|
<div style="text-align:center">{{archive list
| start=1
| max=33100
}}</div>
|}
----
{{short description|Operasi aritmetika}}
{{about|akar ke-n bilangan real dan kompleks|kegunaan lain|Akar (disambiguasi)#Matematika}}
[[Berkas:Squareroot-0-9-metapost.svg|mini|Representasi grafis dari fungsi [[akar kuadrat]] <math>y = \sqrt{x}</math>]]
[[Berkas:Root-2-3-5-loglog.svg|mini|Dalam [[kotak log-logaritma|kotak log-log]] akar ke-<math>n</math> menjadi [[garis (geometri)|garis lurus]].]]
Dalam [[matematika]], sebuah '''akar ke-''n''''' dari [[bilangan]] ''x'' adalah bilangan ''r'' yang jika dipangkatkan ''n'', menghasilkan ''x'':
:<math>r^n = x,</math>
dimana ''n'' adalah [[bilangan bulat positif]], kadang-kadang disebut ''derajat'' dari akar. Akar derajat 2 disebut ''[[akar kuadrat]]'' dan akar derajat 3, sebuah ''[[akar pangkat tiga]]''. Akar tingkat yang lebih tinggi dirujuk dengan menggunakan bilangan urut, seperti pada ''akar keempat'', ''akar kedua puluh'', dll. Perhitungan akar ke-{{math|''n''}} adalah '''ekstraksi akar'''.
Misalnya, 3 adalah akar kuadrat dari 9, karena 3{{sup|2}} = 9, dan 3 juga merupakan akar kuadrat dari 9, karena (−3){{sup|2}} = 9.
Setiap bilangan bukan nol yang dianggap sebagai [[bilangan kompleks]] memiliki {{math|''n''}} akar ke-{{math|''n''}} yang berbeda, termasuk [[bilangan real|real]] (paling banyak dua). Akar ke-{{math|''n''}} dari 0 adalah nol untuk semua [[bilangan bulat positif]] {{math|''n''}}, setelah {{math|0{{sup|''n''}} {{=}} 0}}. Khususnya, jika {{math|''n''}} genap dan {{math|''x''}} adalah bilangan real positif, satunya adalah negatif, dan yang lainnya (ketika {{math|''n'' > 2}}) [[bilangan kompleks]] non-real; jika {{math|''n''}} genap dan {{math|''x''}} adalah bilangan real negatif, tidak ada satupun akar ke-{{math|''n''}} yang merupakan real. Jika {{math|''n''}} ganjil dan {{math|''x''}} real, satu akar {{math|''n''}} adalah real dan bertanda sama sebagai {{math|''x''}}, sedangkan akar lainnya ({{math|''n'' – 1}}) bukanlah real. Akhirnya, jika {{math|''x''}} bukanlah real, maka tidak ada akar ke-{{math|''n''}} yang merupakan real.
Akar bilangan real biasanya ditulis menggunakan [[simbol radikal]] atau ''radix'' <math>\sqrt{{~^~}^~\!\!}</math>, dengan <math>\sqrt{x}</math> menunjukkan akar kuadrat positif dari {{mvar|x}} jika {{mvar|x}} adalah positif; untuk akar tinggi, <math>\sqrt[n]{x}</math> menunjukkan akar ke-{{math|''n''}} yang sebenarnya jika {{math|''n''}} adalah ganjil, dan akar ke-''n'' positif jika {{math|''n''}} adalah genap dan {{mvar|x}} adalah positif. Dalam kasus lain, simbol tidak umum digunakan sebagai ambigu. Dalam ekspresi <math>\sqrt[n]{x}</math>, bilangan bulat ''n'' disebut ''indeks'' dan {{mvar|x}} disebut ''radikan'' .
Ketika kompleks akar ke-{{mvar|n}} dipertimbangkan, seringkali berguna untuk memilih salah satu akar, yang disebut '''akar utama''', sebagai [[nilai utama]]. Pilihan umum adalah memilih akar ke-{{mvar|n}} utama dari {{mvar|x}} sebagai akar ke-{{mvar|n}}, dengan bagian real terbesar, dan, jika ada dua (untuk {{mvar|x}} real dan negatif), yang memiliki [[bagian imajiner]] positif. Ini membuat akar ke-{{mvar|n}} sebagai [[fungsi (matematika)|fungsi]] real dan positif untuk {{mvar|x}} real dan positif, dan adalah [[fungsi kontinu|kontinu]] diseluruh [[bidang kompleks]], kecuali untuk nilai {{mvar|x}} real dan negatif.
Kesulitan dengan pilihan ini adalah, untuk bilangan real negatif dan indeks ganjil, akar ke-{{mvar|n}} utama yang bukan asli. Misalnya, <math>-8</math> memiliki tiga akar pangkat tiga, <math>-2</math>, <math>1 + i\sqrt{3}</math> dan <math>1 - i\sqrt{3}.</math> Akar pangkat tiga sebenarnya adalah <math>-2</math> dan akar pangkat tiga utama adalah <math>1 + i\sqrt{3}.</math>
Akar yang tidak terselesaikan, terutama yang menggunakan simbol radikal, kadang-kadang disebut sebagai ''surd''<ref>{{cite book |title=New Approach to CBSE Mathematics IX |first=R.K. |last=Bansal |page=25 |year=2006 |isbn=978-81-318-0013-3 |publisher=Laxmi Publications |url=https://books.google.com/books?id=1C4iQNUWLBwC&pg=PA25}}</ref> atau "radikal".<ref name=silver>{{cite book|last=Silver|first=Howard A.|title=Algebra and trigonometry|year=1986|publisher=Prentice-Hall|location=Englewood Cliffs, NJ|isbn=978-0-13-021270-2|url-access=registration|url=https://archive.org/details/algebratrigonome00silv}}</ref> Setiap ekspresi yang mengandung radikal, apakah itu akar kuadrat, akar pangkat tiga, atau akar yang lebih tinggi, disebut ''ekspresi radikal'', dan jika tidak mengandung [[fungsi transendental]] atau [[bilangan transendental]] disebut [[ekspresi aljabar]].
Akar juga didefinisikan sebagai kasus khusus dari [[eksponensial]], dimana [[eksponen]] adalah [[Pecahan (matematika)|pecahan]]:
:<math>\sqrt[n]{x} = x^{1/n}.</math>
<div class="tright">{{Operasi aritmetika}}</div>
Akar digunakan untuk menentukan [[radius konvergensi]] dari [[deret pangkat]] dengan [[uji akar]]. Akar ke-{{mvar|n}} dari 1 disebut [[akar satuan]] dan memainkan peran mendasar dalam berbagai bidang matematika, seperti [[teori bilangan]], [[teori persamaan]], dan [[transformasi Fourier]].
