebut.

Dalam beberapa konteks, kaidah yang dianggap sebagai urutan isomorfik ke bilangan asli dengan urutan biasa atau [[relasi konversi|urutan konversi]]. Dalam hal ini, kaidah dapat diidentifikasi dengan [[urutan monoton]], dan disebut '''kaidah tingkatan''' atau '''kaidah turunan''', tergantung apakah urutannya meningkat atau menurun.<ref>[[Yiannis N. Moschovakis]] (2006) ''Notes on set theory'', [[Undergraduate Texts in Mathematics]] (Birkhäuser) {{ISBN|0-387-28723-X}}, p. 116</ref>

Sebuah himpunan berurutan total dikatakan '''[[Kelengkapan_Kelengkapan (teori_tatananteori tatanan)|kelengkapan]]''' jika setiap himpunan bagian tidak kosong yang memiliki [[batas atas]], dan [[batas atas terkecil]]. Misalnya, himpunan [[bilangan riil]] '''R''' sebagai kelengkapan, namuntetapi himpunan [[bilangan rasional]] '''Q''' bukan kelengkapan. Dengan kata lain, berbagai konsep [[Kelengkapan (teori tatanan)|kelengkapan]] (jangan disamakan dengan "total") tidak terbawa pada [[relasi biner|pembatas]]. Misalnya, di atas [[bilangan riil]], sifat dari relasi adalah bahwa setiap himpunan bagian [[himpunan kosong|tidak kosong]] ''S'' dari '''R''' dengan [[batas atas]] dalam '''R''' memiliki [[Supremum|batas atas terkecil]] (juga disebut supremum) di '''R'''. Namun, untuk bilangan rasional supremum ini belum tentu rasional, sehingga sifat yang sama tidak berpegang pada restriksi relasi ≤ dengan bilangan rasional.