==Sejarah==
{{Main article|Akar kuadrat#Sejarah|Akar kubus#Sejarah}}
Istilah kuno untuk operasi pengambilan akar ''n'' adalah ''radikasi''.<ref>{{cite web|url=https://lektur.id/arti-radication/|title=Arti Radikasi|website=www.lektur.id.com}}</ref>
==Definisi dan notasi==
[[Berkas:NegativeOne4Root.svg|thumb|Empat akar ke-4 dari −1,<br /> bukan dari nilai real]]
[[Berkas:NegativeOne3Root.svg|thumb|Tiga akar ke-3 dari −1,<br /> salah satunya adalah real negatif]]
Sebuah '''akar ke-''n''''' dari bilangan ''x'', dimana ''n'' adalah bilangan bulat positif, salah satu dari ''n'' bilangan real atau kompleks ''r '' memiliki kuasa ''n'' adalah ''x'':
:<math>r^n = x.</math>
Setiap [[bilangan riil]] positif ''x'' memiliki akar ke-''n'' positif tunggal, yang disebut [[nilai utama|akar ke-''n'' utama]], yang ditulis sebagai <math>\sqrt[n]{x}</math>. Untuk ''n'' sama dengan 2 ini disebut akar kuadrat utama dan ''n'' yang dihilangkan. Akar ke-''n'' juga dapat direpresentasikan menggunakan [[eksponensial]] sebagai ''x''{{sup|1/n}}.
Untuk nilai genap ''n'', bilangan positif juga memiliki akar ke-''n'' negatif, sedangkan bilangan negatif tidak memiliki akar ke-''n'' real. Untuk nilai ganjil ''n'', setiap bilangan negatif ''x'' memiliki akar ke-''n'' negatif real. Misalnya, 2 memiliki akar ke-5 real, <math>\sqrt[5]{-2} = -1.148698354\ldots</math> tetapi -2 tidak memiliki akar ke-6 real.
Setiap bilangan bukan nol ''x'', real atau [[Bilangan kompleks|kompleks]], memiliki ''n'' akar ke-''n'' bilangan kompleks yang berbeda. Dalam kasus ''x'' real, hitungan ini mencakup akar ke-''n'' real. Satu-satunya akar kompleks dari 0 adalah 0.
Akar ke-n dari hampir semua bilangan (semua bilangan bulat kecuali pangkat ke-n, dan semua rasional kecuali hasil bagi dua pangkat ke-n) adalah [[bilangan irasional|irasional]]. Misalnya,
:<math>\sqrt{2} = 1.414213562\ldots</math>
Semua akar bilangan bulat ke-''n'' adalah [[bilangan aljabar]].
Istilah '''surd''' ditelusuri kembali ke [[Khwārizmī|al-Khwārizmī]] (c. 825), yang menyebut bilangan rasional dan irasional sebagai ''terdengar'' dan ''tidak terdengar'', masing-masing. Hal ini kemudian menyebabkan kata Arab "{{rtl-lang|tg-Arab|أصم}}" (''asamm'', yang berarti "tuli" atau "bisu") untuk ''bilangan irasional'' diterjemahkan ke dalam bahasa Latin sebagai "surdus" (artinya "tuli" atau "bisu"). [[Gerard dari Cremona]] (c. 1150), [[Fibonacci]] (1202), dan kemudian [[Robert Recorde]] (1551) semuanya menggunakan istilah tersebut untuk merujuk pada ''akar irasional tak-terselesaikan'', yaitu, ekspresi bentuk <math>\sqrt[n]{i},</math> dimana <math>n</math> dan <math>i</math> adalah bilangan bulat dan seluruh ekspresi menunjukkan bilangan irasional.<ref>{{cite web |url=http://jeff560.tripod.com/s.html |title=Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics|publisher=Mathematics Pages by Jeff Miller|access-date=2008-11-30}}</ref> [[Bilangan irasional kuadrat]] yaitu bilangan irasional dalam bentuk <math>\sqrt{i},</math> juga dikenal sebagai "surd kuadrat".
===Akar kuadrat===
[[Gambar:Square-root function.svg|thumb|right|Grafik <math>y=\pm \sqrt{x}</math>.]]
{{Main article|Akar kuadrat}}
'''Akar kuadrat''' dari bilangan ''x'' adalah bilangan ''r'' yang ketika [[kuadrat (aljabar)|kuadrat]] sebagai ''x'':
:<math>r^2 = x.</math>
Setiap bilangan real positif memiliki dua akar kuadrat, satu positif dan satu negatif. Misalnya, dua akar kuadrat dari 25 adalah 5 dan -5. Akar kuadrat positif juga dikenal sebagai '''akar kuadrat utama''', dan dilambangkan dengan tanda radikal:
:<math>\sqrt{25} = 5.</math>
Karena kuadrat dari setiap bilangan real adalah nonnegatif, bilangan negatif tidak memiliki akar kuadrat real. Namun, untuk setiap bilangan real negatif terdapat dua akar kuadrat [[bilangan imajiner|imajiner]]. Misalnya, akar kuadrat dari −25 adalah 5''i'' dan 5''i'', dimana ''[[satuan imajiner|i]]'' menyatakan bilangan yang kuadratnya {{math|−1}}.
===Akar pangkat tiga===
[[Gambar:cube-root function.svg|thumb|right|Grafik <math>y=\sqrt[3]{x}</math>.]]
{{Main article|Akar pangkat tiga}}
Sebuah '''akar pangkat tiga''' dari bilangan ''x'' adalah bilangan ''r'' yang [[kubus (aljabar)|kubusnya]] adalah ''x'':
:<math>r^3 = x.</math>
Setiap bilangan real ''x'' memiliki tepat satu akar pangkat tiga, ditulis <math>\sqrt[3]{x}</math>. Misalnya,
:<math>\sqrt[3]{8} = 2</math> dan <math>\sqrt[3]{-8} = -2.</math>
Setiap bilangan real memiliki dua akar pangkat tiga [[bilangan kompleks|kompleks]] tambahan.
== Dasar-dasar matematika ==
Deskripsi berikut dari fungsi akar kuadrat sebagai [[Fungsi (matematika)#Definisi teoretis tetapan|teoretis]] mengacu pada tubuh yang diatur [[bilangan real]] {{math|ℝ}}, sehingga sampai batas tertentu pada [[matematika didatik]]. Istilah akar yang umum untuk mencakup penjelasan tersebut, dibahas dalam artikel [[Adjungsi (teori medan)#Adjungsi elemen aljabar ke medan|adjungsi]].<ref>Untuk kesulitan dengan keunikan hukum lihat [[#akar bilangan kompleks|akar bilangan kompleks]].</ref>
=== Koneksi dengan potensi ===
Akar kuadrat dengan eksponen akar <math>n</math> dan eksponen dengan eksponen <math>n</math> saling meniadakan. Menurut definisi akar atas, untuk semua bilangan real <math>a \geq 0</math> dan untuk semua bilangan asli <math>n \geq 1</math>:
: <math>\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a</math>
Akar kuadrat dengan eksponen akar <math>n</math> melakukan seperti eksponen dengan eksponen <math>\tfrac{1}{n}</math>. Menurut kaidah perhitungan untuk kuasa:
: <math>\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n = a^{\frac{n}{n}} = a^1 = a</math>
Oleh karena itu akar kuadrat dengan eksponen akar ''n'' juga diartikan sebagai eksponen dengan eksponen 1/''n'':<ref name="Mathematik_2008/1" />
: <math>\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}</math>
=== Akar unik dari bilangan positif ===
Meskipun pertanyaan yang disebutkan diawal memiliki dua solusi dengan tanda yang berbeda untuk eksponen akar genap dan radikan positif, yang merupakan notasi dengan tanda akar <math> \sqrt[]{{\color{white} 1}} </math><!-- keselarasan vertikal --> pada dasarnya untuk solusi positif.<ref>[[DIN 1302]]:1999 ''Allgemeine mathematische Zeichen und Begriffe''</ref><ref>EN ISO 80000-2:2020 ''Größen und Einheiten'' – Bagian 2: ''Mathematik'' </ref> Misalnya, [[persamaan]] <math>x^2=4</math> memiliki dua solusi <math>x=+2</math> dan <math>x=-2</math>. Namun, istilah <math>\sqrt[2]{4}</math> memiliki nilai +2 dan ''yang bukan'' nilai −2. <!-- − --> Oleh karena itu, eksponen tersebut digunakan dalam akar genap
: <math>\sqrt[2n]{x^{2n}} = |x|\,.</math>
=== Akar bilangan negatif ===
Definisi akar dari bilangan negatif bukan seragam. Maka berlaku, yaitu
: <math>(-2)^3=-8\,,</math>
dan <math>-2</math> adalah satu-satunya bilangan real kuasa ketiga <math>-8</math>. Secara umum, bilangan negatif menghasilkan kuasa ganjil dari bilangan negatif.
Berkenaan dengan akar ganjil dari bilangan negatif, berikut ini diambil:
* Akar dari bilangan negatif umumnya tidak didefinisikan. Misalnya, <math>\sqrt[3] {-8}</math> tidak didefinisikan. Solusi dari persamaan <math>x^3 = -8</math> ditulis sebagai <math>x = -\sqrt[3]{8}</math>.
* Akar dari bilangan negatif didefinisikan jika eksponen akar adalah bilangan ganjil (3, 5, 7, ...). Untuk bilangan ganjil <math>2n+1</math> adalah
:: <math>\sqrt[2n+1]{-a}=-\sqrt[2n+1]{a}</math>.
: Definisi ini tidak sesuai dengan beberapa sifat akar yang digunakan untuk radikan positif. Contohnya adalah
:: <math>-2=\sqrt[3]{-8}\ne\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=+2.</math>
: Definisi ini juga tidak melakukan persamaan <math>\sqrt[k]{a} = a^{\frac 1k} = \exp\left(\tfrac 1k \ln(a)\right)</math>, karena logaritma (secara alamiah) dari bilangan negatif yang tidak didefinisikan (maka, <math>a</math> tetaplah negatif).
Akar kuasa genap dari bilangan negatif tidak berupa bilangan real karena kuasa bilangan real bukanlah negatif. Tidak ada bilangan real <math>x</math>, jadi <math>x^2=-1</math> tidak dapat menemukan akar <math>x=\sqrt[2]{-1}</math> yang terletak pada bilangan real. Dibutuhkan akan akar bilangan negatif disebabkan karena pengenalan [[bilangan kompleks]];<ref>T. Arens, F. Hettlich et al.: ''Mathematik''. 2008, S. 122.</ref> namun, dengan konsep akar pada area bilangan kompleks, terdapat kesulitan tertentu dengan identifikasi yang jelas dari salah satu akar, [[#Akar bilangan kompleks|lihat dibawah]].
=== Akar irasional dari bilangan bulat ===
Jika <math>n</math> adalah bilangan bulat tidak negatif dan <math>k</math> adalah bilangan bulat positif, jadi <math>\sqrt [k]{n}</math> adalah bilangan bulat atau bilangan irasional. Hal ini dibuktikan dengan menerapkan keunikan [[faktorisasi prima]]:
Jika <math>n\leqq 1</math>, maka <math>\sqrt[k]{n}=n</math>, yaitu bilangan bulat. Jika tidak, faktorisasi prima unik kecuali urutan faktor <math>n=p_1^{e_1}\dotsm p_r^{e_r}</math> dengan urutan bilangan prima yang berbeda <math>p_1, \dotsc, p_r</math> dan bilangan bulat positif <math>e_1, \dotsc, e_r</math>. Apakah semua <math>e_j</math> untuk <math>1\leqq j\leqq r </math> habis dibagi <math>k</math>, jadi <math>\sqrt[k]{n}=p_1^{e_1/k} \dotsm p_r^{e_r / k}</math> adalah bilangan bulat.
Untuk menunjukkannya adalah: Apakah ada setidaknya satu <math>j</math> dengan <math>1\leqq j\leqq r</math>, sehingga <math>e_j</math> tidak habis dibagi <math>k</math>, maka <math>\sqrt [k]{n}</math> adalah irasional. Bukti irasionalitas tak langsung, juga menyangkal asumsi berlawanan seperti dalam [[bukti irasional akar 2 dalam Euklides]], yang pada dasarnya adalah kasus khusus <math>n=k=2</math> dari pembuktian ini.
Misalkan <math>\sqrt[k]{n}</math> adalah rasional. Kemudian Anda menulis bilangan tersebut sebagai pecahan dari dua bilangan asli <math>a</math> dan <math>b</math>:
: <math>\sqrt[k]{n}=\frac{a}{b}</math>.
Dengan menaikkan persamaan ke kuasa
: <math>n=\frac{a^k}{b^k}</math>
dan mengikuti
: <math>nb^k=a^k</math>.
Faktorisasi prima <math>p_j</math> muncul pada <math>a^k</math> atau <math>b^k</math>, <math>k</math> lebih digunakan daripada <math>a</math> atau <math>b</math>, setidaknya dalam perkalian yang dibagi dengan <math>k</math>, dimana kemunculan 0 tentu saja diizinkan. Pada <math>n</math> disesuaikan dengan prasyarat pada perkalian <math>e_j</math> yang tidak habis dibagi <math>k</math>. Jadi itu tidaklah muncul pada sisi kiri persamaan yang digunakan dalam perkalian yang habis dibagi <math>k</math>, tetapi pada bagian sebelah kanannya, dan mendapatkan kontradiksi dengan keunikan faktorisasi prima. Oleh karena itu, <math>\sqrt[k]{n}</math> adalah irasional.
=== Hukum Akar ===
Aturan perhitungan untuk akar dihasilkan dari aturan untuk [[kuasa (matematika)|kuasa]].
Hukum matematika berikut ini berlaku untuk bilangan positif <math>a</math> dan <math>b</math> dan <math>n, m, k \in \N </math>:
* Darab: <math>\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}</math>
* Pembagian/Hasil bagi: <math>\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}</math>
* Iterasi: <math>\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}</math>
* Definisi eksponen pecahan: <math>a^{\frac{k}{n}}=\sqrt[n]{a^k}=\left(\sqrt[n]{a} \right)^k</math>
* Definisi eksponen negatif: <math>a^{-\frac{k}{n}}=\frac{1}{a^\frac{k}{n}}</math>
* Dengan radikan yang sama, berikut ini berlaku: <math>\sqrt[m]{a}\cdot\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}=\sqrt[m n]{a^{m+n}}</math>
Dengan bilangan negatif <math>a</math> dan <math>b</math>, hukum aritmetika ini hanya dapat digunakan, jika <math>m</math> dan <math>n</math> adalah bilangan ganjil. Dalam kasus bilangan kompleks, ia harus dihindari sepenuhnya, atau ekuivalen hanya berlaku dengan pilihan saham sekunder yang sesuai. Dengan kata lain: dalam contoh, akar apa pun (misalnya, [[#akar bilangan kompleks|nilai utama]]) dipilih pada sisi kiri, untuk sisi kanan terdapat bilangan sekunder yang sesuai yang memenuhi persamaan—sisi kiri dan kanan berbeda satu [[akar satuan]].
=== Barisan ===
[[Limit barisan]] berikut ini berlaku:
* <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a}= 1</math> untuk <math>a > 0</math>
* <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{n}= 1</math>
: Ini mengikuti dari pertidaksamaan <math>n<\left(1 + \sqrt[2]{\tfrac{2}{n}}\right)^n</math>, yang ditunjukkan dengan bantuan [[teorema binomial]].
* <math>\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n^k} = 1</math>, dimana <math>k</math> adalah bilangan asli tetap.
* <math>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln(n)}{n} = 0</math>,
: seperti dilihat dari representasi eksponensial dari <math>\sqrt[n]{n}</math>.
=== Fungsi akar ===
Fungsi berikut ini berlaku dalam bentuk
: <math>f\colon \mathbb{R}_0^+\to\mathbb{R}_0^+, x\mapsto\sqrt[n]x</math> atau <math>x\mapsto \sqrt [n]{x^m}</math>
yang disebut juga sebagai fungsi akar. Maka ia adalah [[fungsi kuasa]], yang berlaku <math>\sqrt[n]{x^m}=x^\frac{m}{n}</math>.
==Identitas dan sifat==
Mengekspresikan derajat akar ke-''n'' dalam bentuk eksponen, seperti dalam <math>x^{1/n}</math>, mempermudah manipulasi kuasa dan akar. Jika <math>a</math> adalah [[bilangan non-negatif|bilangan real non-negatif]],
:<math>\sqrt[n]{a^m} = (a^m)^{1/n} = a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[n]a)^m.</math>
Setiap bilangan non-negatif memiliki tepat satu akar ke-n real non-negatif, jadi kaidah untuk operasi dengan surd yang melibatkan radikan non-negatif <math>a</math> dan <math>b</math> langsung dalam bilangan real:
:<math>\begin{align}
\sqrt[n]{ab} &= \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b} \\
\sqrt[n]{\frac{a}{b}} &= \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}
\end{align}</math>
Kehalusan dapat terjadi saat mengambil akar ke-''n'' dari negatif atau [[bilangan kompleks]]. Misalnya:
:<math>\sqrt{-1}\times\sqrt{-1} \neq \sqrt{-1 \times -1} = 1,\quad</math>, namun, lebih tepatnya adalah <math>\quad\sqrt{-1}\times\sqrt{-1} = i \times i = i^2 = -1.</math>
Karena kaidah <math>\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} </math> hanya berlaku untuk radikan real non-negatif saja, penerapannya mengarah pada ketaksamaan pada langkah pertama diatas.
==Bentuk sederhana dari ekspresi radikal==
Ekspresi radikal tak bersarang dikatakan dalam '''bentuk sederhana''' jika<ref>{{cite book|last=McKeague|first=Charles P.|title=Elementary algebra|page=470|year=2011|url=https://books.google.com/books?id=etTbP0rItQ4C&q=editions:q0hGn6PkOxsC|isbn=978-0-8400-6421-9}}</ref>
# Tidak ada faktor radikan yang ditulis sebagai kuasa besar atau sama dengan indeks.
# Tidak ada pecahan di bawah tanda radikal.
# Tidak ada radikal dalam penyebutnya.
Misalnya, untuk menulis ekspresi akar <math>\sqrt{\tfrac{32}{5}}</math> dalam bentuk sederhana, kita melanjutkannya sebagai berikut. Pertama, cari kuadrat sempurna di bawah tanda akar kuadrat dan hapus:
:<math>\sqrt{\tfrac{32}{5}} = \sqrt{\tfrac{16 \times 2}{5}} = 4 \sqrt{\tfrac{2}{5}}</math>
Selanjutnya, ada pecahan di bawah tanda radikal, yang kita ubah sebagai berikut:
:<math>4 \sqrt{\tfrac{2}{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}</math>
Akhirnya, kita menghapus akar dari penyebut sebagai berikut:
:<math>\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{10}}{5} = \frac{4}{5}\sqrt{10}</math>
Ketika ada penyebut yang melibatkan surd, mungkin menemukan faktor untuk mengalikan pembilang dan penyebut dengan cara menyederhanakan ekspresi.<ref>B.F. Caviness, R.J. Fateman, [http://www.eecs.berkeley.edu/~fateman/papers/radcan.pdf "Simplification of Radical Expressions"], ''Proceedings of the 1976 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation'', hal. 329.</ref><ref>Richard Zippel, "Simplification of Expressions Involving Radicals", ''Journal of Symbolic Computation'' '''1''':189–210 (1985) {{doi|10.1016/S0747-7171(85)80014-6}}.</ref> Misalnya menggunakan [[Faktorisasi#Jumlah/selisih dua kubus|faktorisasi jumlah dua kubus]]:
:<math>
\frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} =
\frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}\right)} =
\frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{a + b} .
</math>
Menyederhanakan ekspresi radikal yang melibatkan [[radikal tersarang]] bisa sangat sulit. Misalnya bahwa:
:<math>\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}</math>
Di atas dapat diturunkan melalui:
:<math>\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{1 + 2\sqrt{2} + 2} = \sqrt{1^2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{2}^2} = \sqrt{\left(1 + \sqrt{2}\right)^2} = 1 + \sqrt{2}</math>
Misalkan <math>r=p/q</math>, dengan {{mvar|p}} dan {{mvar|q}} berkoprima dan bilangan bulat positif. Maka <math>\sqrt[n]r = \sqrt[n]{p}/\sqrt[n]{q}</math> adalah rasional jika dan hanya jika keduanya <math>\sqrt[n]{p} </math> dan <math>\sqrt[n]{q}</math> adalah bilangan bulat, yang berarti bahwa baik {{mvar|p}} dan {{mvar|q}} adalah kuasa ke-''n'' dari beberapa bilangan bulat.
==Deret tak hingga==
Radikal atau akar yang diwakili oleh [[deret tak hingga]]:
:<math>(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{n-1} (s-kt)}{n!t^n}x^n</math>
dengan <math>|x|<1</math>. Ekspresi ini diturunkan dari [[deret binomial]].
==Menghitung akar utama==
===Menggunakan metode Newton===
Akar ke-''n'' dari bilangan ''A'' dihitung dengan [[metode Newton]]. Mulailah dengan tebakan awal ''x''<sub>0</sub> dan kemudian ulangi menggunakan [[relasi perulangan]]
:<math>x_{k+1} = \frac{n-1}{n}x_k+\frac{A}{nx_k^{n-1}}</math>
until the desired precision is reached. Misalnya, untuk mencari akar kelima dari 34, kita masukkan ''n'' = 5, ''A'' = 34 dan ''x''<sub>0</sub> = 2 (tebakan awal). 5 iterasi pertama adalah, kira-kira:
<br>
''x''<sub>0</sub> = 2
<br>
''x''<sub>1</sub> = 2.025
<br>
''x''<sub>2</sub> = 2.024397817
<br>
''x''<sub>3</sub> = 2.024397458
<br>
''x''<sub>4</sub> = 2.024397458
<br>
Perkiraan ''x''<sub>4</sub> adalah nilai akurat hingga 25 tempat desimal.
Metode Newton dapat dimodifikasi untuk menghasilkan berbagai [[pecahan kontinu umum#Akar bilangan positif|pecahan kontinu umum]] untuk akar ke-''n''. Misalnya,
:<math>
\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{x^n+y} = x+\cfrac{y} {nx^{n-1}+\cfrac{(n-1)y} {2x+\cfrac{(n+1)y} {3nx^{n-1}+\cfrac{(2n-1)y} {2x+\cfrac{(2n+1)y} {5nx^{n-1}+\cfrac{(3n-1)y} {2x+\ddots}}}}}}.
</math>
=== Perhitungan digit-kali-digit dari akar utama bilangan desimal (basis 10) ===
[[Gambar:PascalForDecimalRoots.png|right|thumb|[[Segitiga Pascal]] menunjukkan <math>P(4,1) = 4</math>.]]
Membangun [[Metode komputasi akar kuadrat#Desimal (basis 10)|perhitungan digit-kali-digit dari akar kuadrat]], dapat dilihat bahwa rumus yang digunakan di sana, <math>x(20p + x) \le c</math>, atau <math>x^2 + 20xp \le c</math>, mengikuti pola yang melibatkan segitiga Pascal. Untuk akar ke-''n'' suatu bilangan <math>P(n,i)</math> didefinisikan sebagai nilai elemen <math>i</math> pada baris <math>n</math> dari Segitiga Pascal sehingga <math>P(4,1) = 4</math> dapat ditulis ulang ekspresi sebagai <math>\sum_{i=0}^{n-1}10^i P(n,i)p^i x^{n-i}</math>. Untuk kenyamanan, seruan hasil dari ekspresi ini <math>y</math>. Menggunakan ekspresi yang lebih umum ini, setiap akar utama positif dapat dihitung, digit-kali-digit, sebagai berikut.
Tulis bilangan asli dalam bentuk desimal. Bilangan-bilangan ditulis dengan algoritma [[pembagian panjang]], dan, seperti pada pembagian panjang, akarnya akan ditulis pada baris diatas. Sekarang pisahkan bilangan-bilangan menjadi grup bilangan yang sama dengan akar yang diambil, mulai dari titik desimal dan ke kiri dan kanan. Titik desimal dari akar akan berada diatas titik desimal dari radikan. Satu digit akar akan muncul diatas pada setiap grup digit dari bilangan aslinya.
Dimulai dengan grup digit paling kiri, lakukan prosedur berikut untuk setiap gru0:
# Mulai dari kiri, turunkan grup bilangan paling signifikan (paling kiri) yang belum digunakan (jika semua digit telah digunakan, tulis "0" berapa kali untuk membuat grup) dan tuliskan dibagian kanan sisa dari langkah sebelumnya (pada langkah pertama, tidak akan ada sisa). Dengan kata lain, kalikan sisanya dengan <math>10^n</math> dan tambahkan digit dari grup berikutnya. Ini akan menjadi '''nilai saat ''c'''''.
# Temukan ''p'' dan ''x'', sebagai berikut:
#* Maka <math>p</math> sebagai '''bagian dari akar yang ditemukan sejauh ini''', dengan tidak menggunakan titik desimal apa pun. (Untuk langkah pertama, <math>p = 0</math>).
#* Tentukan bilangan terbesar <math>x</math> sehingga <math>y \le c</math>.
#* Tempatkan digit <math>x</math> sebagai digit berikutnya dari akar, yaitu, bagian atas grup digit yang baru saja Anda turunkan. Jadi ''p'' berikutnya akan menjadi ''p'' lama dikalikan 10 ditambah ''x''.
# Kurangi <math>y</math> dari <math>c</math> untuk membentuk sisa baru.
# Jika sisanya adalah nol dan tidak ada lagi bilangan yang harus diturunkan, maka algoritma telah dihentikan. Jika tidak, kembali ke langkah 1 untuk iterasi lain.
====Contoh====
'''Temukan akar kuadrat dari 152,2756.'''
<u> 1 2. 3 4 </u>
<u> </u> /
\/ 01 52.27 56
01 10{{sup|0}}·1·0{{sup|0}}·1{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·0{{sup|1}}·1{{sup|1}} ≤ 1 < 10{{sup|0}}·1·0{{sup|0}}·2{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·0{{sup|1}}·2{{sup|1}} x = 1
<u> 01 </u> y = 10{{sup|0}}·1·0{{sup|0}}·1{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·0{{sup|1}}·1{{sup|2}} = 1 + 0 = 1
00 52 10{{sup|0}}·1·1{{sup|0}}·2{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·1{{sup|1}}·2{{sup|1}} ≤ 52 < 10{{sup|0}}·1·1{{sup|0}}·3{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·1{{sup|1}}·3{{sup|1}} x = 2
<u> 00 44 </u> y = 10{{sup|0}}·1·1{{sup|0}}·2{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·1{{sup|1}}·2{{sup|1}} = 4 + 40 = 44
08 27 10{{sup|0}}·1·12{{sup|0}}·3{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·12{{sup|1}}·3{{sup|1}} ≤ 827 < 10{{sup|0}}·1·12{{sup|0}}·4{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·12{{sup|1}}·4{{sup|1}} x = 3
<u> 07 29 </u> y = 10{{sup|0}}·1·12{{sup|0}}·3{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·12{{sup|1}}·3{{sup|1}} = 9 + 720 = 729
98 56 10{{sup|0}}·1·123{{sup|0}}·4{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·123{{sup|1}}·4{{sup|1}} ≤ 9856 < 10{{sup|0}}·1·123{{sup|0}}·5{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·123{{sup|1}}·5{{sup|1}} x = 4
<u> 98 56 </u> y = 10{{sup|0}}·1·123{{sup|0}}·4{{sup|2}} + 10{{sup|1}}·2·123{{sup|1}}·4{{sup|1}} = 16 + 9840 = 9856
00 00 Perhitungan algoritma terakhir: Jawabannya adalah 12.34
'''Cari akar pangkat tiga dari 4192 ke perseratusan terdekat.'''
<u> 1 6. 1 2 4</u>
<u>3</u> /
\/ 004 192.000 000 000
004 10{{sup|0}}·1·0{{sup|0}}·1{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·0{{sup|1}}·1{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·0{{sup|2}}·1{{sup|1}} ≤ 4 < 10{{sup|0}}·1·0{{sup|0}}·2{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·0{{sup|1}}·2{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·0{{sup|2}}·2{{sup|1}} x = 1
<u> 001 </u> y = 10{{sup|0}}·1·0{{sup|0}}·1{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·0{{sup|1}}·1{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·0{{sup|2}}·1{{sup|1}} = 1 + 0 + 0 = 1
003 192 10{{sup|0}}·1·1{{sup|0}}·6{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·1{{sup|1}}·6{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·1{{sup|2}}·6{{sup|1}} ≤ 3192 < 10{{sup|0}}·1·1{{sup|0}}·7{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·1{{sup|1}}·7{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·1{{sup|2}}·7{{sup|1}} x = 6
<u> 003 096 </u> y = 10{{sup|0}}·1·1{{sup|0}}·6{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·1{{sup|1}}·6{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·1{{sup|2}}·6{{sup|1}} = 216 + 1,080 + 1,800 = 3,096
096 000 10{{sup|0}}·1·16{{sup|0}}·1{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·16{{sup|1}}·1{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·16{{sup|2}}·1{{sup|1}} ≤ 96000 < 10{{sup|0}}·1·16{{sup|0}}·2{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·16{{sup|1}}·2{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·16{{sup|2}}·2{{sup|1}} x = 1
<u> 077 281 </u> y = 10{{sup|0}}·1·16{{sup|0}}·1{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·16{{sup|1}}·1{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·16{{sup|2}}·1{{sup|1}} = 1 + 480 + 76,800 = 77,281
018 719 000 10{{sup|0}}·1·161{{sup|0}}·2{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·161{{sup|1}}·2{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·161{{sup|2}}·2{{sup|1}} ≤ 18719000 < 10{{sup|0}}·1·161{{sup|0}}·3{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·161{{sup|1}}·3{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·161{{sup|2}}·3{{sup|1}} x = 2
<u> 015 571 928 </u> y = 10{{sup|0}}·1·161{{sup|0}}·2{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·161{{sup|1}}·2{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·161{{sup|2}}·2{{sup|1}} = 8 + 19,320 + 15,552,600 = 15,571,928
003 147 072 000 10{{sup|0}}·1·1612{{sup|0}}·4{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·1612{{sup|1}}·4{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·1612{{sup|2}}·4{{sup|1}} ≤ 3147072000 < 10{{sup|0}}·1·1612{{sup|0}}·5{{sup|3}} + 10{{sup|1}}·3·1612{{sup|1}}·5{{sup|2}} + 10{{sup|2}}·3·1612{{sup|2}}·5{{sup|1}} x = 4
Presisi yang diinginkan tercapai:
Akar pangkat tiga dari 4192 adalah sekitar 16,12
===Perhitungan logaritma===
Akar ke-n utama dari bilangan positif dihitung menggunakan [[logaritma]]. Dimulai dari persamaan yang mendefinisikan ''r'' sebagai akar ke-''n'', yaitu <math>r^n=x,</math> dengan ''x'' positif dan oleh karena itu akar utamanya ''r'' juga positif, satu mengambil logaritma dari kedua sisi ([[logaritma#basis penyelesaian|basis logaritma]] akan dilakukan) untuk mendapatkan
:<math>n \log_b r = \log_b x \quad \quad \text{oleh karena itu} \quad \quad \log_b r = \frac{\log_b x}{n}.</math>
Akar ''r'' dengan mengambil [[antilog]]:
:<math>r = b^{\frac{1}{n}\log_b x}.</math>
(Catatan: Rumus tersebut menunjukkan kuasa ''b'' dengan hasil pembagian, bukan ''b'' dikalikan dengan hasil pembagian.)
Untuk kasus dimana ''x'' negatif dan ''n'' ganjil, ada satu akar real ''r'' yang juga negatif. Ini ditemukan dengan mengalikan kedua sisi persamaan yang mendefinisikan dengan 1 untuk mendapatkan <math>|r|^n = |x|,</math> kemudian dilanjutkan sebelumnya untuk menemukan |''r''|, dan menggunakan {{nowrap|''r'' {{=}} −{{!}}''r''{{!}}}}.
==Konstrukbilitas geometris==
[[Matematikawan Yunani kuno]] tahu bagaimana [[konstruksi kompas-dan-lurus|menggunakan kompas dan penggaris]] untuk membangun panjang yang sama dengan akar kuadrat dari panjang tertentu, ketika garis satuan panjang diberikan. Pada tahun 1837 [[Pierre Wantzel]] membuktikan bahwa akar ke-n dari panjang tertentu tidak dapat dibangun jika ''n'' bukanlah kuasa 2.<ref>{{Citation|first = [[Monsieur|M.]] L.|last = Wantzel|title = Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas |journal = Journal de Mathématiques Pures et Appliquées|year = 1837|volume = 1|issue = 2|pages = 366–372|url = http://visualiseur.bnf.fr/ConsulterElementNum?O=NUMM-16381&Deb=374&Fin=380&E=PDF}}.</ref>
==Akar kompleks==
[[Berkas:Complex fifth roots.svg|mini|Lima akar kelima dari 1 + i√3 = 2 · e<sup>π · i/3</sup>]]
[[Berkas:DritteWurzelAusZ V2.jpg|mini|Tiga solusi dari persamaan <math>w^3=z</math> pada medan kompleks <math>w</math> (grid merah, hijau, biru). Jaring merah juga menunjukkan fungsi <math>\sqrt[3] z</math>. Segitiga <math>z</math> berwarna besar dan tiga gambar <math>w</math> yang berfungsi sebagai panduan.]]
[[Bilangan kompleks]] <math>\Complex</math> didefinisikan oleh [[Adjungsi (teori medan)#Adjungsi elemen aljabar ke suatu medan|adjungsi]] <math>\Complex:=\R(\mathrm i)</math> solusi (root) <math>\mathrm i: = \sqrt {-1}</math> dari persamaan <math>\mathrm i^2 = -1</math> untuk bilangan real <math>\R</math>. Apabila memahami bilangan kompleks sebagai level <math>\R\times\R</math>, in der die reellen Zahlen als eine ausgezeichnete Gerade <math>\R\times{0}</math> die Ebene in zwei Halbebenen teilt und die positiven Zahlen sich rechts befinden, dann wird die Zahl <math>\mathrm i</math> in die obere und <math>-\mathrm i</math> in die untere Halbebene platziert. Gleichzeitig mit dieser Orientierung wird der Nullpunkt <math> (0,0) </math> durch die Funktion <math>\mathrm e^{\mathrm i\varphi}</math> für wachsendes reelles <math>\varphi</math> im [[Drehrichtung#Mathematische Definitionen bezüglich Koordinatensystemen|mathematisch positiven Sinn]] (also entgegen dem Uhrzeigersinn) umlaufen, so dass <math>\scriptstyle \mathrm e^{\pm \frac{\pi}2 \mathrm i} = \pm \mathrm i</math> ist. Mit dieser Maßgabe lassen sich inhärent mehrdeutige Wurzeln im Komplexen auf eindeutige Real- und Imaginärteile ([[Quadratwurzel#Quadratwurzeln aus komplexen Zahlen|''Hauptwerte'']]) festlegen.
Gleichwohl ist bei der Anwendung der [[#Die Wurzelgesetze|Wurzelgesetze]] die dort erwähnte Sorgfalt zu beachten.
Als ''die'' <math>n</math>''-ten Wurzeln'' einer [[Komplexe Zahl|komplexen Zahl]] <math>a\in\mathbb C</math> bezeichnet man die Lösungen der Gleichung
: <math>z^n = a </math>.
Ist <math>a\neq 0</math> in der [[Komplexe Zahlen#Polarform|Exponentialform]] <math>a=|a|\,\mathrm e^{\mathrm i\varphi}</math> dargestellt, so sind die <math>n</math>-ten Wurzeln aus <math>a</math> genau die <math>n</math> komplexen Zahlen
: <math>z_k=\sqrt[n]{|a|}\cdot\exp\left(\frac{\mathrm i\varphi}{n} + k\cdot\frac{2\pi\mathrm i}{n}\right)\quad(k=0,1,\dots,n-1)</math>
Der Sonderfall <math>a=1</math> wird als ''{{nowrap|<math>n</math>-te}} Kreisteilungsgleichung'' bezeichnet, die Lösungen als {{nowrap|<math>n</math>-te}} [[Einheitswurzel]]n. Die Bezeichnung „Kreisteilungsgleichung“ erklärt sich, wenn man ihre Lösungen in der Gaußschen Ebene betrachtet: die {{nowrap|<math> n </math>-ten}} Einheitswurzeln teilen den Kreis mit dem Radius <math>1</math> und dem Koordinatenursprung als Mittelpunkt in <math>n</math> gleiche Teile, sie bilden die Eckpunkte eines in den Kreis einbeschriebenen regulären {{nowrap|<math>n</math>-Ecks.}}
Anders als bei reellen Zahlen kann man nicht so einfach eine der Wurzeln als ''die'' Wurzel auszeichnen; dort wählt man die einzige nichtnegative Wurzel. Man kann jedoch eine ([[Holomorphe Funktion|holomorphe]]) {{nowrap|<math>n</math>-te}} Wurzelfunktion für komplexe Zahlen, die keine nichtpositiven reellen Zahlen sind, über den Hauptzweig des [[Komplexer Logarithmus|komplexen Logarithmus]] definieren:
: <math>z^{1/n} = \exp{\frac{\ln z}{n}} \quad (z\in\mathbb C\setminus\{x\in\mathbb R\mid x\leq0\})</math>
Die so ausgezeichnete Wurzel bezeichnet man auch als Hauptwert, die anderen als Nebenwerte.
Man kann den Logarithmus auch (unstetig) auf die negative reelle Achse fortsetzen, es gilt dann aber mit der so definierten Wurzelfunktion beispielsweise <math>\sqrt[3]{-8} = 2\,\exp{\bigl(\mathrm{i}\,\tfrac{\pi}{3}\bigr)} = 1+\mathrm i\sqrt3</math> und nicht <math>=-2</math>.<ref>Dies lässt sich vermeiden mit der Auszeichnung derjenigen Wurzel unter allen, deren [[Komplexe Zahlen#Polarform|Argument]] <math>\arg(\sqrt[n]z)</math> [[modulo]] <math>\pi</math> den [[Betragsfunktion|absolut]] kleinsten Rest liefert. Bei Gleichheit zweier Werte ist dann der in der rechten (positiver Realteil) und der in der oberen Halbebene (positiver Imaginärteil) auszuwählen. Diese Regel ist mit den oben aufgestellten Regeln für reelle Radikanden voll kompatibel. Einige Beispiele:
: <math>\sqrt[2]{-1}= +\mathrm i \qquad \qquad \sqrt[3]{-1}=-1 \qquad \qquad \sqrt[4]{-1}=\frac{\sqrt 2+\mathrm i \sqrt 2}2</math>
Als weiteres Beispiel sei <math>\sqrt[3]{-\mathrm i} </math> angegeben:
:{| style="text-align:center"
|-
|style="text-align:left"| Obwohl |||| <math>\mathrm i^3 = -\mathrm i </math> || und || <math>\biggl(\frac{\sqrt 3 -\mathrm i }2\biggr)^3 = -\mathrm i </math> || und || <math>\biggl(\frac{-\sqrt 3 -\mathrm i }2\biggr)^3 = -\mathrm i ,</math>
|-
|style="text-align:left"| ist |||| <math>\mathrm i </math> || <math>\ne </math> || <math>\sqrt[3]{-\mathrm i}=\frac{\sqrt 3 -\mathrm i }2 </math> || <math>\ne </math> || <math>\frac{-\sqrt 3 -\mathrm i }2 </math> || mit den absoluten Resten <math>\text{mod }\pi</math>
|-
|style="text-align:left;width:7em"| des Arguments ||style="width:1em"| || <math>|\arg(\mathrm i)| = \frac{\pi}2 </math> ||style="width:3em"| <math>></math> || <math>\biggl|\arg\frac{\sqrt 3 -\mathrm i }2 \biggr| = \frac{\pi}6 </math> ||style="width:3em"| <math>\equiv</math> || <math>\frac{\pi}6 -\pi = \arg\frac{-\sqrt 3 -\mathrm i }2 \text{ mod }\pi , </math>
|}<br />weil die mittlere Wurzel <math>\frac{\sqrt 3 -\mathrm i }2 </math> bei dem gleichen absoluten Rest <math>\text{mod }\pi</math> einen positiven Realteil hat.
Außerdem bleiben bei dieser Definition [[#Die Wurzelgesetze|die Wurzelgesetze]] für viele Wurzelexponenten auch bei komplexen Radikanden erhalten, solange für die so ausgewählten Wurzeln die Summen der Reste modulo <math>\pi</math> der Argumentwerte absolut unterhalb <math>\tfrac{\pi}2</math> bleiben.</ref>
Every [[complex number]] other than 0 has ''n'' different ''n''th roots.
===Square roots===
[[Image:Imaginary2Root.svg|thumb|right|The square roots of '''''i''''']]
The two square roots of a complex number are always negatives of each other. For example, the square roots of {{math|−4}} are {{math|2''i''}} and {{math|−2''i''}}, and the square roots of {{math|''i''}} are
:<math>\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + i) \quad\text{and}\quad -\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + i).</math>
If we express a complex number in polar form, then the square root can be obtained by taking the square root of the radius and halving the angle:
:<math>\sqrt{re^{i\theta}} = \pm\sqrt{r} \cdot e^{i\theta/2}.</math>
A ''principal'' root of a complex number may be chosen in various ways, for example
:<math>\sqrt{re^{i\theta}} = \sqrt{r} \cdot e^{i\theta/2}</math>
which introduces a [[branch cut]] in the [[complex plane]] along the [[positive real axis]] with the condition {{math|0 ≤ ''θ'' < 2{{pi}}}}, or along the negative real axis with {{math|−{{pi}} < ''θ'' ≤ {{pi}}}}.
Using the first(last) branch cut the principal square root <math>\scriptstyle \sqrt z</math> maps <math>\scriptstyle z</math> to the half plane with non-negative imaginary(real) part. The last branch cut is presupposed in mathematical software like [[Matlab]] or [[Scilab]].
===Roots of unity===
[[File:3rd roots of unity.svg|thumb|right|The three 3rd roots of 1]]
{{Main article|Root of unity}}
The number 1 has ''n'' different ''n''th roots in the complex plane, namely
:<math>1,\;\omega,\;\omega^2,\;\ldots,\;\omega^{n-1},</math>
where
:<math>\omega = e^\frac{2\pi i}{n} = \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)</math>
These roots are evenly spaced around the [[unit circle]] in the complex plane, at angles which are multiples of <math>2\pi/n</math>. For example, the square roots of unity are 1 and −1, and the fourth roots of unity are 1, <math>i</math>, −1, and <math>-i</math>.
===''n''th roots===
{{visualisation_complex_number_roots.svg}}
Every complex number has ''n'' different ''n''th roots in the complex plane. These are
:<math>\eta,\;\eta\omega,\;\eta\omega^2,\;\ldots,\;\eta\omega^{n-1},</math>
where ''η'' is a single ''n''th root, and 1, ''ω'', ''ω''{{sup|2}}, ... ''ω''{{sup|''n''−1}} are the ''n''th roots of unity. For example, the four different fourth roots of 2 are
:<math>\sqrt[4]{2},\quad i\sqrt[4]{2},\quad -\sqrt[4]{2},\quad\text{and}\quad -i\sqrt[4]{2}.</math>
In polar form, a single ''n''th root may be found by the formula
:<math>\sqrt[n]{re^{i\theta}} = \sqrt[n]{r} \cdot e^{i\theta/n}.</math>
Here ''r'' is the magnitude (the modulus, also called the [[absolute value]]) of the number whose root is to be taken; if the number can be written as ''a+bi'' then <math>r=\sqrt{a^2+b^2}</math>. Also, <math>\theta</math> is the angle formed as one pivots on the origin counterclockwise from the positive horizontal axis to a ray going from the origin to the number; it has the properties that <math>\cos \theta = a/r,</math> <math> \sin \theta = b/r,</math> and <math> \tan \theta = b/a.</math>
Thus finding ''n''th roots in the complex plane can be segmented into two steps. First, the magnitude of all the ''n''th roots is the ''n''th root of the magnitude of the original number. Second, the angle between the positive horizontal axis and a ray from the origin to one of the ''n''th roots is <math>\theta / n</math>, where <math>\theta</math> is the angle defined in the same way for the number whose root is being taken. Furthermore, all ''n'' of the ''n''th roots are at equally spaced angles from each other.
If ''n'' is even, a complex number's ''n''th roots, of which there are an even number, come in [[additive inverse]] pairs, so that if a number ''r''<sub>1</sub> is one of the ''n''th roots then ''r''<sub>2</sub> = –''r''<sub>1</sub> is another. This is because raising the latter's coefficient –1 to the ''n''th power for even ''n'' yields 1: that is, (–''r''<sub>1</sub>){{sup|''n''}} = (–1){{sup|''n''}} × ''r''<sub>1</sub>{{sup|''n''}} = ''r''<sub>1</sub>{{sup|''n''}}.
As with square roots, the formula above does not define a [[continuous function]] over the entire complex plane, but instead has a [[branch cut]] at points where ''θ'' / ''n'' is discontinuous.
==Solving polynomials==
{{see also|Root-finding algorithm}}
It was once [[conjecture]]d that all [[polynomial equation]]s could be [[Algebraic solution|solved algebraically]] (that is, that all roots of a [[polynomial]] could be expressed in terms of a finite number of radicals and [[elementary arithmetic|elementary operations]]). However, while this is true for third degree polynomials ([[cubic function|cubics]]) and fourth degree polynomials ([[quartic function|quartics]]), the [[Abel–Ruffini theorem]] (1824) shows that this is not true in general when the degree is 5 or greater. For example, the solutions of the equation
:<math>x^5 = x + 1</math>
cannot be expressed in terms of radicals. (''cf.'' [[quintic equation]])
== Proof of irrationality for non-perfect ''n''th power ''x'' ==
Assume that <math>\sqrt[n]{x}</math> is rational. That is, it can be reduced to a fraction <math>\frac{a}{b}</math>, where {{mvar|a}} and {{mvar|b}} are integers without a common factor.
This means that <math>x = \frac{a^n}{b^n}</math>.
Since ''x'' is an integer, <math>a^n</math>and <math>b^n</math>must share a common factor if <math>b \neq 1</math>. This means that if <math>b \neq 1</math>, <math>\frac{a^n}{b^n}</math> is not in simplest form. Thus ''b'' should equal 1.
Since <math>1^n = 1</math> and <math>\frac{n}{1} = n</math>, <math>\frac{a^n}{b^n} = a^n</math>.
This means that <math>x = a^n</math> and thus, <math>\sqrt[n]{x} = a</math>. This implies that <math>\sqrt[n]{x}</math> is an integer. Since ''x'' is not a perfect ''n''th power, this is impossible. Thus <math>\sqrt[n]{x}</math> is irrational.
==See also==
* [[Nth root algorithm]]
* [[Shifting nth root algorithm]]
* [[Radical symbol]]
* [[Algebraic number]]
* [[Nested radical]]
* [[Twelfth root of two]]
* [[Super-root]]
==References==
{{Reflist}}
{{notelist}}
== External links ==
{{Wiktionary|surd}}
{{Wiktionary|radical}}
{{Hyperoperations}}
{{DISPLAYTITLE:{{math|''n''}}th root}}
[[Category:Elementary algebra]]
[[Category:Operations on numbers]]
| 